試題PAGE1試題2024北京房山高二（下）期中數(shù)學一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．（5分）若1、x、2成等差數(shù)列，則（）A． B．x＝3 C．x＝2 D．2．（5分）已知等比數(shù)列{an}的通項公式，則數(shù)列{an}的公比為（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣63．（5分）下列結(jié)論中正確的是（）A．若y＝sin2x，則y′＝cos2x B．若y＝sin2x，則y′＝2cos2x C．若y＝cos2x，則y′＝sin2x D．若y＝cos2x，則y′＝2sin2x4．（5分）設(shè)某質(zhì)點的位移xm與時間ts的關(guān)系是x＝1﹣t+t2，則質(zhì)點在第3s時的瞬時速度等于（）A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s5．（5分）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，設(shè)a＝f′（2），b＝f′（3），c＝f（3）﹣f（2），則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a3＝6，S3＝18，則公比q＝（）A．1 B． C．1或 D．1或7．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象大致如圖所示，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．f（x）在（﹣1，3）上單調(diào)遞增 B．x＝0是f（x）的極小值點 C．x＝3是f（x）的極大值點 D．曲線y＝f（x）在x＝2處的切線斜率為28．（5分）世界上最古老的數(shù)學著作《萊茵德紙草書》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的兩份之和的是較小的三份之和，則最小的1份為（）A．磅 B．磅 C．磅 D．磅9．（5分）已知數(shù)列{an}的通項公式，且最小項為﹣2，則實數(shù)m的值為（）A． B． C． D．10．（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當k＝1時，函數(shù)f（x）無零點 B．當k＝0時，不等式f（x）＜1的解集為（0，1） C．若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣1恰有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍為[0，1） D．存在實數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）若f（x）＝x2+x，則＝．12．（5分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且，則a5＝；數(shù)列{an}的通項公式an＝．13．（5分）已知函數(shù)，則f（x）的極小值等于；若f（x）在區(qū)間（m，m+2）上存在最小值，則m的取值范圍是．14．（5分）無窮數(shù)列{an}的前n項和記為Sn．若{an}是遞增數(shù)列，而{Sn}是遞減數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式可以為．15．（5分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn（Sn≠0），數(shù)列{Sn}的前n項積為Tn，且滿足Sn+Tn＝Sn?Tn（n∈N*），給出下列四個結(jié)論：①a1＝2；②；③；④{Tn}是等差數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，3]上的最值．17．（12分）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a1＝1，a4＝8．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若{bn}為等差數(shù)列，且滿足b2＝a2，b7＝a6，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．18．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝0且．（1）求數(shù)列{an}的第2，3，4項；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．19．（13分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4＝8，S3＝12．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且b1＝1．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得數(shù)列{bn}唯一確定，并解答以下問題：（ⅰ）求{bn}的通項公式；（ⅱ）若Sn+Tn＞42，求n的最小值．條件①：bn+1＝bn+3；條件②：bn+1＝3bn；條件③：Tn＝nbn．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分．20．（12分）某公園為了美化游園環(huán)境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750m2的矩形花園．圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）．設(shè)矩形花園的一條邊長為xm，鮮花種植的總面積為Sm2．（1）用含有x的代數(shù)式表示a；（2）當x的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？21．（14分）已知函數(shù)f（x）＝alnx+x2（a∈R）．（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在x＝1處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值點；（3）寫出a的一個值，使方程f（x）+1＝0有兩個不等的實數(shù)根．并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．【分析】利用等差中項的性質(zhì)可求得x的值．【解答】解：因為1、x、2成等差數(shù)列，所以x＝×（1+2）＝．故選：A．【點評】本題考查了等差中項的定義與性質(zhì)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義可得結(jié)果．【解答】解：因為{an}為等比數(shù)列且通項公式為，所以公比．故選：A．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．【分析】借助復合函數(shù)的求導法則計算即可得．【解答】解：對A、B：若y＝sin2x，則y′＝cos2x×2＝2cos2x，故B正確，A錯誤；對C、D：若y＝cos2x，則y′＝﹣sin2x×2＝﹣2sin2x，故C、D錯誤．故選：B．【點評】本題考查了復合函數(shù)的求導公式，是基礎(chǔ)題．4．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，計算t＝3時，x′的值即可．【解答】解：∵x＝1﹣t+t2，∴x′＝2t﹣1，則t＝3時，x′|t＝3＝2×3﹣1＝5，所以質(zhì)點在第3s時的瞬時速度等于5m/s．故選：A．【點評】本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合函數(shù)圖象即可得解．【解答】解：由函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）為增函數(shù)，且增加的速度越來越慢，所以．即b＜c＜a．故選：D．【點評】本題主要考查了函數(shù)的平均變化率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】先看當q＝1時等式成立，再看當q≠1根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式聯(lián)立方程組，求的q．綜合答案可得．【解答】解：當q＝1時，S3＝3a3＝18符合題意當q≠1時由解得q＝﹣綜上可知q＝1或﹣故選：C．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．在解等比數(shù)列問題時要特別留意q＝1的情況．屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)f′（x）的圖象，結(jié)合函數(shù)f（x）和f′（x）的關(guān)系，逐項判定，即可求解．【解答】解：對于A中，根據(jù)函數(shù)f′（x）的圖象得，當x∈（﹣1，3）時，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在（﹣1，3）上單調(diào)遞增，所以A正確；對于B中，根據(jù)函數(shù)f′（x）的圖象知，在x＝0的左右兩側(cè)附近，可得f′（x）＞0，所以f（x）單調(diào)遞增，則x＝0不是函數(shù)的極值點，所以B錯誤；對于C中，根據(jù)函數(shù)f′（x）的圖象知，當x∈（0，3）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當x∈（3，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以x＝3是函數(shù)的一個極大值點，所以C正確；對于D中，根據(jù)函數(shù)f′（x）的圖象知，f′（2）＝2，即曲線y＝f（x）在x＝2處的切線斜率為2，所以D正確．故選：B．【點評】本題主要考查導數(shù)知識的應(yīng)用，屬于中檔題．8．【分析】把60磅面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的兩份之和的是較小的三份之和，設(shè)這5份從小到依次為a1，a2，a3，a4，a5，則60＝，（a4+a5）＝a1+a2+a3，可得2a1+4d＝24，＝3a1+3d，聯(lián)立解出．【解答】解：把60磅面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的兩份之和的是較小的三份之和，設(shè)這5份從小到依次為a1，a2，a3，a4，a5，則60＝，（a4+a5）＝a1+a2+a3，∴2a1+4d＝24，＝3a1+3d，聯(lián)立解得：d＝，a1＝．∴最小的1份為．故選：D．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．【分析】根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，從而得到數(shù)列{an}的單調(diào)性，求出最小項得解．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)，則其導數(shù)，所以當時，y′＜0，函數(shù)遞減，當時，y′＞0，函數(shù)遞增，對于數(shù)列，n∈N*，則有a1＞a2，a3＜a4＜a5＜?，又，，a2＜a3，則有，解得．故選：B．【點評】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，注意數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】k＝1時，利用導數(shù)求出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間和極值，進而可判斷A；k＝0時，借助導數(shù)工具判斷ex﹣x﹣1≥0，結(jié)合三次函數(shù)的零點情況，分段求解不等式，即可判斷B；結(jié)合B選項ex﹣x﹣1≥0，分別求出函數(shù)y＝ex﹣x﹣1，y＝x3﹣x的零點，在分類討論即可判斷C；舉出例子，結(jié)合A選項即可判斷D．【解答】解：對于A，當k＝1時，，當x≤1時，f（x）＝ex﹣x，f′（x）＝ex﹣1，當x＜0時，f′（x）＜0，當0＜x＜1時，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（0）＝1＞0，所以函數(shù)f（x）在（﹣∞，1]上沒有零點，當x＞1時，f（x）＝x3﹣x+1，f′（x）＝3x2﹣1＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以當x＞1時，f（x）＞f（1）＝1，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上沒有零點，綜上所述，當k＝1時，函數(shù)f（x）沒有個零點，故A正確；對于B，k＝0時，，則，令，即，解得x∈（0，1），令h（x）＝ex﹣x﹣1（x≤0），h′（x）＝ex﹣1≤0（x≤0），即h（x）在x∈（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，于是h（x）≥h（0）＝0，即ex﹣x﹣1≥0，即ex﹣x﹣1＜0無解，綜上可知，f（x）＜1的解集為（0，1），故B正確；對于C，，由B選項分析可知，函數(shù)y＝ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以ex﹣x﹣1≥0，x＝0取得等號，故k＜0時，ex﹣x﹣1＝0無解，x3﹣x＝0?x（x﹣1）（x+1）＝0，解得x＝±1或0，x3﹣x＝0在x＞k時有2個根，即x＝﹣1這個根需排除在外，則k≥﹣1，于是﹣1≤k＜0，當k≥0時，ex﹣x﹣1＝0有唯一解x＝0，于是x3﹣x＝0在x＞k時有1個根，即x＝1這個根需恰好被包含在內(nèi)，故k＜1，即0≤k＜1，綜上所述，k∈[﹣1，1），故C錯誤；對于D，由A選項得函數(shù)y＝ex﹣x在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝x3﹣x+1在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當k＝2時，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞增，又e2﹣2﹣（23﹣2+1）＝e2﹣9＜0，即e2﹣2＜23﹣2+1，所以當k＝2時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故D正確．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的零點、導數(shù)的綜合運用及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．【分析】先對f（x）求導，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：f（x）＝x2+x，則f'（x）＝2x+1，故＝f'（1）＝2+1＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)求解即可．【解答】解：由Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且，得：當n＝1時，a1＝S1＝0，當n≥2時，，當n＝1時，上式成立，所以an＝2n﹣2，a5＝8．故答案為：8；2n﹣2．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．【分析】求得可得f′（x）＝x2+2x，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求得函數(shù)的極小值，結(jié)合題意，列出不等式組，求得實數(shù)m的取值范圍，得到答案．【解答】解：由函數(shù)，可得f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣2，0）單調(diào)遞減，當x＝0時，函數(shù)f（x）取得極小值，極小值為f（x）＝﹣2，令f（x）＝﹣2，即，即x＝﹣3或x＝0，要使得f（x）在區(qū)間（m，m+2）上存在最小值，則滿足，解得﹣2＜m＜0，所以實數(shù)m的取值范圍是（﹣2，0）．故答案為：﹣2；（﹣2，0）．【點評】本題主要考查利用導數(shù)求單調(diào)性和極值，屬于中檔題．14．【分析】根據(jù){Sn}是遞減數(shù)列，可以考慮該數(shù)列各項均為負數(shù)，再根據(jù){an}是遞增數(shù)列，可以聯(lián)想到在（0，+∞）上是遞增的函數(shù)，進而構(gòu)造出數(shù)列．【解答】解：因為{Sn}是遞減數(shù)列，可以考慮an＜0，而{an}是遞增數(shù)列，可以構(gòu)造an＝﹣，故答案為：an＝﹣．【點評】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的函數(shù)特性，是基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)關(guān)系式，當n＝1時，即可求得a1的值，可判斷①；由，可得，當n≥2時，，兩式相比可得是等差數(shù)列，求得Sn可判斷③；由Sn利用項與和的關(guān)系求得通項an可判斷②；由，可求得Tn可判斷④．【解答】解：因為，所以當n＝1時，S1+T1＝S1?T1，即，解得a1＝2或0，又Sn≠0，則a1≠0，所以a1＝2，故①正確；由，則Sn≠1，所以，當n≥2時，，所以，即，整理得，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，所以，故③正確；當n≥2時，，又a1＝2不符合上式，所以，n∈N*，故②錯誤；又，所以Tn﹣Tn﹣1＝n+1﹣n＝1，n≥2，n∈N*，所以{Tn}為等差數(shù)列；故④正確．故答案為：①③④．【點評】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列的通項公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．【分析】（1）求得f′（x）＝x2﹣2x﹣3，分別求得f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求解；（2）由（1）求得函數(shù)的極大值與極小值，以及f（﹣2）的值，進而求得函數(shù)的最值．【解答】解：（1）由函數(shù)，可得f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，所以函數(shù)f（x）遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞），遞減區(qū)間為（﹣1，3）．（2）由函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣1，3）上單調(diào)遞減，所以，當x＝﹣1時，函數(shù)取得極大值，極大值為，當x＝3時，函數(shù)取得極小值，極小值為f（3）＝﹣8，又由，所以函數(shù)f（x）的最大值為，最小值為﹣8．【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（1）根據(jù)題意求出公比，即可得解；（2）根據(jù)題意求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式即可得解．【解答】解：（1）設(shè)公比為q，由a1＝1，a4＝8，得，所以q＝2，所以；（2）由（1）得b2＝a2＝2，b7＝a6＝32，設(shè)公差為d，則，解得，所以bn＝6n﹣10，所以．【點評】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式、求和公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）由已知逐個計算即可得答案；（2）由（1）的計算結(jié)果可猜想出數(shù)列{an}的通項公式，利用數(shù)學歸納法證明即可得．【解答】解：（1）由a1＝0，且，得，，；（2）由（1）的計算結(jié)果可猜想，證明如下：當n＝1時，，等式成立；假設(shè)當n＝k時等式成立，即有，則當n＝k+1時，有．即當n＝k+1時，等式成立．綜上所述，成立．【點評】本題考查數(shù)列遞推式，訓練了利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的通項公式，是中檔題．19．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，根據(jù)題意，列出方程組，求得a1，d的值，進而求得數(shù)列{an}的通項公式；（2）根據(jù)題意，分別選擇①②③，求得數(shù)列{bn}的通項公式，利用等差、等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合Sn+Tn＞42，列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，因為a4＝8，S3＝12，可得，解得a1＝2，d＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n．（2）（ⅰ）若選擇條件①，由bn+1＝bn+3，可得bn+1﹣bn＝3，又因為b1＝1，可得數(shù)列{bn}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝b1+（n﹣1）d＝3n﹣2；（ⅱ）由an＝2n，可得，又由bn＝3n﹣2，可得，因為Sn+Tn＞42，可得，即5n2+n﹣84＞0，又因為n∈N*，可得n＞4，所以n的最小值5．（ⅰ）若選擇條件②：由bn+1＝3bn，可得，因為b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．（ⅱ）由an＝2n，可得，又由，可得，因為Sn+Tn＞42，可得，即2n（n+1）+3n＞85，經(jīng)驗證，當n＝3時，可得2×3×4+33＜85；當n＝4時，可得2×4×5+34＞85，所以使得Sn+Tn＞42成立時，n的最小值4．（ⅰ）若選擇條件③：由Tn＝nbn，當n≥2時，可得Tn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，兩式相減，可得Tn﹣Tn﹣1＝nbn﹣（n﹣1）bn﹣1＝bn，即bn＝bn﹣1，因為b1＝1，所以bn＝1．（ⅱ）由an＝2n，可得，又由bn＝1，可得Tn＝n，因為Sn+Tn＞42，可得n（n+1）+n＞42，即n2+2n﹣42＞0，解得或（舍去），又因為n∈N*，所以n＝6，即使得Sn+Tn＞42成立時，n的最小值6．【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．20．【分析】（1）設(shè)矩形花園的長為ym，結(jié)合xy＝750，進而求得a關(guān)于x的關(guān)系式；（2）由（1）知，得到，