PAGEPAGE1專題4.4萬有引力定律與天體運動1．駕馭萬有引力定律的內容，并能夠用萬有引力定律求解相關問題。2．理解第一宇宙速的意義。3．了解其次宇宙速度和第三宇宙速度。學問點一開普勒行星運動定律的應用定律內容圖示或公式開普勒第肯定律(軌道定律)全部行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上開普勒其次定律(面積定律)對隨意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律(周期定律)全部行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一個與行星無關的常量學問點二萬有引力定律的理解及應用1．內容(1)自然界中任何兩個物體都相互吸引。(2)引力的方向在它們的連線上。(3)引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由卡文迪許扭秤試驗測定。3．適用條件(1)兩個質點之間的相互作用。(2)對質量分布勻稱的球體，r為兩球心間的距離。學問點三、宇宙速度1．三個宇宙速度第一宇宙速度(環繞速度)v1＝7.9km/s，是人造衛星在地面旁邊繞地球做勻速圓周運動的速度其次宇宙速度(脫離速度)v2＝11.2km/s，是物體擺脫地球引力束縛的最小放射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝16.7km/s，是物體擺脫太陽引力束縛的最小放射速度2．第一宇宙速度的理解：人造衛星的最大環繞速度，也是人造衛星的最小放射速度。3．第一宇宙速度的計算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R)).(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR).學問點四、經典時空觀和相對論時空觀1．經典時空觀(1)在經典力學中，物體的質量是不隨運動狀態而變更的。(2)在經典力學中，同一物理過程發生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是相同的。2．相對論時空觀(1)在狹義相對論中，同一物理過程發生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是不同的。(2)光速不變原理：不管在哪個慣性系中，測得的真空中的光速都是不變的。考點一開普勒運動定律的應用【典例1】（2024·遼寧葫蘆島高級中學模擬）火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，依據開普勒行星運動定律可知()A．太陽位于木星運行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積【答案】C【解析】木星繞太陽運行的軌道為橢圓軌道，故太陽應位于其橢圓軌道的一個焦點上，A錯誤；由于火星和木星在不同的軌道上，且是橢圓軌道，速度大小變更，火星和木星的運行速度大小不肯定相等，B錯誤；由開普勒第三定律可知，同一中心天體eq\f(R\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(R\o\al(3,木),T\o\al(2,木))＝k，即eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(R\o\al(3,火),R\o\al(3,木))，C正確；由于火星和木星在不同的軌道上，因此它們在近地點時的速度不等，且開普勒其次定律是指，對同一行星而言，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積，D錯誤。【變式1】（2024·吉林長春市試驗中學模擬）17世紀，英國天文學家哈雷跟蹤過一顆彗星，他算出這顆彗星軌道的半長軸約等于地球公轉半徑的18倍，并預言這顆彗星將每隔肯定的時間飛臨地球，后來哈雷的預言得到證明，該彗星被命名為哈雷彗星。哈雷彗星圍繞太陽公轉的軌道是一個特別扁的橢圓，如圖所示。從公元前240年起，哈雷彗星每次回來，中國均有記錄。它最近一次回來的時間是1986年。從公元前240年至今，我國關于哈雷彗星回來記錄的次數，最合理的是()A．24次B．30次C．124次D．319次【答案】B【解析】設彗星的周期為T1、半長軸為R1，地球的公轉周期為T2、公轉半徑為R2，由開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝C得，eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(R\o\al(3,1),R\o\al(3,2)))＝eq\r(183)≈76，則彗星回來的次數n＝eq\f(240＋1986,76)≈29，因此最合理的次數為30次，選項B正確，選項A、C、D錯誤。考點二萬有引力定律的理解及應用【典例2】（2024·新課標全國Ⅱ卷）2024年1月，我國嫦娥四號探測器勝利在月球背面軟著陸，在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變更關系的圖像是（）【答案】D【解析】依據萬有引力定律可得：，h越大，F越大，故選項D符合題意。【方法技巧】1．萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是重力mg，二是供應物體隨地球自轉的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2.(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面旁邊的重力加速度g(不考慮地球自轉)：mg＝Geq\f(mM,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)【變式2】(2024·北京卷)若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的狀況下，須要驗證()A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的1/602B．月球公轉的加速度約為蘋果落向地面加速度的1/602C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的1/6D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的1/60【答案】B【解析】若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規律——萬有引力定律，則應滿意Geq\f(Mm,r2)＝ma，因此加速度a與距離r的二次方成反比。考點三估算天體質量和密度【典例3】（2024·浙江選考）20世紀人類最宏大的創舉之一是開拓了太空的全新領域。現有一艘遠離星球在太空中直線飛行的宇宙飛船，為了測量自身質量，啟動推動器，測出飛船在短時間Δt內速度的變更為Δv，和飛船受到的推力F（其它星球對它的引力可忽視）。飛船在某次航行中，當它飛近一個孤立的星球時，飛船能以速度v，在離星球的較高軌道上繞星球做周期為T的勻速圓周運動。已知星球的半徑為R，引力常量用G表示。則宇宙飛船和星球的質量分別是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】直線推動時，依據動量定理可得，解得飛船的質量為，繞孤立星球運動時，依據公式，又，解得，D正確。【舉一反三】(2024·全國卷Ⅱ)2024年2月，我國500m口徑射電望遠鏡(天眼)發覺毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉周期T＝5.19ms。假設星體為質量勻稱分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為()A．5×109kg/m3 B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3【答案】C【解析】毫秒脈沖星穩定自轉時由萬有引力供應其表面物體做圓周運動的向心力，依據Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，得ρ＝eq\f(3π,GT2)，代入數據解得ρ≈5×1015kg/m3，C正確。【方法技巧】天體密度的測量方法1．重力加速度法利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度：ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．衛星環繞法測出衛星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若衛星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛星環繞天體表面運動的周期T