空間幾何解答題鞏固練習五1．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知在多面體中，，，，，且平面平面.

(1)設點F為線段BC的中點，試證明平面；(2)若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）取的中點，連接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵，分別為，的中點，∴，且.又，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形.∴，∴平面.（2）∵平面，平面，所以，又因為，所以三者兩兩互相垂直，∴以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴.∴.可取平面的法向量，設平面的法向量，，，則，取，則，.∴，∴，∴二面角的余弦值為.

2．（2023·湖南永州·統考一模）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，且分別為的中點，在線段上，且．

(1)求證：平面；(2)當時，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）如圖所示：

取中點，連接，分別為的中點，且底面為矩形，所以，且，又因為平面，平面，平面，平面，所以平面，且平面，又因為，平面，平面，所以平面平面，因為平面，所以由面面平行的性質可知平面（2）如圖所示：

注意到側面為正三角形以及為的中點，所以由等邊三角形三線合一得，又因為，且面，面，，所以面，又因為面，所以，又因為底面為矩形，所以，因為，面，面，所以面，因為面，所以，又，所以，又由三線合一，又，所以建立上圖所示的空間直角坐標系；因為，所以，又因為為的中點，，所以，所以，，，不妨設平面與平面的法向量分別為，所以有以及，即分別有以及，分別令，并解得，不妨設平面與平面的夾角為，所以；綜上所述：平面與平面的夾角的余弦值為.3．（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點，平面經過點與棱交于點．

(1)試用所學知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)靠近的三等分點處；(2)【解析】（1）過作直線與平行，延長與交于點，連接與的交點即為點．因為底面是矩形，是的中點，所以，且．又，所以，因為是的中點，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點處．

（2）因為是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，．

設平面的法向量為，則即令，則，所以．．設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．4．（2023·海南·統考模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，將沿向上折起，使得平面與平面所成的銳二面角的平面角最大．

(1)求該幾何體中任意兩點間的距離的最大值；(2)若，垂足為，點是上一點，證明：平面平面．【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）如圖，以為坐標原點，為軸，平面為平面，建立空間直角坐標系，則，設，顯然，當時，平面與平面共面，此時的銳二面角一定不是最大的，所以，所以，

設平面的法向量為，則即令，則．又平面的一個法向量為，則，又，所以，所以，當時，等號成立，由得，所以，即點在面上．所以平面平面，所以，所以該幾何體中任意兩點間的距離的最大值為．（2）由（1）知平面，所以．又，且，平面，所以平面．又平面，所以．由，且平面，所以平面．又平面，所以平面平面．5．（2022·吉林長春·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）如圖①所示，長方形中，，，點是邊靠近點的三等分點，將△沿翻折到△，連接，，得到圖②的四棱錐.(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)設的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值.【答案】(1)；(2)平面和平面夾角余弦值的最小值為【解析】（1）解：取的中點，連接，因為，則，當平面平面時，點到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；（2）解：連接，因為，所以，所以為的平面角，即，過點作平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，過作于點，由題意得平面，設,,，所