1.4空間向量的應用

目錄

【題型歸納】

題型一：求平面的法向量

題型二：利用向量研究平行問題

題型三：利用向量研究垂直問題

題型四：異面直線所成的角

題型五：線面角

題型六：二面角

題型七：距離問題

【重難點集訓】

【高考真題】

【題型歸納】

題型一：求平面的法向量

1.（2024.高二.全國?課堂例題）在正方體中，E,尸分別為棱4A,45的中點，在如

圖所示的空間直角坐標系中，求:

⑴平面五二?的一個法向量；

（2）平面3DEF的一個法向量.

【解析】（1）設正方體45cD-43CD的棱長為2,

則D（O.O.O）,Bl2.2.0）DtO.OJi；&L0J）,

（1）設平面厘心4的一個法向量為?

vDB?t2,2,O）西=（010」|

H?0.+-0.

則［皿方-0.即［-D,

令，=i,貝內?一1，二=0,

平面BDRR的一個法向量為5（答案不唯一）

（2）v5B=|2,2,0）；DS=il.0.2）；

設平面EDKF的一個法向量為日?(&?外：】

DBrii-0.f2r.+2r.=0

.DEm?0,即I*：+—,x0,

令1：=1,則九=-?,：；=-l,

.平面直）時的一個法向量為用iaL,T）.（答案不唯一）

2.（2024.高二.全國.專題練習）如圖，在四棱錐P-A反'D中，平面，工」平面,d5CD,1P48是邊長為

1的正三角形，A9CD是菱形，ZABC-60-,E是PC的中點，/是癡的中點，試建立恰當的空間直角坐

標系，求平面。明的一個法向量.

B

【解析】連接PR”,因為是邊長為1的正三角形，PA~PB,尸為質的中點，

所以那1四，又因為平面平面49"，平面R43c平面值。?四，即u平面RLB,

所以尸尸1平面處D.

連接AC,因為48=BC,N?=6T,所以-/SC是等邊三角形，又/為題的中點，所以CFIXS.

綜上可知，直線河，衣【加兩兩垂直，

所以建立以F為原點，也年"分別為T軸，F軸，二軸的空間直角坐標系產一中;，如圖所示:

FP=FC=0

由題意，在正和正-的中,

網QO.OMJL中

則I[HJoIg4g4）

質?（巧當,而

所以Io4“I-）

設平面。町的一個法向量為訪5工廠二），則

L而叫即卜冬川，化簡得「當，

令門？，則“VI二?-2,即弓=|61」

所以平面Q團的一個法向量為行T6.2.7）（答案不唯一）.

3.（2024?高二?廣東江門?期末）如圖，在棱長為3的正方體4?Y一月BCD中，點”在棱C「上，且

6/?N/C.以。為原點，DA,DC,DD所在直線分別為二軸、j軸、二軸，建立如圖所示的空間直

角

坐標系.

⑴求平面,即4的一個法向量；

(2)求平面8的一個法向量.

【解析】(1)因為x軸垂直于平面4班4,所以1是平面4防4的一個法向量.

(2)因為正方體/5c旦CD的棱長為3,

所以跖B,R的坐標分別為(°五),(3.3,01,(0.0.3),

因此福?1三。,.：!)，XZD-|0,-3.l)；

設“：?(<J.：)是平面M3。的法向量，則

11.MB元IMP,

GTA/3?3x-2：-0

所以I"：--3『+二-0,

取二=3,則x?,『=1.于是”：-C是平面MB。的一個法向量.

4.(2024.高二.全國?課堂例題)如圖所示，已知空間直角坐標系中的三棱錐。--任。中,

0(0,0,0),4(a,0,0),a；0,i,0),0(0,0,r),其中心*0,求平面43c的一個法向量.

【解析】依題意，瓦0),^C-(-a.O,c),心-0,

AB=—€R+ZXI'=0

設平面值的一個法向量為〃=(、>:)，貝1不4c--公+U.0,

令T-bc,則?山，因此”=(加,甌而)

所以平面處的一個法向量為(加.H、而).

題型二：利用向量研究平行問題

5.（2024.高二.全國?課堂例題）如圖，在平行六面體45：?工'中，E,F,G分別是40,

Q。'，DC的中點，請選擇恰當的基向量證明：

（1）EG/IAC.

⑵平面*平面

【解析】（1）取基㈤.AB.AD^,

因為HG-ED'+D'G

1—1—

=—AD+—4B

—1，

IC-IffflD-2￡G,

所以明〃4C,

又EG,4。無公共點，所以改?〃4。.

（2）因為

=—+^AB

一-，

AB,-AB^AA'-2FG,

所以JU//4E',

又F。，45r無公共點，

所以網〃4B'.

又那a平面兒BC,4B'u平面MC,

所以用〃平面ABX*.

又由（1）知屆"40,

同理可得因〃平面A3C,

又?FunwGuG,

MEGu平面加3,

所以平面1FG〃平面/IBC.

6.（2024.高三.全國.專題練習）如圖，在四棱臺45c中，底面在與⑺是邊長為2的正方形,

Z）AJ■平面ABC。，A3-：AB；DD-p為”的中點.求證：。尸〃平面二叱5；

D、C,

【解析】底面ABC。是邊長為2的正方形，皿,平面ABCZ）,

故DD,DA,兩兩垂直.

以。為原點，以,8?DA分別為1軸，F軸，二軸建立如圖所示空間直角坐標系,

在四棱臺“嵐*0-4耳3中，"=邛=2,即=1,p為AB的中點，

故々0。11.中,。,。）/（門。）,4。1.1）?0.1（1）￡（。1.1）,汽210）

則》瓦JiT-Ll）

所以。戶--明，即卬^,2,

且。「二平面反匕旦，BC.<=平面反ea,

故。P〃平面氏匕4

7.（2024.高二.全國.專題練習）如圖，在四棱錐S-月歐'0中，底面T3CD滿足瓶J.心，

底面45CD,且X4=/6=BC=1,Q=05,E為S5中點.求證：AEII^SCD

【解析】由題可知和，底面兒9第，ABLAD,故/5?4艮4D兩兩垂直.

則以A為原點，AD.45、處分別為小y、z軸正方向建系，

/（0Q。）.0m.s（O,O」）,B（O.LO）.C（U,O）HO.”

設平面SCD的一個法向量為所T1?「二）,

；K+F=0

*

....2X-*"0,令T=2,則『=-1二=1,

所以w-u),1

一11

AEin=0-2+—xi-1|+_xIs0

而22,

所以近1而，又兒面SCD,

8.（2024?高二?全國?專題練習）如圖，在四棱柱45V「―4'CR中，側棱從“，底面/13CD,

""，4c.AS[,4C**CD,且點”，N分別為BC和00的中點，求證：AW〃平面

【解析】以A為原點，分別以4c，44所在直線為XJ二Z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示，可得,即，0），。（工11隊?1廣10），4（0,0,2）,4（03,2）,q（2.0.2）.^（L-2.2）

又因為MN分別為耳。和的中點，可得,

又由向量7=e，o]）為平面值。的一個法向量，且乂,

由此可得而G-0,又因為直線MNa平面4BCD,所以卬〃平面際2>.

題型三：利用向量研究垂直問題

9.（2024?高二?全國裸堂例題）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱尸D_L底面

ABCD,PD~DC,8為尸C的中點，"18P于點F.求證：EB1平面JFD.

【解析】因為加，平面4BCD,平面依3，所以PDIMPDIDC,

又因為底面/BCD是正方形，所以。

所以DC,力尸兩兩垂直，

以D為坐標原點，DA,DC,￡中所在直線分別為x軸、F軸、二軸建立空間直角坐標系°一寸=,如

圖，

設DC=PD=l,

則'd,。似⑼,引LL”,"（0t5巧）.

所以麗―），反電輔,"HI.

P5（l.l.-lI-0+0——

法一：因為V-,所以尸BIOS,所以尸BJ.OA,

又因為FBIM,BFr\DR^B,*凡勿匚平面5尸口，

所以P5J■平面8FD.

法二:設g喊則市?（3“）尸

-_SFPBmx+1r—Q|z—J?0

因為即1P8,所以UI”,

即T+J'-KO.①

又因為市〃而，可設序=海（°"41）,所以x“，門4,二-|?-彳,②

由①②可知，3,3,3,所以市-SU

設克為平面8加的法向量,

11In

3T6Jt+r(-°

「而=0

則有V5DE-。，即

,所以11「-二，取二=】，則而T-1U)

所以麗〃月，所以1PBi平面fFD.

10.(2024?高三?全國?專題練習)在三棱錐4-3CQ中，AB-AC~BC-CD-2,ZBC7D-12O0,

AB1AD,￡為線段8D的中點.證明：ASLCE.

【解析】取6。中點0,作。T18C,如圖，以8C中點0為原點，

以OT.OC方向為xj軸，過。垂直平面5CD的方向為z軸，建立如下空間直角坐標系,

H^-4C-3C-CD-2,所以以Q-L0),^(0,1,0),

又-4BC是等邊三角形，設D(T』0),

B(-亡10)

因為以為線段8D的中點，所以2,2,CT1SD,

故而Ed,所以第=(2+2,a嗚

得到吁m?D?。，

cosZBCD=--

因為『，所以2,

而麗?(0,-2,0),而=(xj-LO),

1-2(J'-D

所以：.gy,

解審?后2，所以外加.0),,所產=哈一”

設44乩。)，因為是等邊三角形，

所以BC10A,故而5?。，而反^(O2,。)，OA~(a,b.c),

所以?=0,解得6=0,所以從《0工)，

因為JBJ.JD,所以血石?0,又/B=(-a「lr),XZ>-(J?-a,2-c),

由兩點間距離公式得a：+c、l-4,解得3*3,

所以喏。苧,0W,

心，0)西麗=-且區1=0

而22,可得322,

故4BJLCff得證.

11.(2024.高三.江蘇南通.階段練習)已知四棱錐尸一月式的底面為直角梯形,

,,.PA==DC=-AB=t

ABHDC，一ZU3-90，Rll平面兒SCD,2

FM1

⑴若點M是棱用上的動點，且滿足而=?,證明：PQ"平面4c/；

⑵若點"為棱R?上的一點(不含端點)，試探究尸。上是否存在一點N,使得平面ALW-平面BON?若

PN

存在，請求出所的值，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)以A為原點，AD,AB,AP所在直線分別為'軸、F軸、二軸建立如圖所示的空間直角

則4(000)1,^UO.O)P(IHIJC(1,1,0),“工訓

因為點”是棱陽上靠近尸的三等分點，即：!，則I33

則,一片行)Zc-(i.l.O)PD-(LO.-I)

從‘玩■不?：:?口.

設平面46/的一個法向量為濟二），滿足＞?"v+T-O.

令1=1,則『=一】二=1,則用—―】」).

PD>?1-1-1-0,.-.PD.L?M,

又PD(z平面46/,所以及〃平面46/.

(2)存在.

設由=慶(0<4<1)則MAA1T),國?(441?4),I5-U.0.0I

AD〃-X,-0.

1_________+孫+（1-川］=0,

令-1,則4,故取

，'，

設平面購的法向量為“：=1三5二），

區■］「次.Q

滿足I%.Ar:+（A-2）j,+（l-4|z*0.

一3"2-心］乂?2）

令九=1,貝廣-A-1，故取IA-lJ,

一一NTU-2

若平面4DM_L平面8DM,則力,入，即一1+~7二1”

,1PN、

4=--._---―1

解得2,此時“為PC的中點，則NC.

12.（2024?高二?山西大同.期中）如圖，在直三棱柱450-450中，

4B-2JC-4.4il,-Z^.ABLAC.ADIBC,；垂足為Q,E為線段4B上的一點

C

⑴若以為線段43的中點，證明：DE平面4H；

衛

(2)若平面4a±平面乂皮\求AS的值.

【解析】(1)連接4，,在直三棱柱45c-43°中，有=J"-空=七

M產AB

Xing.D為BC中點，

又后為46中點，DEACi,

-ACAC,DEAC,

又。￡(z平面ABCMCu平面被？，

D?」平面49c.

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,貝網2?二用A0。;同月(040).川.2.百),

京信0.0)不=(04-刈瓜心淘

設”=4誦OS4SI,

則用0.44.2^-2^).Iff-(0.44.24-241)

設平面4BC的法向量“.E?九二J,

N-0fx,=O

z,月?。1-J,?"取:「2,得行=1°，石」)，

g(

設平面4DE的法向量向7&J：:),

(Iffm-0paj.+2V3(l-A):.-0

m-0(r.+2r.+>/3:.-0取:：=-24,得歷中屆-?五曲-百兒-")

1,平面ADf1平面4改,

4-1

nj5i?3-3A-4a?0,解得7,

AB■一3

當平面心1平面4BC時，AB7

題型四：異面直線所成的角

13.（2024.高二.全國.課后作業）如圖，在直三棱柱ARC中，4c="8=44=6,

2,=,q上_」,求向量而與4c的夾角.

【解析】直三棱柱4K'-4&G中，H4J■平面值，4Bu平面處，4Cu平面值,

則有J.4B.4/J.4C故數荏=0通而=0,

由BC-2,有4斤+4C；?BC：,得故ZSI?=0,

AE——|AB+AC\

又E為3。的中點，有

________1__________1.J

AEA.C=-iAB+AC\iAC-AA|=-AC=1

得？2，‘‘r2

行市1

有cos畫,正工同廬|F

又*抄Mr,所以用孫知

即向量罰與aC的夾角為6。二

14.（2024.高二.全國?課后作業）如圖，在棱長為a的正方體」與；工-乂￡;。中，求異面直線射和水"

所成角的大小.

【解析】方法一：以。為原點,DA.DC.DR所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系，則/(a.0.0).改aamqQaOXHaO.a),所以切-(0.-a.a),4C?(-a,a.0)

8國而=駕馬丁=%」

所以網明石耳)

所以麗J?Y0?.

又因為異面直線所成角&滿足0°<8490°,

所以異面直線隊和4。所成角的大小為60*.

方法二:

因為國=84+.4。=AB+8C,

m“而左=1瓦+麗I(q+畫=瓦荏+瓦i而+的樂+麗麗

m以?

因為48J.8C38148.88i8C,

所以aBC-0.5B,X5-0.BB,BC-O,而而近一廣,

所以M"…二

皿夙，而=罵￡=——=」

所以網的不方2,

所以而

又因為異面直線所成角&滿足。°<8490°,所以異面直線必和AC所成角的大小為6T.

題型五：線面角

15.(2024.高三?湖南?階段練習)已知四棱錐P-A9co中，平面月底面

/V

wnBC,AB1BC,PA=PB=^AB,AB=BC=2AD,E皿GMP。

ABCD.AD.2為的中點，尸為棱PC上異于0的

點.

(1)證明：BDLBF-,

標

(2)試確定點F的位置，使E尸與平面氏D所成角的余弦值為

【解析】(1)如圖，連接彩方仁陽交^^于點G.

因為&為的中點，PA=PB,所以每，48.

因為平面月45,平面兒&?D,平面月48c平面/8。。=4反尸《匚平面以5,

所以戶ffj■平面ASCD,

因為BDu平面ASCD,所以PEJ.3D.

因為3C*,所以NCAB.NBD4,所以」CffB.」ABD.9IT,

所以ED1月。，

因為P*cBC=B.PRECu平面PE。，

所以BD/平面PffC.

因為即u平面戶ff。，所以EDI月產.

(2)如圖，取的中點H,以后為坐標原點，分別以曲即.所在直線為X"1軸建立空間直角坐

標

系，

設旗=?,則反*■2,H>=L%=PB?0,

g^(W).qi,2.0).D(-1.1.0).f(0,0.0),

設尸(KJ：|.喬?屈(0<A<I)

所以（EJ.二-1|一川,

所以T=Ay-7即內心［IT）.

則由TIL叱麗?（1」.山.而■以乂1?4）

設平面PCD的法向量為面?瓦G,則

（皮而=0,r2a4d-0.

1汽*用?01即a+2b—c?0.?（1.-2,-31

設EF與平面PCD所成的角為6,

q亞q3而

由14,得14.

皿8所孫噌?胃6±±23—M

所以II網網爐7一+4-+（1-/H,

整理得6萬0?0,

4」~PF??PC

因為0〃<1,所以即3,

故當F位于棱PC靠近尸的三等分點時，即與平面PS所成角的余弦值為"i丁.

16.（2024.高二?廣東廣州?期中）如圖，已知以！?平面，4次2底面A&'D為正方形,

『乂=4二=45=2,M,N分別為XF,尸「的中點.

⑴求證：MVJ?平面FCD；

（2）求FD與平面月丫。所成角的正弦值.

【解析】（1）以A為原點，/山為x軸，4D為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系,

則尸QO.n.Cd。).D(0」,0).ML0.0l.NILL1)

PD=(OJ,-2|,CD?H-.0.0)A^7-10.1.1)

，，

設平面PCD的一個法向量為亓"(工廠二)，

pPD-2j-2r-0

CD--2r-0，取『=1,得行—(0.1.1),

因為砌/而，所以MN,平面PCD；

(2)P(O.O.2).C|2.2,O|,M(I,O.O).

麗?(1.0「2)WC-H.2.0)

，，

設平面以/。的一個法向量為玩■9力(),

fmPM-a-2c-0

則［A/C?a+”-O,取a.2,得用?(MT」)

PD-(0J.-2).

設直線PD與平面麗所成角為e,

則直線PD與平面刑怨所成角的正弦值為：

17.(2024?高三?北京海淀.開學考試)如圖，在直三棱柱.3c-48。中，-4CB為直角，側面4紂：4

為正方形，y4C=5C-2,0F分別為人8,4c的中點.

⑴求證：◎國"平面用°「；

(2)求證：月C1DE；

(3)求直線月。與平面8DE所成角的正弦值.

【解析】(1)連接友*,

在"C中，因為A&分別為犯數的中點，所以由BG

又"5面剪"gu平面期所以。&〃平面期c,C.

⑵因為直三棱柱/5C-44C中，?為側棱，'

所以Q?平面乂氏\

因為4Cu平面48C,

所以"L4J

又/ACB為直角,

所以4018C

又BCcCC「C5c.ecu平面即￡c,

所以4C?L平面刖C。，

因為友'u平面MCC,

所以4c,陽，

由⑴DB//BClt所以4alD.

（3）建立空間直角坐標系0-4反

則式0,0,0),31),4Q.2.2),A1,I,0),ML0R,

因此FI1,DE=(O,-l.lt

設平面的法向量為京7工廠：),

2j-r-0[*.3二

令：-1,則＞3j=l,于是行?(IU),

設直線40與平面3QS所成角為6.

所以??麗—川川市11.

18.(2024?廣東深圳?一模)如圖，尸。_L平面ABCZ),

AD*CD，AB”CD?PQ”CD，AD=CD=DP=1PQ=?AB=?，點、E,F,M分別為AP,CD,BQ的中

點.

⑴求證：即"平面CPM；

n

(2)若N為線段C。上的點，且直線ON與平面QPM所成的角為G,求0"八亡的值.

【解析】⑴連接EM,由48〃皿尸0〃。力，得AB”PQ,

又A3=PQ,則四邊形以行為平行四邊形，

由點E和/分別為AP和8。的中點，得如〃AB且加=AB,

而4B〃皿尸為co的中點，則加〃“'且Mf?b,

四邊形即CM為平行四邊形，則即〃MC,又即＜Z平面MPC,CMu平面MPC,

所以那〃平面MPC.

(2)由平面兒S3,ADLCD,得直線以工，》兩兩垂直,

以。為原點，直線以工刀尸分別為二軸建立空間直角坐標系，

則ZXO.OJX4(2.0.0)i5(2,l0>C(0.2.0),P(0.0.2),久氏I。M(1.II),

a7-(i.i.-i).?e-(o.i.o),a7-(i,-i.i).?c-(o.2.-2),

(nPM=x+y-z=0

設而="J,二)為平面PQM的法向量，則I彳92-.r-O,

取：=1,^-(1,0.1),

設麗面04心1),即麗=(0"”),

則MQI+IJ-。)，^-(0,44.1,2-21),

1anJen*而處1%則

由直線ON與平面PM。所成的角為6,得6i^'imi,

I.

即'/+iy.(2?”yC整理得3T'-IOZ+3=O,而ov1,解得

所以緲催=1」

題型六：二面角

19.(2024.廣西.模擬預測)在長方體45cD-/BCD中，點區E分別在房，02)上，且4斤14D,

AA=BD

(1)求證：平面,,D4平面AEF；

(2)當4：)-3,TJ=4,求平面二3屆‘與平面〃、二’的夾角的余弦值.

【解析】(1)"^BCD-ABCD為長方體.CD1平面44A。

-AFc平面A'DQ...CD1心

又'，產X且0!0仆4。?。CD、40u平面4CD

AF1平面.CD

?.?AFu平面AEF

,平面兒KFJ?平面ACD

(2)依題意，建立以。為原點，以D4,DC,°D分別為x,y,Z軸的空直角坐標系，12-SD-5

則4（3.Q0）,用3,40）.C（Q40）.4（3?0?5）.A（Q0J）

則而,（0。5）.麗?（340）.成?（T4「5）,福?（-3.0「5）

，4c-0,3x-4y?5r-0

設平面A。。的法向量為1則I斤4。?0,即13vf5r-0

令T?5,則；=-3.?(5,D,-3)

(rnDB=3x+4r=0

設平面貼加的法向量為貝讓?D^-fc-0,

令x=4,則r=-3==0,所以平面R4HD的法向量為正=(4.-U),

設平面4CD與平面。3處的夾角為6,

則8也忖3人|輻Hl?真

2734

所以平面ACD與平面QB30的夾角的余弦值為一丁

20.(2024.高三.江西.開學考試)如圖，在直四棱柱45cEC。中，底面ABCD是梯形,

ZL.45-9fJ\AD5C,￡)尸，G分別為」。的中點.

⑴證明：尺；〃平面

(2)若“?3?48”,長■I,求二面角B-CDt-S的余弦值.

【解析】⑴取8的中點H,連接GH.&H.W.

因為即是△4q3的中位線，所以"7/明，且呼'=嚴，

同理可得麗嗎產.；皿

又電"DD,且班「皿，所以EF〃HG,且XF-HG.

則四邊形即3月是平行四邊形，從而M3//AH.

因為Ma平面CDS,酊u平面8產，所以網〃平面CDE

(2)在直四棱柱45c耳3中，因為/班=90。，所以44/8"。兩兩垂直,

以A為坐標原點，的方向分別為二軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系.

則畫-(LYL冊?|U「2|.皮

設平面CDE的法向量為所=(X1MN1),

F西=1-2兒+匕=0

則I吊團-居+FL工?。，令)=3,可得彳?。43),

設平面BCD的法向量為％=?0,昂,二：)，

?；CD,-*；-2y:+2:：-0

為5C-x-0，令J=1,可得?=，：()」」，

!;

——7777廊

所以-徜?k?*

7屈

易知二面角B-8-E為銳角，所以其余弦值為W.

21.(2024?高三四川達州.開學考試)如圖，在三棱柱4優'TB「中，4平面

ABC.ABi1AiC.ABlBC.AB=3C=2

⑴求證：期,平面A8C；

____x

⑵設點P滿足Wd）,若平面A5尸與平面5cp的夾角為反求實數人

【解析】（1）證明：?平面45c,8Cu平面兒9C,AA1BC

又?「A515C,且.Mu平面/巡4.四（19?4

-HCJ?平面4HB4

\tARu平面乂E5A.BC1AB

又AiiXAp,BCflA^C■C.bC.ACu平面A5C,

1平面4BC.

（2）由（1）知4月,48.四邊形4354為正方形，即且有47?2盧，

以點A為原點，以必所在直線分別為」二軸，以過A點和平面EC。4垂直的直線為'軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系月-邛■二，

則432）1（&2耳河國6"#/（齊心力?而?仙療T）

?.刀=4/（0G41）,P（OJ瘋2-”）

方=（02也，-獨）,亞=|￡/川

設平面P4B的一個法向量為彳.（*、r?二I,由49"L%/月J■元得：

由⑴知期?>?平面&BC平面CPB的一個法向量為"=》,

4=一

所以2.

22.(2024?高三?安徽?開學考試)如圖，在四棱錐P-4BCQ中，以±平面4孔2松||皮＞,?,8。.1

為PD的中點.

⑴若用4?月。，證明：平面水7；

7

(2)已知4。=2月＜=28。=4,平面和平面PB的夾角的余弦值為萬，求/B.

【解析】(1)因為月11平面4友*"4"加u平面可知R1_L4D,P/_L。。,

EA^-PD

且3為PD的中點，則2,

EC=-PD

若財=9C,即2,則RC1CD,

且P/iClPC-P,戶兒PCu平面平面/CP,

所以CDJ■平面/1CP.

(2)由題意可知：為1?平面月A?D,HBlAD,

以4為坐標原點，“以心-彳尸為苴,叱二軸，建立空間直角坐標系，

因為4D?？月4?2BC?4,設4B?a>0,

則4（0J.0）.Cm.D0,4,0）.P|0.0.3,K（0,：U）,

可得71=10=Ii,I?=（a「。,而=|Q4T而=）

(in-D

設平面的法向量為用=(八.”/3,則l而4C-G.+),?0,

令i=?,則「my.3h2a,可得施2a)；

piPD-4jr,-2:;-0

設平面PCD的法向量為n=(X2MN2)，則Le■-5+2-r：-0,

令4=2,則『，-a.?②，可得京?(2a%)；

.|冷14+3o:7

由題意可得：rlHlV4+5a山+5°：9,解得(舍負)，

所以兒B-l.

23.(2024?高二?河南焦作.開學考試)如圖，在空間直角坐標系中有長方體的D-H5'C'D',

AB=2,AD=4,A4'=2

(1)求L點到平面4,處的距離；

(2)求平面4LQ與平面值夾角的余弦值.

【解析】(1)由題可知C，，＞/'(mB(2.0.0).D|0,4.0)

得瓦?。0-"亞?(0,4「2).百?二4,0)

設平面4處的一個法向量為n=?,瓦。，

故平面4'HD的一個法向量0■C),

陷回8

所以。點到平面/處的距離為IwIL

(2)由題可知。匚41.4|0Q0i.8i[0.0|.0。.4.0)

得Z?=(2,4J|.石*0401,

設平面4LD的一個法向量為記=(x,y,z),

pCm-Qpx+4r+2:-0

所以有i私2飛…

卜、

令解得

故平面4(TD的一個法向量用T2-0-21,

同理平面板)的一個法向量為7T0-0J),

設平面4LD與平面月BD夾角為a,顯然a為銳角,

則83解=圖K

題型七：距離問題

24.(2024.高二.江蘇淮安?階段練習)將邊長為2的正方形ABC。沿對角線AC折疊使得△AC。垂直于底

面A3C,則異面直線A。與BC的距離為

I答案】黑部

【解析】取40的中點O,連結°A°D,ODLAC,OBLAC

由條件可知，平面4cDJ?平面43C,且平面480平面4BC-4C,QDu平面4CD,

所以ODJ.平面值，

如圖，以點。為原點，0B.0C.0D為xj.?:軸的正方向，建立空間直角坐標系,

A\0.->/2,Q)5(72,0,0)C(O,^,O)^0,0,7?)

而=(o,￡W)的=(-￡￡o)麗，

,,，

設與近.而垂直的向量為ri-\」，力，則

石石=行+d=0

BCM--J7x+V；r-0令“I,則『=1二二一1,所以;

&

則異面直線A。與BC的距離為Irl

故答案為：3

__1_—

25.(2024.高二.浙江金華?期中)已知在棱長為4的正方體43。°中，'=彳'、.

(1)求點。到直線月E的距離;

(2)求點。到平面4瓦2的距離;

(3)在此正方體中，^^LBC.ASLAA^則稱線段AB的長為異面直線慶》與44的公垂線段長，也稱為異

面直線與7M的距離.試求異面直線8與4E的距離.

【解析】(1)

如圖根據正方體性質，可以如圖建立空間直角坐標系0-用：，4,

可以得到各點坐標.54°),X(4,o,o),。(0。4),皿9AO.O.O).

，港⑸_1_4|_4霹

^-(-1.1.4),也.(4T,0),i7ffF*V1+1+16"—,

d~J\CA[-I:-羋」?

則點C到直線■的距離V33.

⑵豆.(4.T0),4^-(-4.0.4)；

fsAS^Of-x+/+4r?0

設平面4犯法向量為而=(7二)，則[而皿■(]l~4i+4"0

x-1

令xI,則17—3,貝幽=(13」).

d_icxw|_|4+—|_i6>/rr

則C到平面4KR的距離向Jl+9-1H

(3)毒=(4.T0),CD-(0,^,0),4￡-(-l,l,4),

［訐而?0f-4z>-0

設CD與忿的公垂線方向向量為；…山）.則&°l-am-O,

fo-4

卜=0

解得,貝日一（4川）.

則異面直線8與月￡的距離1?1而17.

26.（2024?高三?全國.專題練習）已知正方體43c2-4￡匚5的棱長為1,8為。。中點，求下列問

題：

（1）求異面直線Q5與4*的距離；

⑵求4到平面45E的距離；

（3）求DC到平面48E的距離；

（4）求平面4DB與平面DCS的距離.

【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標系,

則。（0.0.0）4（1,0,0）,BILL。）、CIO.L。），4&0.1）、5（U1）、

GMU）、川o.o.i）、4*」），

所以有440,取TUT）,

設6、1〃是與*夕，都垂直的向量，

卜竺.0卜+$?。h..2r

則匕A3-0,即（X+F-二?0,即令T=1得%=a?J）,

選4后與犯的兩點向量為M

d刖I1=巫

得4后與犯的距離\n\WM.

戶Zff-o

（2）設正?（db?為平面48&的法向量，貝11bs48-0,

-a+—b=0A、

2P-2a

,t,即卜■勿，令得扁=a?」），

選點4到平面4EE兩點向量為4"O.LO）,

d?|率:

由公式得：點瑪到平面48*的距離|阿|3

（3）由（2）可知：平面48s的法向量可設而

設DC與平面ABS的兩點向量為M?（L0.0）,

故直線RC到平面48S的距離網3.

（4）^4-（1.0.1）,DB-（1.1,0）（1.1,0）

設vkm二?M-代5三）分別為平面4D5、平面中珞的一個法向量，

ZU,n,-x,+r,-0

{DB^-x,*r-0,令c=l,可得j\=-I二.=-l,所以;—LT）,

M.-/j-r,-0

H-x.+r-0令工“，可得為-一1二：?“，所以為-（L?L-I）,

E:

所以,所以平面ADW平面DC',

可得4點到平面0ca的距離即為所求，DA?（LO.O）,

ADCB網|8回斗吟件力。

所以4點到平面〃C4的距離為rIV’

史

故平面4DS與平面DC8的距離為3.

【重難點集訓】

1.（2024?高三?河北保定?開學考試）如圖，在正方體48CRT6PD中，分別為DB.”的中點,

則直線人“和邱,夾角的余弦值為（）

J:縣

A.3B.2C.3D.

【答案】C

網衣，囹作為基底，則

【解析】化為空間向量問題，以

'*——F—',

設向量A4和正的夾角為6,

則直線4M和邱'夾角的余弦值等于|8Sd|.進行向量運算

面;西?回網9%㈣

-ISi'-lfiDBA^-BABC--BDBCt

24f2f4'

因為四面體暝c為正四面體，所以慳卜阿T附且明明㈤夾角均為3,

面;更g京—麗可苑?：麗苑

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