試題PAGE1試題2024北京大興高二（下）期中數學2024．4本試卷本試卷共頁，共兩部分，21道小題，滿分150分。考試時間120分鐘。在試卷和答題卡上準確填寫學校名稱、班級、姓名和準考證號。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）設函數，若，則實數的值為（A）（B）（C）（D）（2）已知數列的前項和，則數列的通項公式為（A）（B）（C）（D）（3）已知函數，則等于（A）（B）（C）（D）（4）已知數列是等比數列，若，則的值為（A）（B）（C）（D）（5）已知函數在處的導數為，則“”是“是的極值點”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（6）已知數列滿足若，則的值為(

)（A）（B）（C）（D）（7）已知數列滿足，且，則的最小值是（A）（B）（C）（D）（8）函數的圖象如圖所示，則等于（A）（B）（C）（D）（9）“斐波那契數列”是由十三世紀意大利數學家斐波那契發現的，具體數列為即從該數列的第三項數字開始，每個數字等于前兩個相鄰數字之和.已知數列為“斐波那契數列”，為數列的前項和，若，則（A）（B）（C）（D）（10）已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）和的等差中項是

．（12）已知一個物體在運動過程中，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系為，則物體在到這段時間里的平均速度為

；物體在時的瞬時速度為

．（13）設為等差數列的前項和，公差為，若，則的一個整數值可以為

．（14）對于數列，定義數列為數列的“差數列”.若，數列的“差數列”是首項為，公比為的等比數列，則

；數列的前項和

．（15）設函數①若，則的最大值為

；②若無最大值，則實數的取值范圍是

．

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題共14分）設函數．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求在區間上的最大值和最小值．（17）（本小題共14分）設為等差數列的前項和，．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若成等比數列，求的值．（18）（本小題共14分）已知數列是首項為的等差數列，數列是公比為的等比數列，且數列的前項和為．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，并解答下列問題：（Ⅰ）求數列和的通項公式；（Ⅱ）求數列的前項和．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（19）（本小題共14分）已知函數．（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）設函數，當時，求證：．

（20）（本小題共14分）某工廠為擴大生產規模，今年年初新購置了一條高性能的生產線，該生產線在使用過程中的維護費用會逐年增加，第年的維護費用是萬元，從第年到第年，每年的維護費用比上一年增加萬元，從第年開始，每年的維護費用比上一年增加%．（Ⅰ）設第年該生產線的維護費用為，求的表達式；（Ⅱ）若該生產線前年每年的平均維護費用大于萬元時，則需要在下一年年初更新生產線，求該生產線前年每年的平均維護費用，并判斷第幾年年初需要更新該生產線?（21）（本小題共15分）已知函數．（Ⅰ）求在區間上的最大值；（Ⅱ）求的零點個數．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）12345678910CDDDBBACBD二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）；（13）(答案不唯一，滿足)（14）；（15）；注：12、14、15題第一空3分，第二空2分.三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共14分）解：(Ⅰ)由題意知，，即切點為，又，所以，所以曲線在點處的切線方程為：，即.…………7分（Ⅱ），令，解得，或.當變化時，，的變化情況如表所示單調遞增單調遞減函數的極大值，，又，所以在區間上的最大值是，最小值是．…………7分（17）（共14分）解：（Ⅰ）由題意得解得故的通項公式為．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．…………3分（=3\*ROMANIII）因為成等比數列，所以，即，又因為，則解得．

…………5分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由題意，設等差數列的公差為，則，當時，，解得，所以，當時，，即，解得，所以．…………7分（Ⅱ）方案一：選擇條件①由（Ⅰ）可得，，則，，兩式相減，可得所以．方案二：選擇條件②由（Ⅰ）可得，，則所以．方案三：選擇條件③由（Ⅰ）可得，，則所以．

…………7分（19）（共14分）解：（Ⅰ）函數的定義域為.由題意，得，令，解得，當變化時，，的變化情況如表所示列表如下：單調遞增極大值單調遞減所以有極大值，無極小值；…………6分（Ⅱ）證明：，令，則．當時，，從而，又，所以，所以在上單調遞增．所以，當時，．所以，當時，成立．………8分（20）（共14分）解：（Ⅰ）當時，數列是首項為，公差為的等差數列.所以，當時，數列是首項為，公比為的等比數列，又，所以，所以的表達式為………6分（Ⅱ）設表示數列的前項和，由等差及等比數列的求和公式得，當時，，當時，由則所以，該生產線前n年每年平均的維護費用：當，數列為遞增數列，當時，因為，所以數列也為遞增數列．又，綜上，數列為遞增數列．又因為．所以，第10年年初需要更新該生產線．…………8分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因為，所以，令，則，因為，所以，所以在上單調遞增，即在上單調遞增．又，故存在唯一，使得，當變化時，，的變化情況如表所示列表如下：單調遞減極小值單調遞增故為在上的極小值，又，故函數在區間上的最大值為．…