摘要：通過對圖像的特征分析、確定三次函數各種適合的形式，在求解問題的過程中提升學生選擇數學模型、運算方向，確定運算規則的能力。利用圖形計算器創設數學實驗情境，學生猜想和作出對稱中心，并且利用圖像上的動點動態展現在函數圖像上的對稱點，概括三次函數的對稱中心一般是它的拐點，并用圖形計算器給出嚴格證明，探究其表達式對應的形式（零點式、中心式）。通過這一探究過程，學生積累了數學活動經驗，發展了數學核心素養。關鍵詞：圖形計算器；數學；AP微積分；三次函數；對稱中心；核心素養；探究性學習1"關于圖形計算器美國大學理事會的大學先修課程微積分（AP-calculus，也稱AP微積分）的課程描述[1]中清晰說明了AP考試將評估學生用圖形計算器進行探究的能力，并且提出在AP微積分課程中使用圖形計算器的適當例子包括但不限于：1）通過放縮去顯示局部線性；2）構造一個函數值表格來推測極限；3）利用圖像法研究黎曼和的逼近定積分；4）通過畫泰勒多項式函數圖像，理解泰勒級數的收斂區間；5）繪制一個斜率場，并研究初始條件的選擇如何影響微分方程的解。AP微積分的全球統一考試分為可用計算器的部分和不可用計算器的部分。選擇題部分，不可用計算器的試題有30個，考試時間60分鐘；可用計算器的試題有15個，考試時間45分鐘。解答題部分，不可用計算器的試題有4個，考試時間60分鐘；可用計算器的試題有2個，考試時間30分鐘。可見其非常重視用技術解決問題，考查學生基于技術思維解決問題的能力。圖形計算器是一種先進的計算器，除了具備基本數學運算的功能外，還提供了圖形顯示和高級數學運算的功能，通常支持微積分、矩陣、概率統計等運算，可以進行函數繪圖，支持動態模擬和跟蹤軌跡，可以實時顯示數學對象的變化和互動關系，幫助學生更直觀地理解數學概念和原理，提高解題能力和直觀想象素養。ELLINGTON[2]進行了一項元研究，對54項關于圖形計算器效果的研究進行分析，其中的一個結論是，當圖形計算器被包括在評估和教學中時，學生在理解數學概念所需的智力手段方面表現出改進，如在函數和它們的圖形之間建立有意義的聯系的能力。將圖形計算器作為測試和教學的重要組成部分，學生的操作技能和解決問題的能力都得到提高。在所有情況下，圖形計算器的使用并不妨礙學生數學技能的發展。使用圖形計算器的學生對數學的態度比不使用圖形計算器的學生要好。李海媚[3]通過對兩個班級進行對比教學實驗（其中一個班使用圖形計算器，另一個班未使用），研究圖形計算器在三角函數教學中的實際應用。她對測驗成績進行對比分析，總結出在三角函數教學中，使用圖形計算器的班級的教學效果有明顯改善。她還對學生使用圖形計算器的情況做了調查，結果顯示，學生更樂意使用圖形計算器，他們也體會到了圖形計算器對學習起到的幫助作用。我國國內的考試不能使用圖形計算器，一些教師技術素養不高，數據意識不強，很少開展使用技術手段輔助課堂教學的研究，學生使用圖形計算器進行數學實驗探究的機會很少，在AP微積分考試中存在不善于使用圖形計算器解題的薄弱環節。圖形計算器具有能夠將表達式、圖像、數據有機聯系起來，從而實現數學對象多元表征的功能，是數學探究的高效工具。任長松[4]指出，數學探究的一般過程是：問題情境—提出假設—探究討論—評價估計—總結推廣。因此，教師要研究圖形計算器的功能，要教會學生應用圖形計算器探索發現解決數學問題，引導學生通過動手操作、實驗驗證等方式，探究數學問題的本質和規律。這有助于學生深入理解數學知識，提高解決問題的能力。教師要準確把握核心素養的價值定位，發揮中國學生邏輯思維強的優勢，探索AP微積分課程的圖形計算器試題的評價功能，探索學生核心素養的培育途徑。2"三次函數的探究性學習活動多項式函數是AP微積分的重要內容，三次函數是典型的多項式函數，是研究函數圖像及其性質的重要素材，其中蘊含不等式、方程、函數極限、導數等相關知識和數學思想方法，是培養學生數學抽象能力、直觀想象能力和邏輯推理能力的重要載體。因此，筆者以三次函數為載體設計綜合探究活動，主要任務是根據不同類型的三次函數圖像，分析它的截距、單調性、極值等因素，然后確定表達式，再根據圖像，利用圖形計算器探索它的對稱中心，并且證明結論，同時將表達式轉換成中心式形式。2.1"由圖像確定表達式問題1：三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖1、圖2所示，寫出f（x）的表達式，并且利用圖形計算器驗證。教師創設問題情境，通過TI無線網絡教學系統把文件發到學生的圖形計算器上，學生分組進行探究。組1：三次函數四個參數，建立四個方程，可以求解。組2：因為圖像與x軸有三個交點-1，1，3，設三次函數f（x）=a（x+1）（x-1）（x-3），又因為f（0）=-2，代入可解出a，即：。討論獲得共識：首先，如果知道模型，只需要構建含有參數的方程組，解方程求解就行，有幾個參數就需要幾個方程；其次，如果從實際問題中找出某些特征，可以確定一些參數，就可以減少參數，從而減少運算量。在這里知道三次函數有三個零（交）點，根據多項式的分解定理，可設三次函數f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3），再根據縱截距的值來確定a值。組3：對于問題1.2，從圖像上看出它只有一個零點-3，極值點是-1、2，顯然它們對應的導數值是0，再加上縱截距為3，可以構造四個方程求解。設f（x）=ax3+bx2+cx+d，則f′（x）=3ax2+2bx+c，所以所以。組4：因為函數只有一個零點-3，所以表達式有因式（x+3），可以設f（x）=（x+3）（ax2+bx+c）。減少一個參數，構造三個方程求解。設f（x）=（x+3）（ax2+bx+c），則f′（x）=3ax2+（6a+2b）x+3b+c，所以。討論獲得共識：這個解法利用了一個零點，減少一個參數，表達式是乘積形式，求導數用到乘法法則，運算過程相對第一種復雜，有些不值得。提出新問題：能不能根據問題的條件減少更多的參數？大家再次討論。組5：從上面的解法出發，我們逆向思考，極值點的導數為零，這里有兩個極值點-1，2，是導函數的兩個零點，因此設導函數，減少兩個參數，其積分就是原函數，從而減少運算量。設f′（x）=a（x+1）（x-2）=ax2-ax-2a，所以那么解得：。討論獲得共識：上述三種方法各有優劣：方法1思維最簡潔；方法3進行逆向思維，從極值點反過來寫出其導數的方程，減少了兩個參數，使得方程簡潔；方法2只利用了一個零點，減少一個參數，在求導數的過程中使得得到的方程組變得復雜。解后總結：首先要知道確定三次函數表達式需要四個參數，就要尋找四個獨立的條件求解；其次分析圖像特征，比如零點、極值點等因素，確定一些參數；最后設出相應的表達式求解，這樣把幾何特征反映到代數表達式上，可以減少很多計算量。2.2"探究三次函數的對稱中心問題2：三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d有對稱中心嗎？教師創設問題情境，以問題1.2的函數為例探究它的對稱中心，如圖3所示。要求學生利用圖形計算器，嘗試從圖像上找出或作出它的對稱中心，并且利用圖像上的動點P演示說明。組6：我們覺得有，因為函數有極大值和極小值，如果有對稱中心，極大值和極小值這兩個點應該關于這個對稱中心對稱。因此，我們猜對稱中心是這兩個極值點的中點，于是作出中點M，再作出P點關于M的對稱點。拖動P點可以看到對稱點P′始終落在函數圖像上，如圖4所示。討論并提出新問題：1）如果函數沒有極值點，是否能確定有沒有對稱中心呢？2）我們看著對稱點P′落在圖像上，它真的落在圖像上了嗎？用什么方法驗證呢？教師給出函數，引導學生進行探究，如圖5所示。組7：由上面一題知道極值點的中點是對稱中心，導函數是二次函數，因此，導函數的對稱軸對應的x值是對稱中心的橫坐標，這里仍然有導函數，也是二次函數，只不過這個二次函數無零點，但是它的對稱軸依然存在。這個x值應該是對稱中心的橫坐標，代入函數表達式可得到縱坐標。這個對稱中心應該在函數圖像上，函數圖像先向上凸著增加，然后過渡到向下凹著增加，這個轉折的地方應該就是對稱中心，它是函數的拐點，因此可以猜想三次函數的對稱中心是圖像的拐點。對于2）：可以驗證P′的坐標是否滿足函數表達式，滿足就能夠說明它在圖像上。問題探究：找出這個函數的對稱中心，并且證明它是函數圖像的對稱中心。組8：求二階導數得到2x-2=0，解得x=1，計算出f（1）=，所以對稱中心是（1，），任意兩個關于（1，）對稱的點的橫坐標可以表示為1-x，1+x，只需要證明它們的縱坐標f（1-x），f（1+x）的平均數是f（1）=就行。因為，，所以。顯然結論成立，說明對稱中心是（1，）。討論并提出新問題：我們不僅找到了對稱中心，還證明了它是對稱中心。那么一個一般的三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），它的對稱中心是什么？對稱中心應該是，探究方法同前面例子一樣，只不過全是參數，為方便計算，令，，用圖形計算器計算，看式子是否成立。組9：大屏幕展示結果，如圖6、圖7所示，表明函數圖像關于點（m，n）對稱，說明任意一個三次函數的對稱中心是它的拐點，坐標是。應用強化：試求函數f（x）=x3-3x2+6x-6圖像的對稱中心。解：，，所以對稱中心是點（1，-2）。2.3"確定中心式函數表達式問題3：能否將三次函數表達式寫成中心式？創設問題情境：二次函數的表達式可以寫成頂點式，能否仿照二次函數將f（x）=x3-3x2+6x-6寫成相應的形式呢？請大家探究。組10：二次函數頂點式y=a（x-h）2+k，頂點（h，k），表達式中有a（x-h）2，因此，這里也應該有a（x-1）3，于是可以將式子改寫成f（x）=x3-3x2+6x-6=（x-1）3+3（x-1）-2，三次函數f（x）的圖像關于點（1，-2）對稱，函數表達式按照（x-1）展開式的形式寫，將沒有二次項，常數項就是-2，是對稱中心的縱坐標。討論并提出新問題：給定任意一個三次函數y=ax3+bx2+cx+d（a≠0），如果對稱中心為（m，n），那么它的表達式可以寫成什么形式？組11：猜想f（x）=a（x-m）3+s（x-m）+n，a≠0。事實上這里s，m，n被a，b，c，d所確定，，，。因此，任意三次函數都能化為f（x）=a（x-m）3+s（x-m）+n。反過來，如果一個三次函數寫成上述形式，我們就能夠知道它的對稱中心是（m，n）。因此，可以把三次函數的這種形式稱作中心式。討論獲得共識：任意一個三次函數的對稱中心是它的拐點，坐標是，任意三次函數都能化為中心式f（x）=a（x-m）3+s（x-m）+n。應用拓展：1）三次函數f（x）=x（x-1）（x-a），有絕對值相等、符號相反的極大值和極小值，常數a的值是""。（答案：-1，2，）2）三次函數的圖像上存在定點P，過P點的直線與函數圖像交于不同于P點的兩點M（x1，y1），N（x2，y2），恒有y1+y2為定值y0，則y0=""。（答案：）3）已知三次函數f（x）=x3+3x2+6x+14，若實數a，b滿足f（a）+f（b）=20，則a+b=""。（答案：-2）3"探究性學習活動反思與討論3.1"以落實核心素養為目的設計探究性學習活動探究性學習活動以三次函數的圖像性質與函數表達式形式的關系問題為引領，創設層層深入的探究學習情境，學生在問題情境中主動探究，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，用技術進行數學實驗，從直觀的圖像出發去探索與發現，在幾何層面、代數層面、導函數分析層面，應用數形結合的思維來思考，深刻認識三次函數的圖像性質與表達式形式的關系。對歸納的結論用紙筆進行推理運算或者應用技術進行驗證，最終完成推理論證。首先通過觀察函數的圖像，直觀地識別出零點和縱截距，聯想多項式分解定理，選擇零點式形式求解。當圖像有三個零點時，這種形式解法最簡潔，而當只有一個零點時，再用零點式求解反而復雜了。這是因為需要求它的導數，然后用極值點列方程，由于是以乘積的形式求導數，就變得復雜，增加了運算量。從方程組的求解過程看，用韋達定理列出方程比直接用零點滿足方程要簡單，原因是韋達定理幫助消去參數。再進一步分析，讀出極值點，可以反過來設出導函數的表達式，再利用反導數寫出三次函數表達式，最后利用橫縱截距列出方程求解。顯然這個過程最簡潔，因為直接利用兩個極值點條件寫出表達式，相當于減少兩個參數，使得方程個數減少，因而解法簡潔。當然，對于三次函數可以先設函數表達式為一般式，根據截距和極值點條件列出相應的四個方程求解。在上述過程中，學生深刻理解了要確定三次函數表達式需要四個獨立條件，如果能夠根據圖像的特征確定相應的表達式形式，減少參數將使運算更簡潔，數學運算和邏輯推理與直觀想象素養因此得到充分發展。可見，在運算中，學生需要分析運算對象、選擇運算方向、選定運算規則、計算并判斷問題結果等，這也需要具有其他數學能力，如用數學模型分析運算對象，用邏輯推理選擇運算規則，通過數據分析簡化運算過程，通過直觀想象選擇運算方向與判斷運算結果等。3.2"利用圖形計算器進行數學實驗探究，動態展現數學對象多元表征對同一個數學對象，至少可以進行數和形兩種形式的多元表征，并附以情境、操作、動態視覺等其他表征形式。數的表征包括數學中的言語表征（如文字、符號、式子、數字、數學概念、數學定理、數學性質等）、形的表征（主要是指數學中視覺化表征，如圖像、圖表、實物、教學模型等）。唐劍嵐教授[5]的研究表明，通過數學多元外在表征和數學多元內在表征相互間的轉化作用，能促進學生對數學概念的理解，有助于學生完善認知結構，提高數學表達能力，提升數學素養。章建躍博士[6]的研究表明，借助信息技術可以實現數學對象變化過程的可視化、連續性，幫助學生發現不變量、規律性。顯然，基于多元表征理論的數學教學強調數學對象心理表征的多元性，強調數學對象表征不同方面的