試題PAGE1試題2024北京一七一中高二（下）期中數學（時長：120分鐘總分值：150分）一、選擇題共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知拋物線的準線方程為，則該拋物線的標準方程為（）A. B. C. D.2.的展開式中的系數是（）A.80 B. C.160 D.3.已知函數，其導函數的圖象如圖，則對于函數的描述正確的是A.在?∞,0上為減函數B.在處取得最大值C.在4,+∞上為減函數D.在處取得最小值4.設隨機變量的概率分布列為1234則（）A. B. C. D.5.某社區計劃在端午節前夕按如下規則設計香囊：在基礎配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種6.下列求導的運算中，正確的是（）A. B.C. D.7.設，若，則展開式中系數最大的項是（）A. B. C. D.8.函數，當x∈0,+∞時，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知雙曲線（，）的左焦點為，右頂點為，過作的一條漸近線的垂線，為垂足．若，則的離心率為（）A. B. C. D.10.定義滿足方程的解叫做函數的“自足點”，則下列函數不存在“自足點”的是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分.11.已知的展開式的二項式系數之和為16，則___________；各項系數之和為___________.(用數字作答)12.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點，則雙曲線的漸近線方程為__________；__________.13.已知函數的定義域為，，對任意，則的解集為____________．14.把5件不同產品擺成一排，若產品與產品相鄰，且產品與產品不相鄰，則不同的擺法有____________種.15.已知函數，.給出下列四個結論：①當時，函數有最小值；②，使得函數在區間上單調遞增；③，使得函數沒有最小值；④，使得方程有兩個根且兩根之和小于.其中所有正確結論的序號是___________.三、解答題共6題，共85分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知函數，若曲線在處的切線方程為.（1）求，的值；（2）求函數的單調區間和極值；（3）求函數在上的最大值、最小值.17.如圖，在長方體中，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．18.某超市銷售種不同品牌的牙膏，它們的包裝規格均相同，銷售價格（元/管）和市場份額（指該品牌牙膏的銷售量在超市同類產品中所占比重）如下：牙膏品牌銷售價格市場份額（1）從這種不同品牌的牙膏中隨機抽取管，估計其銷售價格低于元的概率；（2）依市場份額進行分層抽樣，隨機抽取管牙膏進行質檢，其中和共抽取了管．①求的值；②從這管牙膏中隨機抽取管進行氟含量檢測．記為抽到品牌的牙膏數量，求的分布列和數學期望．（3）品牌的牙膏下月進入該超市銷售，定價元/管，并占有一定市場份額．原有個品牌的牙膏銷售價格不變，所占市場份額之比不變．設本月牙膏的平均銷售價為每管元，下月牙膏的平均銷售價為每管元，比較的大小．（只需寫出結論）19.已知橢圓經過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓有兩個不同的交點（均不與點重合），若以線段為直徑的圓恒過點，求的值．20.已知函數,其中．（1）當時,求曲線在點處的切線方程;（2）當時,判斷的零點個數,并加以證明;（3）當時,證明:存在實數m,使恒成立．21.已知項數為的有窮數列滿足如下兩個性質，則稱數列具有性質P；①；②對任意的、，與至少有一個是數列中的項．（1）分別判斷數列、、、和、、、是否具有性質，并說明理由；（2）若數列具有性質，求證：；（3）若數列具有性質，且不是等比數列，求的值．

參考答案一、選擇題共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】根據準線方程為，可知拋物線的焦點在軸的正半軸，再設拋物線的標準形式為，根據準線方程求出的值，代入即可得到答案.【詳解】由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸，設拋物線標準方程為：，∵拋物線的準線方程為，∴，∴，∴拋物線的標準方程為：，故選：C.【點睛】本題主要考查拋物線的標準方程、拋物線的簡單性質，屬于基礎題.2.【答案】A【分析】根據二項式展開式求解即可.【詳解】展開式中x的項為.故選：A.3.【答案】C【詳解】分析：根據函數f（x）的導函數f′（x）的圖象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根據單調性與導數的關系以及極值的定義可進行判定即可．詳解：根據函數f（x）的導函數f′（x）的圖象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0當x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當0＜x2時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當2＜x＜4時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＞4時，f′（x）＜0，f（x）遞減．可知C正確，A錯誤；由極值的定義可知，f（x）在x=0處函數f（x）取到極大值，x=2處函數f（x）的極小值點，但極大值不一定為最大值，極小值不一定是最小值；可知B、D錯誤．故選C．點睛：由導函數圖象推斷原函數的性質，由f′（x）＞0得增區間，由f′（x）＜0得減區間，由f′（x）=0得到的不一定是極值點，需判斷在此點左右f′（x）的符號是否發生改變.4.【答案】B【詳解】試題分析：，故選B考點：概率分布5.【答案】C【分析】分四種情況，利用分類計數原理即可求出結果.【詳解】從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一種，有種，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選二種，有種，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選三種，有種，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥全選，有種，所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一種，共有種，故選：C.6.【答案】A【分析】根據復合函數的導數公式逐個判斷即可【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D錯誤；故選：A7.【答案】D【分析】利用二項展開式的基本定理確定的數值，再求展開式中系數最大的項．【詳解】在中，令，得，令，得，；展開式中系數最大的項為．故選：D．8.【答案】C【分析】將當x∈0,+∞時，恒成立，轉化為x∈0,+∞時恒成立，再令，用導數法求最小值即可.【詳解】因為函數，當x∈0,+∞時，恒成立，所以x∈0,+∞時，恒成立，令，，當時，，當時，，所以當時取得最小值e.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了不等式恒成立問題，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.9.【答案】B【分析】首先利用，求點的坐標，再利用與漸近線垂直，構造關于的齊次方程，求離心率.【詳解】由條件可知，，由對稱性可設條件中的漸近線方程是，線段的中垂線方程是，與漸近線方程聯立方程，解得，，即，因為與漸近線垂直，則，化簡為，即，即，兩邊同時除以，得，解得：（舍）或.故選：B【點睛】方法點睛：本題考查雙曲線基本性質，意在考查數形結合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.10.【答案】D【分析】求出每個選項中函數，判斷每個選項中方程是否有解，由此可得合適的選項.【詳解】對于A選項，，則，由，即，，因此，存在“自足點”，A滿足條件；對于B選項，，則，由，可得，其中，令，則，，所以，函數在上存在零點，即函數存在“自足點”，B選項滿足條件；對于C選項，，則，其中，因為，故函數存在“自足點”，C選項滿足條件；對于D選項，，則，由，可得，因為，，所以，，所以，方程無實解，D選項不滿足條件.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分.11.【答案】①.4②.81【分析】根據二項式系數和的公式，求解；再根據賦值法求各項系數之和.【詳解】展開式中的二項式系數的和是，所以，令，，即各項系數和為.故答案為：；12.【答案】①.②.【分析】根據雙曲線的方程，求得半實軸a、半虛軸b的值，代入漸近線方程，即可求得答案；根據M點在雙曲線的左支上，根據雙曲線的定義，即可求得答案.【詳解】因為雙曲線，半實軸，半虛軸,所以漸近線方程為，即；因為滿足雙曲線方程，且在雙曲線的左支上，根據雙曲線的定義得，所以-2.故答案為：；-213.【答案】.【分析】構造，根據題意得到在為單調遞增函數，又由，得到，進而得到時，，即可求解.【詳解】設，可得，因為對任意，所以，所以在為單調遞增函數，又由，可得，所以當時，，即不等式的解集為.故答案為：.14.【答案】36【詳解】試題分析：先考慮產品A與B相鄰，把A、B作為一個元素有種方法，而A、B可交換位置，所以有種擺法，又當A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有種擺法，故滿足條件的擺法有種.考點：排列組合，容易題.15.【答案】①②④【分析】利用函數的最值與單調性的關系可判斷①③的正誤；利用函數的單調性與導數的關系可判斷②的正誤；取，利用導數研究函數的單調性，結合零點存在定理可判斷④的正誤.【詳解】對于①，當時，，則，由可得，由可得或，此時，函數的增區間為、，減區間為，當或時，，當時，，故函數在處取得最小值，①對；對于②，，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，所以，，則，由可得，構造函數，其中，則，令，其中，則，所以，函數在上單調遞減，故當時，，則，即在上單調遞減，，則，解得，②對；對于③，，，因為函數在上單調遞增，，，所以，存在，使得，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，對任意的實數，函數有最小值，③錯；對于④，令，不妨令，即取，由③可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，則，，所以，存在，使得，此時函數的零點之和為，④對.故答案為：①②④.【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.三、解答題共6題，共85分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.【答案】（1）（2）答案見詳解（3）【分析】（1）根據題意結合導數的幾何意義可知，列式求解即可；（2）求導利用導數判斷原函數的單調區間和極值.（3）利用導數判斷原函數的單調區間和極值結合邊界函數值判斷即可.【小問1詳解】由題意可知：，則因為曲線y=fx在處的切線方程為，則，即，解得.【小問2詳解】因為，當時，f'x>0；當時，f可知函數的單調遞增區間為和1,+∞；函數的單調遞減區間為，的極大值為，的極小值為f1=0.【小問3詳解】函數y=fx在，上單調遞增，在上單調遞減，且，函數y=fx在上的最大值,最小值.17.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由線面平行的判斷定理可得答案；（2）建立空間直角坐標系，平面的法向量、平面ABCD的一個法向量，根據向量的夾角公式計算得到答案；（3）直接利用向量根據點到平面的距離公式得到答案.【小問1詳解】因為，平面，平面，故平面.【小問2詳解】如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系，故，，，，，,設平面的法向量為，則，取得到，，即，易知平面ABCD的一個法向量為，則，根據圖象知二面角的平面角為銳角，故平面與平面ABCD所成角的余弦值為.【小問3詳解】由（2），，故B到平面的距離為.18.【答案】（1）；（2）①；②分布列見解析；期望為；（3）．【分析】（1）求出銷售價格低于元的頻率，用頻率來衡量概率；（2）①利用分層抽樣的定義求解即可，②隨機變量的可能取值為，然后求出各自對應的概率，即可列出分布列，求出期望；（3）求出平均值比較即可【詳解】解：（1）記“從該超市銷售的牙膏中隨機抽取管，其銷售價格低于元”為事件．由題設，．（2）①由題設，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽取了管，所以．（ⅱ）隨機變量的可能取值為．；；．所以的分布列為：的數學期望為．（3）．（理由：，設品牌的市場占有額為，市場占有額分別為，則）19.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用橢圓的性質計算即可；（2）設點坐標及設直線方程，利用結合韋達定理計算即可.【小問1詳解】由題意可知，又離心率為，即橢圓方程為：；【小問2詳解】設直線，Ax1則，因為以線段為直徑的圓恒過點，所以，聯立直線與橢圓，所以，則，由，，整理得或，易知時不符題意，所以.20.【答案】（1）（2）1個（3）證明見解析【分析】(1)根據代入解析式,求出,根據點斜式寫出切線方程即可;(2)對函數求導求單調性,觀察到,根據單調性分析零點個數即可;(3)先對函數求導,再通分,令再對新函數求導判斷單調性即值域情況,分析的正負,即的正負,進而求出的單調性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在實數m,使恒成立.【小問1詳解】解:由題知,,,,故在點處的切線方程為,即;【小問2詳解】由題,,,,,故在上單調遞增,,故有1個零點;【小問3詳解】由題,,,令,,即在上單調遞增,,且,故,使得,即在上單調遞增,即,單調遞減,即,單調遞增,故,若恒成立,只需，即即可,故存在實數m,使恒成立.【點睛】方法點睛:此題考查導數的綜合應用,屬于難題,應用了隱零點,關于隱零點的方法有:(1)對函數進行求導后,進行因式分解,寫成幾個因式的乘積;(2)然后將容易判斷正負的先進行判斷,不好判斷的令為一個新的函數;(3)對新的函數進行求導求單調性;(4)取區間內的點代入新函數中判斷函數值正負,直到函