專題13.2軸對稱的性質【八大題型】

【人教版】

衣

【題型1游戲中的軸對稱】.....................................................................1

【題型2利用軸對稱的性質求角度】.............................................................3

【題型3利用軸對稱的性質求線段長度】........................................................4

【題型4在格點中作軸對稱圖形】...............................................................6

【題型5利用軸對稱的性質解決折疊問題】......................................................8

型

題6利用軸對稱的性質解決最短路徑問題】.................................................10

型

題

7利用軸對稱的性質解決探究性問題】...................................................12

型

題

8軸對稱圖案的設計】..................................................................16

。如>2*聲1二

【知識點1軸對稱的性質】

（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質得到一下結論：

①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對

稱；

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線,

就可以得到這

兩個圖形的對稱軸.

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

【題型1游戲中的軸對稱】

【例1】（2022春?余姚市校級月考）小王設計了一“對稱跳棋”題：如圖，在作業本上畫

一條直線I,在直線I兩邊各放一粒圍棋子A、B,使線段長8cm,并關于直線I對稱,

在圖中Pi處有一粒跳棋子，P距A點6c處與直線/的距離為3c〃z,按以下程序起跳：

第1次，從Pi點以A為對稱中心跳至尸2點；第2次，從尸2點以/為對稱軸跳至R點；

第3次，從尸3點以B為對稱中心跳至8點；第4次，從尸4點以/對稱軸跳至P5點；….

（1）棋子跳至26點時，與點P1的距離是；

（2）棋子按上述程序跳躍2014次后停下，這時它與點8的距離是

B

?R

【變式1-1］（2022?云夢縣一模）甲和乙下棋，甲執白子，乙執黑子.如圖，己共下了7

枚棋子，棋盤中心黑子的位置用（-1,0）表示，其右下角黑子的位置用（0,-1）表

示.甲將第4枚白子放入棋盤后，所有棋子構成一個軸對稱圖形.他放的位置是（）

A.（-1,1）B.（-2,1）C.（1,-2）D.（-1,-2）

【變式1-21（2022?濰坊）甲乙兩位同學用圍棋子做游戲.如圖所示，現輪到黑棋下子，

黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5個棋子組成軸對稱圖形，白棋的5個棋子也成

軸對稱圖形.則下列下子方法不正確的是（），［說明：棋子的位置用數對表示，如

A點在（6,3）］.

【變式1-31（2022?綏棱縣校級模擬）如圖是跳棋盤，其中格點上的黑色點為棋子，剩余

的格點上沒有棋子.我們約定跳棋游戲的規則是：把跳棋棋子在棋盤內，沿著棋子對稱

跳行，跳行一次稱為一步.已知點A為己方一枚棋子，欲將棋子A跳進對方區域（陰影

部分的格點），則跳行的最少步數為3步.

【題型2利用軸對稱的性質求角度】

【例2】（2022秋?河東區期末）如圖，/XABC中，ZB=58°,/C=55°,點。為8c邊

上一動點.分別作點。關于AB,AC的對稱點E,F,連接AE,AF.則NEAF的度數等

于

【變式2-1］（2022春?壽陽縣期末）如圖，△ABC中，ZB=60°,NC=50°,點。是

BC上任一點，點E和點尸分別是點D關于48和AC的對稱點，連接AE和則/

胡廠的度數是（

C.120°D.100°

【變式2-2］（2022秋?臺江區期中）如圖，四邊形A8CD中，AB=AD,△ABC沿著AC翻

折，點B關于AC的對稱點E恰好落在上，若NB=a度，則/￡＞的度數是.度

【變式2-3］（2022秋?房山區期末）如圖，點尸是NA02外的一點，點。是點P關于

的對稱點，點R是點P關于OB的對稱點，直線QR分別交/AOB兩邊OA,OB于點M,

N,連接尸M,PN,如果/PMO=33°,ZPNO=70°,求NQPN的度數.

A

O

【題型3利用軸對稱的性質求線段長度】

【例3】（2022秋?土默特左旗期中）如圖，點尸在NA08內，點M、N分別是點尸關于

AO,8。的對稱點，若△2斯的周長為15,求的長.

【變式3-1］（2022春?洛寧縣期末）如圖，點尸在NAO8內，點M、N分別是P點關于

。4、08的對稱點，且MN交04、08相交于點E,若的周長為20,求MN的長.

'A

【變式3-2］（2022春?驛城區期末）如圖，點尸是/AOB外的一點，點M,N分別是/A08

兩邊上的點，點P關于的對稱點0恰好落在線段MN上，點尸關于08的對稱點R

落在MN的延長線上.若PM=3cm,PN=4cm,MN=45cm,則線段QR的長為.

【變式3-3】（2022秋?淮安月考）如圖，在△ABC中，AB=12cm,AC=6cm,BC=lQcm,

點、D,E分別在AC,AB上，且△BCD和△BED關于BO對稱.

（1）求AE的長；

（2）求△ADE的周長.

F.R

【題型4在格點中作軸對稱圖形】

【例4】（2022秋?密山市校級期末）如圖所示，

（1）寫出頂點C的坐標；

（2）作△ABC關于y軸對稱的△A1B1G，并寫出S的坐標;

（3）若點4（a,b）與點A關于尤軸對稱，求a-6的值.

【變式4-1］（2022秋?自貢期末）如圖，在直角坐標系中，A、B、C、。各點的坐標分別

（1）在給出的圖形中，畫出四邊形ABC。關于y軸對稱的四邊形481GA；（不寫作

法）

（2）寫出點4和G的坐標；

(3)求四邊形AiBCiDi的面積.

【變式4-2](2022秋?竦州市期末)在如圖的正方形網格中，每一個小正方形的邊長為1,

格點三角形ABC(頂點是網格線交點的三角形)的頂點A,8的坐標分別是(-6,7),

(-4,3).

(1)請你根據題意在圖中的網格平面內作出平面直角坐標系.

(2)請畫出△ABC關于y軸對稱的△431C1

【變式4-3](2022春?銅仁市期末)如圖，已知點A(4,3),8(3,1),C(1,2),

請解決下列問題：

(1)若把△ABC向下平移1個單位，再向左平移5個單位得到△481G，請畫出平移后

的圖形并寫出4,Br，G的坐標；

(2)若△A2&C2是△ABC關于x軸對稱的圖形，請畫出△A2&C2并寫出A2，星，C2的

【題型5利用軸對稱的性質解決折疊問題】

【例5】（2022春?廣陵區校級期中）發現（1）如圖1,把△ABC沿。E折疊，使點A落在

點A'處，請你判斷N1+N2與NA有何數量關系，直接寫出你的結論，不必說明理由

思考（2）如圖2,8/平分/ABC,C7平分NAC8,把AABC折疊，使點A與點/重合,

若Nl+N2=100°,求/2/C的度數；

拓展（3）如圖3,在銳角△ABC中，8尸，AC于點RCGLAB于點G,BF、CG交于點

H,把△ABC折疊使點A和點H重合，試探索與/1+N2的關系，并證明你的結

論.

【變式5-1］（2022春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長為8c機的正方形A8CD折疊，使點

D落在8C邊的中點E處，點A落在尸處，折痕為MN.

（1）求線段CN長.

（2）連接印，并求的長.

【變式5-2]（2022秋?成都期末）如圖，四邊形ABC。中，AB//CD,ADLAB,AB=6,

AO=CD=3,點E、廠分別在線段A3、A。上，將/沿跖翻折，點A的落點記為P.當

P落在四邊形ABCD內部時，PD的最小值等于.

【變式5-3]（2022?惠安縣期末）如圖，已知一張長方形紙片ABCD,AB//CD,AD=BC

=1,AB=CD=5.在長方形A3。的邊AB上取一點在CD上取一點N,將紙片沿

MN折疊，使.MB馬DN交于點、K,得到△MNK.

（1）請你動手操作，判斷△MNK的形狀一定是；

（2）問△MNK的面積能否小于”試說明理由；

（3）如何折疊能夠使△MVK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現的情況，并求最

大值.

【題型6利用軸對稱的性質解決最短路徑問題】

【例6】（2022春?嶗山區期中）早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理

的學者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的

問題.

將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的軍營B開會，應該怎樣走

才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據說海倫略加思索就解決了它.從此以后，

這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今.

大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題.

如圖2,作B關于直線/的對稱點次，連接與直線/交于點C,點C就是所求的

位置.

證明：如圖3,在直線/上另取任一點C',連接AC',BC,B'C,

:直線/是點8,B'的對稱軸，點C,C在/上，

:.CB=CB',CB=C'B',

：.AC+CB^AC+=.

在△A。B'中，

'：AB'<AC+CB'

：.AC+CB<AC'+CB'即AC+C2最小.

本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，3在直線同側的問題轉化為在直線的兩側,

從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決

（其中C在AB'與/的交點上，即A、C、B'三點共線）.本問題可歸納為“求定直線

上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數學模型.

【簡單應用】

(1)如圖4,在等邊△ABC中，48=6,AD±BC,E是AC的中點，M是上的一點,

求EM+MC的最小值

EM+MC的最小值就是線段BE的長度,則EM+MC的最小值是；

(2)如圖5,在四邊形A2CD中，ZBAD=130°,/B=ND=90°,在BC,C￡>上分

別找一點M、N當△AAfN周長最小時，ZAMN+ZANM=°.

【拓展應用】

如圖6,是一個港灣，港灣兩岸有A、B兩個碼頭，ZAOB=30°,。4=1千米，08=2

千米，現有一艘貨船從碼頭A出發，根據計劃，貨船應先停靠。8岸C處裝貨，再停靠

。4岸。處裝貨，最后到達碼頭艮怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？

請畫出最短路線并求出最短路程.

【變式6-1】在ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,AC=6,點。，E在AB邊上，

C￡>,點E關于AC,C。的對稱點分別為RG,則線段FG的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

【變式6-2］（2022秋?雙流區校級期中）在△ABC中，ZA=45°,AC=8,BDLAC,BD

=6,點E為邊BC上的一個動點.Ei，E2分別為點E關于直線AC,A8的對稱點，連接

E1E2,則線段E1E2長度的最小值是.

【變式6-3］（2022春?青羊區期末）如圖，△ABC中，ZB=45°,ZC=75°,AB=4,

D為BC上一動點,過。作。ELAC于點E,作DfUAB于點凡連接ER則EF的最

小值為.

【題型7利用軸對稱的性質解決探究性問題】

【例7】（2022春?二道區期末）解答下列各題:

（1）【問題引入】：如圖①，在△ABC中，/B4C=70°,點。在BC的延長線上，三

角形的內角/A8C與外角NAC。的角平分線BP,CP相交于點P,求/P的度數.（寫

出完整的解答過程）

（2）【深入探究】：如圖②，在四邊形MNC8中，設/N=0,四邊形MNCB

的內角與外角NNC。的角平分線BP,CP相交于點P,則/P的度數為

.（用含有a和P的代數式表示）

BCD

②

（3）【問題拓展】：如圖③，在圖①中，把/BAC=70°改成N54C=Y，其他條件不變,

將△PBC以直線BC為對稱軸翻折得到△G8C,ZGBC的角平分線與/GC8的角平分線

交于點M,則的度數為.（用含有y的代數式表示）

【變式7-1］（2022秋?洛南縣期末）問題提出：

（1）如圖1,畫出直角三角形ABC關于AC所在直線的軸對稱圖形△AC4,其中N3AC

=90°（保留作圖痕跡，不寫作法）.

圖1圖2圖3

問題探究：

(2)如圖2,ZMAN=9Q°,射線AE在NMAN的內部，點、B、C在/MAN的邊AM、

AN上，且AB=AC,過點C作CPLAE于點F,過點B作BD±AE于點。，證明：LABD

g△CAF.

深入思考：

(3)如圖3,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線/經過點C,且點A、8在

直線/的異側，過點A作A。，/于點。，過點2作BE，/于點E.判斷線段A。、BE、

OE之間的數量關系，并加以說明.

【變式7-2](2022春?臨汾期末)綜合實踐課上，小聰用一張長方形紙片A8CD對不同折

法下的夾角大小進行了探究，先將紙片的一角對折，使角的頂點A落在A'處，為折

痕，如圖①所示.

(1)若NAEF=30°,

①求乙業的度數；

②又將它的另一個角也折過去，并使點8落在EA'上的二處，折痕為EG,如圖②所

示，求NPEG的度數；

(2)若改變/A所的大小，貝UE4'的位置也隨之改變，則/FEG的大小是否改變？請

說明理由.

圖①圖②

【變式7-3](2022秋?鼓樓區月考)問題情境

如圖1,ZsABC中，沿NBAC的平分線A8i折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿/SAC

的平分線折疊，剪掉重疊部分；如此反復操作，沿的平分線折疊,

點3“與點C重合，我們就稱/BAC是AABC的正角.

以圖2為例，△ABC中，48=70°,NC=35°,若沿4BAC的平分線AB折疊，則/

AAiB=70°.沿43剪掉重疊部分，在余下的△B14C中，由三角形的內角和定理可知

N4SC=35°,若沿/BBC的平分線4歷第二次折疊，則點昂與點C重合.此時，

我們就稱NBAC是AABC的正角.