試題PAGE1試題2024北京一七一中高一（下）期中數學(時長：120分鐘總分值：150分)一?選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復平面內表示復數的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.的值是（）A. B. C. D.3.在△ABC中，，則等于（）ABCD4.已知向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D5.已知為銳角，，則（）A. B. C.3 D.6.對函數的圖象分別作以下變換： ①向左平移個單位，再將每個點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變）； ②向左平移個單位，再將每個點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變）； ③將每個點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位； ④將每個點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位； 其中能得到函數的圖象的是 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④7.已知函數（，）的圖象如圖所示，則的值為 A. B. C. D.8.如圖所示，在四邊形中，，E為的中點，且，則（）A．B．C．1D．29.“”是“”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知奇函數在上為單調減函數，又，為銳角三角形內角，則 A. B. C. D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)11.已知復數(為虛數單位)，則的共軛復數為

． 12.已知向量，，若與垂直，則

．13.在中，，則

．14.已知函數（，）在區間上單調，且對任意實數均有成立，則.15.一扇中式實木仿古正方形花窗如圖1所示,該窗有兩個正方形,將這兩個正方形(它們有共同的對稱中心與對稱軸)單獨拿出來放置于同一平面,如圖2所示.已知AB=6分米,FG=3分米,點P在正方形ABCD的四條邊上運動,當AE?AP取得最大值時,三．解答題:本題共6小題,共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.已知函數．（1）求的定義域．（2）若，且，求的值．17.已知點，，，是線段的中點．（1）求點和的坐標；（2）若是軸上一點，且滿足，求點的坐標．18.如圖所示，中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大小；（2）點為邊上的一點，記，若，，求與的值.19.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）設，，分別為內角，，的對邊，已知，，且，求的值.20.已知分別為內角，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④.（Ⅰ）滿足有解三角形的序號組合有哪些？說明理由（Ⅱ）在（Ⅰ）所有組合中任選一組，并求對應的面積.（若所選條件出現多種可能，則按計算的第一種可能計分）21.若定義域的函數滿足： ①，， ②，，．則稱函數滿足性質．（1）判斷函數與是否滿足性質，若滿足，求出的值；（2）若函數滿足性質判斷是否存在實數，使得對任意，都有，并說明理由；（3）若函數滿足性質，且．對任意的，都有，求函數的值域．

參考答案1.【答案】C

【解析】解：∵z=i?∴復數z在復平面內對應的點(?1,?3)位于第三象限．故選：C.根據已知條件，結合復數的乘法原則和復數的幾何意義，即可求解．本題考查了復數的幾何意義，以及復數代數形式的乘法運算，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．2.【答案】B

【解析】解：cos故選：B.結合誘導公式及兩角和的余弦公式進行化簡即可求解．本題主要考查了誘導公式及兩角和的余弦公式的應用，屬于基礎題．3.【答案】D

【解析】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，∴設A=x，則B=2x，C=3x，由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=∴A=π6，B=π3且∵sinA=ac因此，a：b：c=1：3：故選：D根據三角形內角和定理，結合A：B：C=1：2：3，算出A=π6，B=π3且C=π2，從而得出△ABC是直角三角形．由三角函數在直角三角形中的定義算出c=2a且b=本題給出三角形三個角的比值，求它的三條邊之比．著重考查了三角形內角和定理、三角函數在直角三角形中的定義等知識，屬于基礎題．4.【答案】B

【解析】解：∵AD∴AD與AB又AD與AB有公共點A，∴A，B，D三點共線，故B正確；∵AC=AB∴A，B，C三點不共線，故A錯誤，又∵A，B，D三點共線，則A，C，D不共線，B，C，D不共線，故C，D錯誤．故選：B.證明三點共線，借助向量共線證明即可，故解題目標是驗證由三點組成的兩個向量共線即可得到共線的三點．本題主要考查了平面向量的線性運算，考查利用向量的共線來證明三點共線的，屬于基礎題．5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查兩角和的正切公式在三角函數求值中的應用，屬于基礎題．直接利用tanβ=解：因為tanα=所以tanβ=故選：A.6.【答案】C

【解析】解：①y=sin②y=sin③y=sin④y=故選：C.根據三角函數沿x軸的平移變換和伸縮變換，看哪個變換可由y=sinx得到本題考查了三角函數沿x軸方向的平移變換和伸縮變換，考查了計算能力，屬于基礎題．7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查由y=Asin由點(0,2)在函數的圖象上可求sinφ=22，結合范圍|φ|<π2，可得φ=π4，又點(2π,?【解答】解：∵點(0,2)∴sin∵|φ|<π∴可得：φ=π又∵點(2π,?2)∴sin(2πω+π4)=?2∴解得ω=k?14，或ω=k?1則當k=1時，ω的值為1故選：C.8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了向量共線定理和向量的三角形法則、平面向量基本定理，屬于基礎題．利用向量共線定理和向量的三角形法則即可得出結果．【解答】解：∵E為BC的中點，∴BEBC∴BE=1又AE=xAB+yAD，故選：C.9.【答案】B

【解析】解：sinα=∴β=2kπ±(π2化為：α+β=π2+2kπ，k∈Z，或β?α=?∴“sinα=cosβ“是“α+β=故選：B.sinα=cosβ?cos(本題考查了三角函數方程的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10.【答案】C

【解析】解：∵奇函數y=f(x)在[?1,0]上為單調遞減函數，∴f(x)在[0,1]上為單調遞減函數，∴f(x)在[?1,1]上為單調遞減函數，又α、β為銳角三角形的兩內角，∴α+β>π∴α>π∴sin∴f(故選C.由“奇函數y=f(x)在[?1,0]上為單調遞減函數”可知f(x)在[0,1]上為單調遞減函數，再由“α、β為銳角三角形的兩內角”可得到α+β>π2，轉化為α>π題主要考查奇偶性和單調性的綜合運用，還考查了三角函數的單調性．屬中檔題．11.【答案】12【解析】解：復數z=2?i所以z的共軛復數為1故答案為：1先利用復數的四則運算化簡z，再利用共軛復數的概念求解．本題主要考查了復數的運算，考查了共軛復數的定義，屬于基礎題．12.【答案】2

【解析】【分析】本題考查向量數量積的坐標計算，關鍵是求出x的值．根據題意，由向量坐標計算公式可得2a?b的坐標，由向量垂直與向量數量積的關系可得(2【解答】解：根據題意，向量a=(1,x)，b則2a若2a?b與b解得：x=±則|a故答案為：2.13.【答案】π4或3π【解析】解：由正弦定理得，ABsin所以1sin解得sinB=又因為AC>AB，所以B>C，又B∈(0,π)，所以B=π4故答案為：π4或直接利用正弦定理求解．本題主要考查了正弦定理的應用，屬于基礎題．14.【答案】π6【解析】解：∵函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)

在區間(∴12且π3是f(x)的最大值點，4π3是函數由五點法作圖可得1×π3+φ=故答案為：π由題意利用正弦函數的圖象和性質，先求出ω，再根據五點法作圖，可得φ的值．本題主要考查正弦函數的圖象和性質，屬于中檔題．15.【答案】2【解析】【分析】本題主要考查向量夾角的求法，考查向量數量積的運算與性質，考查轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．以A為坐標原點，建立平面直角坐標系，分類討論P點的位置，根據平面向量數量積的坐標表示可求出結果．【解答】解：以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系：則A(0,0)，E(32,AE=(32設P(x,y).AP=(x,y)，當y=0時，0≤x≤6，AE?AP=當x=6時，0≤y≤6，AE?AP=當y=6時，0≤x≤6，AE?AP=當x=0時，0≤y≤6，AE?AP=由以上可知，當x=6，y=6時，AE?AP取得最大值36，此時P(6,6)，設

AE與AP的夾角為θ，則cos故答案為：216.【答案】解：(Ⅰ)由題意可知sinx≠0∴x≠kπ(k∈Z)，∴f(x)的定義域為{x|x≠kπ,k∈Z}.(Ⅱ)f(x)=1?∵f(θ)=2∴sin又∵θ∈(π2,π)∴tan【解析】(Ⅰ)由sinx≠0即可求出f(x)(Ⅱ)先化簡函數f(x)的解析式，再代入f(θ)=255，得到本題主要考查了三角函數的恒等變形及化簡，考查了同角三角函數間的基本關系，是基礎題．17.【答案】解：(Ⅰ)∵A(5,?2)，B(?1,4)，M是線段AB的中點，∴M(5?1AB=(Ⅱ)設D(x,0)，則BD=(x+1,?4)，CM∵∴(x+1)?(?2)?(?4)?∴點D的坐標是(?3,0).

【解析】(Ⅰ)根據向量的運算性質計算即可；(Ⅱ)根據向量的線性運算計算即可．本題考查了向量的坐標運算，考查平行向量，是基礎題．18.【答案】(本題滿分為12分)解：(Ⅰ)∵3sinCcos∵sinC>0，∴∵0<B<π，∴B=π6…(Ⅱ)在△BCD中，∵CD∴2sin30°=∵θ為鈍角，∴∠ADC為銳角，∴cos∴在△ADC中，由余弦定理，可得：b=AD2【解析】(Ⅰ)由正弦定理，同角三角函數基本關系式化簡已知等式可得tanB=33，結合范圍(Ⅱ)在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB=BCsin∠BDC=asinθ，解得本題主要考查了正弦定理，同角三角函數基本關系式，誘導公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和轉化思想的應用，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)函數f(x)===sin令2kπ?π2≤2x+解得kπ?π3≤x≤kπ+所以函數f(x)的單調遞增區間為[kπ?π3,kπ+(2)△ABC中，f(A)=12，所以由0<A<π，得π6所以2A+π6=又AB?AC=9，所以cb又2a=b+c，由余弦定理得a2解得a=3【解析】(1)化函數f(x)為正弦型函數，根據正弦函數的圖象與性質求出f(x)的單調遞增區間；(2)根據f(A)=12求出A的值，再根據AB?AC=9本題考查了三角函數的圖象與性質應用問題，也考查了平面向量和余弦定理應用問題，是中檔題．20.【答案】解：(I)由①cosB=?6由②cos2A+2cos2解可得，cosA=?1(舍)或cos由A為三角形的內角可得A=1①②不能同時成立，所以滿足有解三角形的序號組合有①③④或②③④，(Ⅱ)選擇①③④，由余弦定理可得，b2所以8=6+c2+2解可得，c=S△ABC選②③④，由余弦定理可得，a2∴6=8+c解可得，c=S△ABC【解析】(I)結合二倍角公式進行化簡可求A，B，從而可判斷；(II)結合所選條件，結合余弦定理進行化簡，然后結合三角形的面積公式可求．本題主要考查了二倍角公式，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應用，屬于中檔試題21.【答案】解：(Ⅰ)函數f(x)=2x為增函數，滿足性質①，對于②，由?x∈R，f(x+T)=f(x)+1有2(x+T)=2x+1，所以2T=1，T=1所以函數f(x)=2x滿足性質P(函數g(x)=sinx(Ⅱ)存在，理由如下：由?x∈R，f(x+2)=f(x)+1.可得f(x+2n)=f(x+2n?2)+1=f(x+2n?4)+2=f(x+2n?6)+3=…=f(x)+n(n∈N?)，即f(x+2n)?f(x)=n，令n=2021，得a=2n=4042.(Ⅲ)依題意，對任意的x∈(?2,2)，都有f(?x)=?f(x)，所以f(0)=0，因為函數f(x)滿足性質P(4)，由①可得，在區間[?2,0]上有f(?2)≤f(x)≤f(0)，又因為f(?2)=0，所以0≤f(x