平面直角坐標系中的面積問題【八大題型】

A題型梳理

【題型1與兩坐標軸圍成的圖形面積】............................................................1

【題型2一邊在坐標軸上的圖形面積】...........................................................1

【題型3平行于坐標軸的圖形的面積】...........................................................2

【題型4各邊都不在坐標軸上的圖形的面積】.....................................................3

【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標】.............................................................5

【題型6直線分面積求值1..........................................................................................................5

【題型7新定義問題中的面積】..................................................................6

【題型8面積中的規(guī)律問題】....................................................................8

?舉一反三

【題型1與兩坐標軸圍成的圖形面積】

【例1】(24-25七年級?吉林長春?期中)已知A(.a,0)和8點(0,10)兩點，且與坐標軸圍成的三角

形的面積等于20,則?的值為()

A.2B.4C.0或4D.4或-4

【變式1-1](24-25七年級廣東清遠?七年級統(tǒng)考期末)已知4(0,4),點8在x軸上，A3與坐標軸圍成的三

角形面積為2,則點B的坐標為()

A.(1,0)B.(1,0)或(一1,0)C.(-1,0)D.(0,—1)或(0,1)

【變式1-2](24-25七年級上?安徽安慶?期末)平面直角坐標系中，我們把點P(x,y)的橫坐標與縱坐標的絕

對值之和叫做點PO,y)的勾股值，記為：rPj,即FPJ=|x|+|y|.

(1)求點2(-1,3)的勾股值M7；

(2)若點B在第一象限且滿足FBJ=3,求滿足條件的所有8點與坐標軸圍成的圖形的面積.

【變式1-3](24-25七年級?江蘇南通?階段練習)已知點&(a,0)和點B(0,5),且直線AB與兩坐標軸圍成的

三角形的面積等于10,則o的值是()

A.4B.4或一4C.-4D.2

【題型2一邊在坐標軸上的圖形面積】

【例2】(24-25七年級?江西南昌?期中)如圖是一塊不規(guī)則的四邊形地皮48C0,各頂點坐標分別為4(-2,6),

B(-5,4),C(-7,0),。(0,0)(圖上一個單位長度表示10米)，則這塊地皮的面積是()m2.

【變式2-1］（24-25七年級?安徽亳州?階段練習）如圖，已知三角形ABC如圖所示放置在平面直角坐標系中,

其中C（—4,4）.則三角形ABC的面積是（）

A.4B.6C.8D.12

【變式2-2］（24-25七年級?海南省直轄縣級單位?期中）如圖，已知:4（4,3）,8（6,0）,E（5,2）,求△AOE的

【變式2-3］（24-25七年級?安徽亳州?階段練習）已知點4（1,0）,B（0,2）,點P在久軸上，且三角形P4B的面積

是3,則點P的坐標是（）

A.（0,-4）B.（-2,0）C.（0,一4）或（0,8）D.（4,0）或（一2,0）

【題型3平行于坐標軸的圖形的面積】

【例3】（24-25七年級?湖北武漢?期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，平行四邊形A8CD的四個頂點A,

B,C,。是整點（橫、縱坐標都是整數(shù)），則四邊形A8CD的面積是（）個平方單位.

A.yB.15C.10D.無法計算

【變式3-1］（24-25七年級?北京順義?階段練習）由坐標平面內(nèi)的三點4（1,1）,8（3,1）,C（l,-3）構(gòu)成的△48C的

面積是.

【變式3-2］（24-25七年級?福建龍巖?期末）在平面直角坐標系中，由點4。2）,B（a-2,2）,C@,-2）組

成的三角形4BC的面積是（）

A.4B.6C.8D.10

【變式33］（24-25七年級?福建廈門?期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中,已知點3（2,n+2）,B（k,n+2）,

C（4,n+4）,D（2,n+fc）.則四邊形ABC。的面積=（用含有左的式子表示）

【題型4各邊都不在坐標軸上的圖形的面積】

【例4】（24-25七年級?上海靜安?周測）如圖，三角形A8C的面積等于（）

y

X

A.12B.12-C.13D.13i

22

【變式4-1](24-25七年級?重慶長壽?期末)己知點4(2,2),5(1,0),點C在坐標軸上，且三角形48c的面積

為2,請寫出所有滿足條件的點C的坐標.

【變式4-2](24-25七年級?湖北鄂州?期中)如圖，直角坐標系中，三角形力BC的頂點都在網(wǎng)格點上，其中

點C的坐標為(1,1).

(1)寫出點A,8的坐標A(),B()；

(2)將三角形ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到三角形49廣，則點4,B，，廠的

坐標分別是4()，B'(),C()；

(3)計算三角形ABC的面積.

【變式4-3](24-25七年級?湖北武漢?期中)如圖在平面直角坐標系中，點4(2,3),點B(-3,-2),點C(4,-3),

則三角形ABC的面積是()

C.21D.21.5

【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標】

【例51（24-25七年級?北京西城?期中）在平面直角坐標系xOy中，己知三角形的三個頂點坐標分別是4（0,1）,

C（l,2）,點尸在y軸上，設二角形2BP和二角形力BC的面積相等，那么點尸坐標是.

【變式5-1］（24-25七年級?江西南昌?期中）己知點4（3,0）,8（0,4）,點C在x軸上，且△80C的面積是△力8c的

面積的3倍，那么點C的坐標可以為.

【變式5-2］（24-25七年級?福建福州?期中）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點力、B、C的坐標分別

為（6一2,幾），（m—2,幾+2023）,（5,1+2022）,若△AB。的面積為△力8c面積的2倍，則m的值為

【變式5-3］（24-25七年級?四川達州?期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，點8在x

軸正半軸上，。4=2,。3=1,點C是第一象限內(nèi)一點且4。|無軸，將線段48經(jīng)過一定的平移得到線段CD,

點A的對應點為點。，點B的對應點為點C,連接AD,S—CD=6,點尸為y軸上一動點，當5心的=；S-OD

時，點P的坐標為.（注：S-CD表示AACD的面積）

【題型6直線分面積求值】

【例6】（24-25七年級?湖北十堰?期中）如圖，4（一2,0）、B例,3）、C（2,4）、0（3,0）,點P在久軸上,直線CP將

四邊形力BCD的面積分成1:2兩部分，貝UOP的長為.

【變式6-1](24-25七年級?遼寧葫蘆島?期中)如圖，平面直角坐標系中的圖案是由六個邊長為1的正方形

組成的，B(3,3),4(a,0)是x軸上的動點，當AB將圖案分成面積相等的兩部分時，a等于()

cD

3-i-1

【變式6-2](24-25七年級?四川涼山?期末)如圖，在平面直角坐標系中，點力在久軸上，點C在y軸上，CB||0A,

且。4=12,0C=BC=4.

(2)若動點P從原點0出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當直線PC把四邊形04BC分成面積相

等的兩部分時，求點P的運動時間;

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在一點Q,連接PQ,使ACPQ的面積與四邊形。4BC的面積相等？若存

在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式6-3](24-25七年級?北京西城?期中)在平面直角坐標系中，己知三角形的三個頂點坐標分別是

4(0,1),C(l,2),點P在y軸上，設三角形4BP和三角形4BC的面積相等，那么點P坐標是

【題型7新定義問題中的面積】

【例7】(24-25七年級?廣東河源?開學考試)在平面直角坐標系久。了中，對于任意三點4B,C的“矩面積”,

給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”也任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩

面積"S=ah.例如：三點坐標分別為4(1,2),B(—3,1),C(2,—2),則“水平底”a=5,“鉛垂高”九=4,

“矩面積"S=ah=20.若。(1,2)、E(-2,1)、F(0,t)三點的“矩面積”為18,則t的值為()

A.-3或7B.-4或6C.一4或7D.一3或6

【變式7-1](24-25七年級?北京?期中)中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢

族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)，中國結(jié)有著復雜曼妙的曲線，卻

可以還原成最單純的二維線條，其中的八字結(jié)對應著數(shù)學曲線中的雙扭線在平面直角坐標系中如圖所示，

①雙扭線圍成的面積小于6；

②雙扭線內(nèi)部(包含邊界)包含11個整數(shù)點(橫坐標、縱坐標都是整數(shù)的點)；

③雙扭線上任意一點到原點的距離不超過3；

④假設點P為雙扭線上的一個點，A,8為雙扭線與無軸的交點，則滿足三角形P4B的面積等于3的P點有

4個.

A.①②③B.②③C.②③④D.①②③④

【變式7-2](24-25七年級?福建廈門?期末)在平面直角標系中，將橫、縱坐標之和為6的點稱為“吉祥點”，

現(xiàn)有以下結(jié)論：

①第一象限內(nèi)有無數(shù)個“吉祥點”；

②第三象限內(nèi)不存在“吉祥點”；

③己知點4(-2,1),B(-2,-3),若點P是“吉祥點”且在坐標軸上，則點P到直線4B的距離為8；

④已知點C(—1,—1),D(3,—1),若點Q是第一象限內(nèi)的“吉祥點”三角形QCD的面積記為S,貝眨<S<14.其

中正確的是()

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

【變式7-3](24-25七年級?黑龍江牡丹江?期中)在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點「(右,為)，<?(x2,y2),

定義兩點的“分解距離”為：若％—加2|yi—%1，則⑶―引為尸，0的“分解距離”，即d分解(P,Q)=

1

|Xi-x2\；若l%i—犯1<一月1，貝-為P，。的“分解距離”，即d分解(P,Q)=|為一丫2「定義兩點

的"和距禺”為：區(qū)—X2I與M—yzl的和，即d和(P,Q)=|%i—右1+—Vzl?

根據(jù)以上材料，解決下列問題：

(1)已知點4(2,1),則d分解(4。)=,d和Q4,。)=

(2)若點8(久,4一支)在第一象限，且d分解(B,0)=3,求點8的坐標；

(3)若點CO,y)(x>0,y>0),且d和(C,0)=3,寫出三個符合條件的點C的坐標，并判斷這些點是否在

一條直線上，若在一條直線上，請直接寫出這條直線與坐標軸圍成的面積；若不在，請說明理由.

【題型8面積中的規(guī)律問題】

【例8】(24-25七年級?遼寧撫順?期中)如圖，在平面直角坐標系中，一動點按照圖中箭頭所示的方向運動,

第1次從原點運動到點P(l,—1),第2次運動到點4(2,0),第3次運動到點4⑶2),第4次運動到點4(4,0),

第5次運動到點4式5,-1),…，按照這樣的規(guī)律運動下去，則三角形。P4023的面積是.

yi

x

Z44

【變式8-1](24-25七年級?浙江寧波?期末)如圖，在一單位長度為Ion的方格紙上，依如所示的規(guī)律，設

定點4、4、4、44、4、4、4、…41，連接點。、&、4組成三角形，記為41，連接。、①、&組

成三角形，記為42…，連0、An,4n+1組成三角形，記為(n為正整數(shù))，請你推斷，當n為50時，的

面積=()cm2

A.1275B.2500C.1225D.1250

【變式8-2](24-25七年級?湖南邵陽?期中)在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點

O出發(fā)，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動，每次移動1m,其行走路線如圖所示，第1次移

動到點第2次移動到點4……第〃次移動到點4”則△042^2026的面積是()

【變式8-3](24-25七年級?全國?專題練習)如圖所示，在平面直角坐標系中，第一次將三角形048變換成

三角形。①⑹，第二次將三角形變換成三角形。42&，第三次將三角形。42比變換成三角形。①①，

已知A(1,2),Ai(2,2),A2(4,2),4(8,2)；B(2,0),Bi(4,0),B2(8,0),B3(16,

0).

(1)觀察每次變換前后的三角形有何變化？找出規(guī)律，按此規(guī)律再將三角形。43以變換成三角形。4為，則

4的坐標是，8/的坐標是；

(2)若按(1)中找到的規(guī)律將三角形OAB進行〃次變換，得到三角形OAnBn,推測An的坐標是

Bn的坐標是.

(3)求出△OAwB"的面積.

參考答案與試題解析

平面直角坐標系中的面積問題【八大題型】

A題型梳理1

【題型1與兩坐標軸圍成的圖形面積】1

【題型2一邊在坐標軸上的圖形面積】............................................................1

【題型3平行于坐標軸的圖形的面積】...........................................................2

【題型4各邊都不在坐標軸上的圖形的面積】.....................................................3

【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標】.............................................................5

【題型6直線分面積求值】......................................................................5

【題型7新定義問題中的面積1....................................................................................................................................6

【題型8面積中的規(guī)律問題】....................................................................8

?舉一反三

【題型1與兩坐標軸圍成的圖形面積】

【例1】(24-25七年級?吉林長春?期中)已知4(a,0)和8點(0,10)兩點，且AB與坐標軸圍成的二角

形的面積等于20,則a的值為()

A.2B.4C.0或4D.4或-4

【答案】D

【分析】根據(jù)點A、B的坐標可找出02的長度，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于a的含絕對值

符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】VA(a,0),B(0,10),

/.OA=\a\,OB=10,

/.SAAOB=|OA,OB=|,10|CI|=20,

解得：a=±4.

故選D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于a的含絕對值符號的一元一次方程是

解題的關(guān)鍵.

【變式1-1](24-25七年級廣東清遠?七年級統(tǒng)考期末)已知4(0,4),點B在x軸上，與坐標軸圍成的三

角形面積為2,則點B的坐標為()

A.(1,0)B.(1,0)或(一1,0)C.(-1,0)D.(0,—1)或(0,1)

【答案】B

【詳解】：三角形的面積W<4X|O2|=2,

：.\OB\=l,

：.B(1,0)或(-1,0).

故選：B.

【點睛】此題主要考查了平面圖形與坐標的關(guān)系，利用三角形的面積求出08的長是關(guān)鍵，特別是要明確注

意：在x軸上到原點的距離為一個定值的點有兩個.

【變式1-2］（24-25七年級上?安徽安慶?期末）平面直角坐標系中，我們把點P（x,y）的橫坐標與縱坐標的絕

對值之和叫做點P（x,y）的勾股值，記為：fPj,即FPJ=|x|+|y|.

（1）求點4-1,3）的勾股值M7；

（2）若點B在第一象限且滿足FBJ=3,求滿足條件的所有B點與坐標軸圍成的圖形的面積.

【答案】⑴4:（2）|

【分析】（1）由勾股值的定義即可求解；

（2）設B點的坐標為（x,y）,由「B」=3,得至U方程|x|+|y|=3,得到y(tǒng)=—久+3,于是得到所有點B圍成

的圖形是邊長為3的三角形，則面積可求.

【詳解】解：（1）l~Aj=|—+|3|=4；

（2）設由［Bt=3知,|x|+|y|=3,

又B在第一象限，%>0,y>0,得久+y=3,

即y=-%+3（%>0,y>0）,

故所有點B組成的圖形與坐標軸交點坐標分別為：（3,0）,（0,3）,

故其面積為：|x3x3=|.

【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，正確理解勾股值的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（24-25七年級?江蘇南通?階段練習）已知點2（a,0）和點B（0,5）,且直線AB與兩坐標軸圍成的

三角形的面積等于10,則o的值是（）

A.4B.4或一4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，需注意坐標軸上到一個點的距離為定值的點有2個.

根據(jù)三角形的面積公式和已知條件求解，注意a取正負數(shù)都符合題意.

【詳解】解：直線AB與坐標軸圍成的三角形的面積等于10,A{a,0）,B（0,5）

那么5X|。力|+2=10,

解得：。4=4,

所以a=4或a=-4.

故選：B.

【題型2一邊在坐標軸上的圖形面積】

【例2】（24-25七年級?江西南昌?期中）如圖是一塊不規(guī)則的四邊形地皮ABC。，各頂點坐標分別為力（-2,6）,

【答案】C

=4+15+6

=25

V圖上一個單位長度表示10米，

A25x10x10=2500m2,

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](24-25七年級?安徽亳州?階段練習)如圖，已知三角形ABC如圖所示放置在平面直角坐標系中,

其中C(-4,4).則三角形ABC的面積是()

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】底AB=4,高是點C到x軸的距離，根據(jù)三角形面積公式求得即可.

【詳解】解：由圖象可知，A(0,0),B(4,0),

：.AB=4

VC(-4,4),

點C到x軸的距離是4,△ABC的高就是4,

.,.^ABC=|x4x4=8,

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【變式2-2](24-25七年級?海南省直轄縣級單位?期中)如圖，已知：4(4,3),B(6,0),E(5,2),求AAOE的

面積()

【答案】A

【分析】根據(jù)點的坐標，^OC,AC,OD,DE,CD,根據(jù)S-OE=S-OC+S梯形ACDE—SMOE進行計算即可求解?

【詳解】解：???4(4,3),B(6,0),E(5,2),

???OC=4,AC=3,OD=5,DE=2,

???CD=1

則S“OE=S”0C+S梯形4C0E—S^DOE

111

=—x4x3H—(2+3)x1—x5x2

22v72

=3.5

故選A

【點睛】本題考查了坐標與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](24-25七年級?安徽亳州?階段練習)已知點8(0,2),點P在％軸上，且三角形P4B的面積

是3,則點P的坐標是()

A.(0,-4)B.(-2,0)C.(0,一4)或(0,8)D.(4,0)或(一2,0)

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的面積求出2P的長，再分點P在點4的左邊與右邊兩種情況討論求解.

【詳解】解:???點以0,2）,

1

SAPAB=34Px2=3,

解得力P=3,

若點P在點力的左邊，則。P=4P—O4=3—1=2,

此時，點P的坐標為（-2,0）,

若點P在點4的右邊，則。P=4P+。4=3+1=4,

此時，點P的坐標為（4,0）,

綜上所述，點P的坐標為（4,0）或（一2,0）,

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，三角形的面積，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀.

【題型3平行于坐標軸的圖形的面積】

【例3】（24-25七年級?湖北武漢?期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，平行四邊形A8CD的四個頂點A,

B,C,。是整點（橫、縱坐標都是整數(shù)），則四邊形ABCD的面積是（）個平方單位.

C.10D.無法計算

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形在坐標系中的位置得到力Dllx軸，X￡?=4-(-l)=5,高為1一(-2)=3,利用面

積公式直接計算可得.

【詳解】解：：四邊形力BCD是平行四邊形，4(-l,2),B(0,l),C(5,l),D(4,-2),

做軸,AD=4-(-1)=5,高為1—(—2)=3,

平行四邊形2BCD的面積=5x3=15,

故選：B.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形，正確理解平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](24-25七年級?北京順義?階段練習)由坐標平面內(nèi)的三點4(1,1),8(3,1),。(1,-3)構(gòu)成的2\48(7的

面積是?

【答案】4

【分析】根據(jù)4(1,1),8(3,1),。(1,—3)得48=2,43||萬軸，AC=4,AC||繼而得到直角三角形C4B,計

算面積即可，本題考查了點的坐標特征與坐標軸的關(guān)系，熟練掌握判定坐標與坐標軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】771(1,1),C(l,-3)

：.AB=2,AB||x軸，AC=4,AC||y軸,

.?.△CAB是直角三角形，

：.-AB?4C=1x2x4=4,

22

故答案為：4.

【變式3-2](24-25七年級?福建龍巖?期末)在平面直角坐標系中，由點4(a,2),B(a-2,2),C(6,-2)組

成的三角形ABC的面積是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)A和B兩點的縱坐標相等，可得線段4B的長，再根據(jù)點C的縱坐標，可得以AB為底的△力8C的

高，從而△力BC的面積可求.

【詳解】解析：由點4(a,2),B(a-2,2),得AB=2,

點C在直線y=-2上，4B與直線y=-2平行，且平行線間的距離為4,

.".S=-x2x4—4.

2

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的面積計算，明確平面直角坐標系中的點的坐標特點及如何求相應線段的長，是

解題的關(guān)鍵.

【變式33](24-25七年級?福建廈門?期中)如圖，在平面直角坐標系xOy中,已知點3(2,n+2),B(k,n+2),

C(4,n+4),D(2,n+k).則四邊形4BCD的面積=(用含有左的式子表示)

【答案】2k—4/—4+2k

【分析】本題主要考查了坐標與圖形，延長B4交y軸于點E,過點C作CF1y軸于點F,延長4D交CF于點H,

過點C作CG_L4G于點G,根據(jù)4(2,幾+2),B(k,n+2),C(4,n+4),D(2,n+k),得出CH=4—2=2,

AH=n+4—(n+2)=2,DH=n+4-(n+k)4-k,BG=4-k,利用割補法求出四邊形的面積即

可.

【詳解】解：延長B4交y軸于點E,過點C作CF1y軸于點F,延長4D交CF于點H,過點C作CG14G于點

G,

V4(2,n+2),B(k,n+2),C(4,n+4),D(2,n+/c),

.?.ADIIy軸，48||x軸，

：.AH\\CG,CH\\EG,

：.CH=4-2=2,AH=n+4-(n+2)=2,

DH=n+4—(n+fc)=4—fc,

BG=4—k,

???四邊形ABC。的面積為：

11

2x2—~x2x(4—k)——x2x(4—k)

=4—4+k—4+k

=2fc—4.

故答案為：2fc-4.

【題型4各邊都不在坐標軸上的圖形的面積】

【例4】(24-25七年級?上海靜安?周測)如圖，三角形ABC的面積等于()

【答案】D

【分析】過點A作4。1%軸于利用S4ABe=S樗癖004—S^BOC—Sd/co，求出S禱形BOQA，S480c和S^ACO進

而進行求解即可.

【詳解】過點A作/D1%軸于。，如圖所示:

AD=6,CD=3,

：.0D=6,

?*^AABC=S梯形BODA~^ABOC~^AACDf

111

=-(BO+AD)-OD---BO?OC---CD-AD

111

=—(3+6)x6——x3x3——x3x6

_54918

2-T

_27

二5，

即邑ABC=萬，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了利用和差法轉(zhuǎn)化求三角形的面積，正確讀懂題意是解題的關(guān)鍵.

【變式4-11(24-25七年級?重慶長壽?期末)已知點4(2,2),8(1,0),點C在坐標軸上，且三角形ABC的面積

為2,請寫出所有滿足條件的點C的坐標.

【答案】(-1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6)

【分析】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)及三角形的面積，根據(jù)點C位于不同的數(shù)軸分類討論是解題的關(guān)鍵.分

點C在%軸上和點C在y軸正半軸上和點C在y軸負半軸上上三種情況，利用三角形的面積公式求出或。。的

長度，即可求解.

【詳解】解：若點C在光軸上，貝IJSAABC=|xBCx2=2,

解得BC=2,

所以，點C的坐標為(1+2,0)或(1一2,0),即(3,0)或(一1,0),

若點C在y軸正半軸上，貝！JSACAB=|x(OC+2)x2-|xOCxl-jx(2-l)x2=2,

解得OC=2,

所以，點C的坐標為(0,2),

若點C在y軸負半軸上，則SACAB=|x(OC+2+OC)x1+|xOCx1-|x(2+OC)X2=2,

解得。C=6,

所以，點C的坐標為(0,—6),

綜上所述，點C的坐標為(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6),

故答案為：(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6).

【變式4-2](24-25七年級?湖北鄂州?期中)如圖，直角坐標系中，三角形2BC的頂點都在網(wǎng)格點上，其中

點C的坐標為(1,1).

(1)寫出點A,B的坐標A(),B()；

(2)將三角形ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到三角形ABC,則點4,夕，的

坐標分別是4(),B'(),C()；

(3)計算三角形4BC的面積.

【答案】⑴(2,-2),(4,2)

(2)(0,-3),(2,1),(-1,0)

(3)5

【分析】本題考查了坐標與圖形、平移等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

(1)根據(jù)直角坐標系中4三點的位置即可求解；

(2)根據(jù)平移方向和距離即可求解；

(3)利用“割補法”即可求解；

【詳解】(1)解：根據(jù)直角坐標系中4B,C三點的位置可得：力(2,-2),B(4,2),

故答案為：(2,-2),(4,2)；

(2)解：?.?將三角形2BC先向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，

：.4(2—2,—2—1),B'(4—2,2—1),C'(l—2,1—1),

即：4(0,-3),Cz(-l,0),

故答案為：(0,-3),(2,1),(-1,0)；

(3)解：三角形力BC的面積=3x4—Txlx3-Txlx3—|x2x4=5.

【變式4-3](24-25七年級?湖北武漢?期中)如圖在平面直角坐標系中，點4(2,3),點B(-3,-2),點C(4,-3),

則三角形ABC的面積是()

A.19B.20C.21D.21.5

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的面積，坐標與圖形的性質(zhì).過點A作DE||x軸，過點8作EF||y軸，過點C作

CD||y軸，過點C作CF||x軸，根據(jù)題意可得AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點A作DE||x軸，過點8作EF||y軸，過點C作CD||y軸，過點C作CF||x軸，

:點4(2,3),點B(—3,—2),點C(4,-3),

：.AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7,

...三角形ABC的面積是：6x7-|x2x6-|x5x5-|xl7-42-6-y-1=20.

故選：B

【題型5由面積之間的關(guān)系求坐標】

[例5](24-25七年級?北京西城?期中)在平面直角坐標系xOy中，已知三角形的三個頂點坐標分別是4(0,1),

C(l,2),點尸在y軸上，設三角形48P和三角形48C的面積相等，那么點尸坐標是.

【答案】(0,-1)或(0,3)

【分析】本題考查了坐標與圖形，熟練掌握點坐標的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.設點P坐標是(0,a),先分別求出三角

形力8P和三角形力BC的面積，再根據(jù)三角形4BP和三角形48C的面積相等建立方程，解方程即可得答案.

【詳解】解：如圖，由題意，設點P坐標是(0,a),

：.BC=2,AP=\a-l\,三角形ABC的BC邊上的高為1,

三角形ABC的面積為[x2x1=1,三角形4BP的面積為|x1?|a-1|=等，

?.?三角形4BP和三角形48c的面積相等，

?1

??—J.,

2

解得a=-1或a=3,

則點P坐標是(0,-1)或(0,3),

故答案為：(0,—1)或(0,3).

【變式5-1](24-25七年級?江西南昌?期中)已知點2(3,0),8(0,4),點C在x軸上，且△80C的面積是△力8C的

面積的3倍，那么點C的坐標可以為.

【答案】go)或G，o)

【分析】本題主要考查圖形與坐標，解題的關(guān)鍵是理解題意；設點。(久,0),則有力C=|x-3|,OB=4,然

后根據(jù)△BOC與A48c的面積關(guān)系可進行求解.

【詳解】解:設點CJ,O),則有4C=|x—3|,OB=4,OC=|%|

,/△BOC的面積是小ABC的面積的3倍,

x4x|%|=3x|x4x|x-3|

解得：久=1或

點。6，。）或G，。）；

故答案為C，o）或G，o）.

【變式5-2］（24-25七年級?福建福州?期中）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點4、B、C的坐標分別

為（6一2,幾），（m—2,幾+2023）,（5,1+2022）,若△2B。的面積為△力8c面積的2倍，則m的值為

【答案】12或日

【分析】由4B點的橫坐標相等，得出ABIIy軸，AB=2023,點C到AB的距離為-7］,根據(jù)△AB。的面積

為△力BC面積的2倍，建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：B、C的坐標分別為⑺一2,"）,0—2,Ji+2023）,（5/+2022）,

.?.ABIIy軸，AB=n+2023-n=2023,

點C到4B的距離為|血-2-5|=|m-7|

,/若44B。的面積為44BC面積的2倍，

x2023x|m-2|=2x|x2023x|m-7|

即—2|=2x—7|

解得zn=12或m=y

故答案為：m=12或?71=

【點睛】本題考查了坐標與圖形，兩點之間的距離，點到直線的距離，正確建立方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（24-25七年級?四川達州?期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，點B在x

軸正半軸上，。/=2,。8=1，點。是第一象限內(nèi)一點且ACII%軸，將線段經(jīng)過一定的平移得到線段CD,

點A的對應點為點。，點B的對應點為點C,連接AD,SAACD=6,點尸為y軸上一動點，當$心的

時，點尸的坐標為.（注：SMCD表示△AC。的面積）

【答案］(o,或(o,g.

【分析】根據(jù)三角形的面積求出AC=6,然后利用平移的性質(zhì)可求點。坐標，由三角形的面積公式可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作DE14C于點E,在y軸取點P,連接PB,

.FCIIx軸，將線段4B經(jīng)過一定的平移得到線段CD,OA=2,

,.DE=OA=2,

,SA4co=6,

*.-AC-DE=6,

2

,.AC=6,

?.點C(6,2),

..將線段48進行適當?shù)钠揭频玫骄€段CD,0B=1,

*.CE=0B=1,

?.點。(5,4),

?S^PAB=4Su。。'

111

*--i4Pxl=-x-x2x5,

242

\AP=~,

2

.?點a(0,2),

8（。，4）或「（。，）

故答案為：一m或

【點睛】本題考查了作圖-平移變換，平面直角坐標系，三角形面積公式，坐標的平移等知識，掌握平移的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型6直線分面積求值】

【例6】（24-25七年級?湖北十堰?期中）如圖，4（一2,0）、5（0,3）,1（2,4）、0（3,0）,點P在%軸上，直線CP將

四邊形2BCD的面積分成1:2兩部分，則。P的長為.

【分析】本題考查了坐標與圖形，三角形的面積，作CElx軸，CP與無軸交于點P,用分割法求出四邊形的

面積，分類討論求出APDC的面積，再求出PD的值，進而可得。P的值，根據(jù)坐標與圖形的性質(zhì)，用分割法

求出不規(guī)則圖形的面積，再進行計算是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，作CElx軸，CP與％軸交于點P,

由題意可得，SA4BO=R4-OB=：X2X3=3

S^OECB=I(OB+CE)-OF=1X(3+4)X2=7,

S^EDC=lED-C￡=|xlx4=2,

,?S四邊形ZBC。=S-BO+S梯形OECB+S^EDC=3+7+2=12,

?S^pcD=-PD-CE=-PDx4=2PD

22f

?WPCO：S四邊形/Be。=2PD：12=PD：6,

①當SAPCD：S四邊形ABCD=1：3時，即PD：6=1：3,

解得PD=2,

二點P的坐標為(1,0),

：.OP=1；

②當SAPCD:S四邊形4BCD=2：3時，即PD：6=2：3,

解得PD=4,

.?.點P的坐標為(一1,0),

：.OP=1；

綜上所述，OP=1,

故答案為：L

【變式6-1](24-25七年級?遼寧葫蘆島?期中)如圖，平面直角坐標系中的圖案是由六個邊長為1的正方形

組成的，B(3,3),4(a,0)是x軸上的動點，當A8將圖案分成面積相等的兩部分時，a等于()

D

301-i

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合題意列出方程SMBC=|>>C-BC=|(3-a)x3=|x6xM并求解即可.

【詳解】解：如下圖，當AB將圖案分成面積相等的兩部分時,

則有4謝；=|"-8。="6義12,

即13—a)x3=3,解得a=l.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵.

【變式6-2](24-25七年級?四川涼山?期末)如圖，在平面直角坐標系中，點4在久軸上，點C在y軸上，CB||0A,

且。4=12,0C=BC=4.

(1)直接寫出點4,B,C的坐標；

(2)若動點P從原點。出發(fā)沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當直線PC把四邊形02BC分成面積相

等的兩部分時，求點P的運動時間；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在一點Q,連接PQ,使ACPQ的面積與四邊形。4BC的面積相等？若存

在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴A(12,0),B(4,4),C(0,4)；

(2)4

(3)Qi(0,20),Q2(0,-12)

【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了線段長的求法，點的坐標的確定，三角形四邊形面積的計算，解

本題的關(guān)鍵是△OPC面積的計算.

(1)根據(jù)線段的長和線段的特點確定出點的坐標；

(2)先求出S四邊形OABC=32,從而得到30Px4=16,求出OP,即可得到答案；

(3)根據(jù)四邊形OABC的面積求出ACPQ的面積是32,最后求出點Q的坐標.

【詳解】(1)解：：點A、C在x軸上，0A=12.

；.A(12,0),

在y軸上，0C=4,

/.c(o,4),

VCB||OA,CB=4,

AB(4,4)；

(2)解：四邊形OABC=(4+^=32,

設運動時間t秒,

.".OP=2t,

2tx4=32x士

22

At=4；

(3)解：設Q(O,y),

**SACPQ=S四邊形OABC，

AI|y-4|X4=1X(4+12)X4=32

??Yi=20,y2——12,

???Qi(O,20),Q2(0,-12).

【變式6-3](24-25七年級?北京西城?期中)在平面直角坐標系久Oy中，已知三角形的三個頂點坐標分別是

4(0,1),C(l,2),點尸在y軸上，設三角形48P和三角形ABC的面積相等，那么點P坐標是.

【答案】(0,—1)或(0,3)

【分析】本題考查了坐標與圖形，熟練掌握點坐標的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.設點P坐標是(0,a),先分別求出三角

形4BP和三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形4BP和三角形4BC的面積相等建立方程，解方程即可得答案.

【詳解】解：如圖，由題意，設點P坐標是(0,a),

：.BC=2,AP=\a-l\,三角形ABC的BC邊上的高為1,

...三角形力BC的面積為^X2xl=1,三角形4BP的面積為之xl“a-1|=@U，

?.?三角形力BP和三角形力BC的面積相等，

?_]

解得a=-1或a=3,

則點P坐標是(0,-1)或(0,3),

故答案為：(0,-1)或(0,3).

【題型7新定義問題中的面積】

【例7】(24-25七年級?廣東河源?開學考試)在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點4B,C的“矩面積”,

給出如下定義：“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，貝卜矩

面積"S=ah.例如：三點坐標分別為4(1,2),8(—3,1),C(2,-2),則“水平底”a=5,“鉛垂高”h=4,

“矩面積"S=ah=20.若0(1,2)、E(-2,1)、F(0,t)三點的“矩面積”為18,則t的值為()

A.-3或7B.-4或6C.—4或7D.-3或6

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可以求得a的值，然后再對t進行討論，即可求得t的值.

【詳解】由題意可得，

"水平底"a=1—(—2)=3,

當t>2時,h=t—1,

貝i|3(t—l)=18,

解得，t=7,

故點F的坐標為(0,7)；

當lWtW2時，h—2—1—1=^6,

故此種情況不符合題意；

當t<1時，h—2—t,

則3(2-t)=18,

解得t=—4,

故選：C.

【點睛】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中的新定義，利用新定義解答問題.

【變式7-1](24-25七年級?北京?期中)中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢

族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結(jié)，中國結(jié)有著復