資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題01解三角形（解答題）考法一公式的直接運用【例1】（2023·天津·統考高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．【變式】1．（2022·天津·統考高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．考法二三角形的面積【例2】（2023·福建·校聯考模擬預測）設的內角，，的對邊分別為，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由及，得，由正弦定理得所以，，所以，又因為，所以.（2）由結合正弦定理得，即所以或.又因為，所以.所以，因為，所以，所以，即的面積為.【變式】1．（2023·海南海口·校考模擬預測）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)2(2)12【解析】（1）由可得，，因為，所以可得，解得.（2）由（1）知，所以，又因為，所以，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，，所以，所以，所以的面積.2．（2023·江蘇無錫·校考模擬預測）已知函數.(1)求函數的最小正周期和單調遞增區間；(2)在中，內角所對的邊分別是，且，若，求的面積.【答案】(1)最小正周期為，單調遞增區間為.(2)【解析】（1），所以函數的最小正周期為.令，得，故函數的單調遞增區間為.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因為，所以，從而有，得，則.考法三角形的周長【例3】（2023·重慶南岸）設，（1）求的單調遞增區間；（2）在中，角為銳角，角，，的對邊分別為，，，若，，，求三角形的周長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，令，則，的單調遞增區間為；（2）由（1）得，又角為銳角，，得，，得，所以三角形的周長為.【變式】1．（2023·河南·校聯考二模）記的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)設的中點為D，若，且的周長為，求a，b.【答案】(1)(2)，.【解析】（1）由條件及正弦定理可得，因為，所以，所以，整理得，又因為，所以，所以，解得.（2）在中，由余弦定理得.而，，所以.①在中，由余弦定理得.②由①②兩式相減，得，所以，將代入②，得，則.因為的周長為，所以，解得，所以，.考法四爪型三角形【例4】（2023·福建泉州·統考模擬預測）的內角所對的邊分別為，且滿足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）解法一：因為，所以由正弦定理可得，即，，所以，又，所以，因為，所以.解法二：在中，由余弦定理得，，又因為，所以，即，所以，因為，所以.（2）解法一：因為，所以，兩邊平方得，即①，又因為平分，所以，即②，由①②，解得，，所以.

解法二：在中，，所以，又因為平分，所以，即①，在中，由余弦定理，得，即②，在中，由余弦定理，得，即③，由①②③解得，，所以.解法三：過點作交于點，

因為，且平分，所以，所以為等邊三角形，所以，又因為，所以，，所以.考法五多邊多角【例5】（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學校考階段練習）如圖，在平面四邊形中，，，，，．

(1)求的值；(2)求的長．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：在中，，，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，則，故為等腰三角形，故.（2）解：由（1）知，，又因為，則，因為，則為銳角，且，所以，，在中，由正弦定理，可得.【變式】1.在三角形ABC中，，，，，．(1)求BD的長；(2)若AC與BD交于點O，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，在中，，，，由余弦定理得，，所以，在中，，所以，所以，在中，由余弦定理可知，所以．（2）由（1）可知，又因為，所以為等邊三角形，所以，，在中，，所以，在中，，故，所以，所以，在中，由正弦定理可知，即，解得，所以．考法六最值【例6】（2023·云南·校聯考模擬預測）的內角的對邊分別為，且.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，可得，所以由正弦定理可得，又為三角形內角，，所以，因為，所以，可得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得，則，，【變式】1．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知中內角，，所對邊分別為，，，．(1)求；(2)若邊上一點，滿足且，求的面積最大值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）由題意，，由正弦定理得，因為三角形內角，，則，即，，，，故，，（2），已知，，由（1）知，，由題意得由，（如圖）已知，且由（1）知，兩邊平方得，則，解得，.故.當且僅當，即時，等號成立.所以，的最大值為．

2.（2022秋·江蘇南京·高三校考期末）已知a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊,面積為S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分線交BC于點D,AD＝,求b．【答案】(1)(2)2【解析】（1）解:由題知,則有:①,在中,由余弦定理可得:,代入①式可得:,即,由輔助角公式可得:,所以或,即或,因為,所以;（2）由(1)知,因為平分,所以,且有,即:,將邊和角代入可得:,化簡可得:,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.考法七解三角形與三角函數性質的綜合【例7】（2023·廣東）設函數，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分別是角，，所對的邊，已知，，△的面積為，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由題設，，所以，當時的最小值為.（2）由，得：，則，又，所以，故，則.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，則.【變式】1．（2023春·山西晉城）已知函數.(1)求函數的定義域和值域；(2)已知銳角的三個內角分別為A，B，C，若，求的最大值.【答案】(1)；(2)2【解析】（1），所以要使有意義，只需，即，所以，解得所以函數的定義域為，由于，所以，所以函數的值域為；（2）由于，所以，因為，所以，所以即，由銳角可得，所以，由正弦定理可得，因為，所以所以，所以的最大值為2.考法八證明題【例9】（2022·全國·統考高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．【變式】1．（2023·四川成都·校聯考模擬預測）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求證：，，是等差數列；(2)求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）證明：因為，所以，由正弦定理，得，又由余弦定理，得，則，即，所以，，是等差數列．（2）解：由（1）得，又（當且僅當時取等號），因為，所以，則的最大值為，則的最大值為．解三角形鞏固練習1．（2023·天津北辰·校考模擬預測）已知，，分別為銳角三角形三個內角的對邊，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)3(3)【解析】（1）由于，所以，由根據正弦定理可得，所以，且三角形為銳角三角形，即所以.（2）在中，由余弦定理知，即，解得或（舍），故.（3）由，可得，所以，，即2.（2023·湖南永州·統考一模）在中，設所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若的內切圓半徑，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，則，由的內切圓半徑，可得，即，即，故，解得，故的面積.3．（2023·黑龍江大慶·大慶中學校考模擬預測）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．已知的內角、、所對的邊分別為、、，____________．(1)求的值；(2)若的面積為，，求的周長．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：若選①，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得；若選②，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得．（2）解：由的面積為，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周長為．4.（2022秋·江蘇南京·高三校考期末）已知a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊,面積為S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分線交BC于點D,AD＝,求b．【答案】(1)(2)2【解析】（1）解:由題知,則有:①,在中,由余弦定理可得:,代入①式可得:,即,由輔助角公式可得:,所以或,即或,因為,所以;（2）由(1)知,因為平分,所以,且有,即:,將邊和角代入可得:,化簡可得:,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.5．（2023春·浙江金華）如圖，四邊形是由與正拼接而成，設，.

(1)當時，設，求，的值；(2)當時，求線段的長.【答案】(1)，(2)【解析】（1）在中，由，

可知.由于，，，，，，.（2）在中，，

所以，，.6.（2023秋·江蘇·高三統考期末）已知△ABC為銳角三角形，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理，得，即，即，又，所以，所以，故．（2）由正弦定理，得，所以的周長由為銳角三角形可知，，得，所以，所以．所以的周長的取值范圍為．7．（2023·江西九江·統考一模）中，內角所對的邊分別是，已知，．(1)求角的值；(2)求邊上高的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得由正弦定理，得又，即，（2）解法一：設邊上高為，由余弦定理，得即，，即，當且僅當時，等號成立又，，邊上高的最大值為解法二：設邊上高為，由正弦定理得，，因為，，，，，又，，邊上高的最大值為.8．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）已知函數.(1)求函數的單調遞減區間；(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）令，則所以，單調減區間