第十一章第5講[A級基礎達標]1．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，則任意取出一個正方體其三面涂有油漆的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,10)C．eq\f(3,25) D．eq\f(1,125)【答案】D【解析】小正方體三面涂有油漆有8種情況，故所求概率為eq\f(8,1000)＝eq\f(1,125).2．4張卡上分別寫有數字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為偶數的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】B【解析】因為從四張卡片中任取出兩張的情況為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種．其中兩張卡片上數字和為偶數的情況為(1,3)，(2,4)共2種，所以兩張卡片上的數字之和為偶數的概率為eq\f(1,3).3．(2016年天津校級模擬)從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4，\f(1,2)，\f(2,3)))中取兩個不同的數a，b，則logab＞0的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)【答案】C【解析】從集合{2,3,4，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)}中取兩個不同的數a，b，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同情況，其中滿足logab＞0有Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝1＋3＝4種情況，故logab＞0的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故選C．4．(2016年河北模擬)同時擲兩個均勻的正方體骰子，則向上的點數之和為5的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,18)C．eq\f(2,21) D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】同時擲兩個均勻的正方體骰子，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,6)＝36個基本事件，其中向上的點數之和為5的基本事件共有4個，分別是(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．∴向上的點數之和為5的概率為P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).故選A．5．(2016年延邊州模擬)袋子中裝有大小相同的5個小球，分別有2個紅球、3個白球，現從中隨機抽取2個小球，則這2個球中既有紅球也有白球的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(7,10)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)【答案】D【解析】設2個紅球分別為a，b，設3個白球分別為A，B，C，從中隨機抽取2個，則有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個基本事件，其中既有紅球又有白球的基本事件有6個，∴既有紅球又有白球的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故選D．6．用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】由于只有兩種顏色，不妨將其設為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種．又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為eq\f(1,4).7．從1,2,3,4,5中隨機取出兩個不同的數，則其和為奇數的概率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】方法一：從5個數字中隨機抽取2個不同的數字共有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同的抽取方法，而兩數字和為奇數則必然一奇一偶，共有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)＝6種不同的抽取方法，∴兩個數的和為奇數的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).方法二(列舉法)：從1,2,3,4,5中隨機取出兩個不同的數，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10種，其中其和為奇數有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共6種，∴兩個數的和為奇數的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).8．(2017年洛陽模擬)采用隨機模擬實驗估計拋擲一枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率；由計算機產生隨機數0或1，其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三個隨機數作為一組，代表投擲三次的結果，已知隨機模擬實驗產生了如下20組隨機數：101111010101100001101111110000011001010100000101101010011001由此估計拋擲一枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率是________．【答案】0.4【解析】總的事件共有20種，恰有兩次正面朝上有101,101,101,110,011,101,101,011共8種，故據此估計，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率P＝eq\f(8,20)＝0.4.9．(2016年長沙模擬)某班有學生50人，其中男同學30人，用分層抽樣的方法從該班抽取5人去參加某社區服務活動．(1)求從該班男女同學中各抽取的人數；(2)從抽取的5名同學中任選2名談此活動的感受，求選出的2名同學中恰有1名男同學的概率．【解析】(1)抽取的5人中男同學的人數為5×eq\f(30,50)＝3人，女同學的人數為5－3＝2人．(2)記3名男同學為A1，A2，A3,2名女同學為B1，B2.從5人中隨機選出2名同學，所有可能的結果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B用C表示：“選出的兩名同學中恰有一名男同學”這一事件，則C中的結果有6個，它們是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以選出的兩名同學中恰有一名男同學的概率P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).10．(2016年南昌一模)現有甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團的活動，且參加每個社團是等可能的．(1)求文學社和街舞社都至少有1人參加的概率；(2)求甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在同一個社團的概率．【解析】甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的情況如下：文學社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁共有16種情形，即有16個基本事件．(1)文學社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個，所求概率為1－eq\f(2,16)＝eq\f(7,8).(2)甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的基本事件有4個，概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).[B級能力提升]11．從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)【答案】D【解析】如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種．若要構成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).12．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)【答案】C【解析】易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).13．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戲：甲、乙、丙三人每次都隨機出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一個手勢，當其中一個人出示的手勢與另外兩人都不一樣時，這個人勝出；其他情況，不分勝負．則一次游戲中甲勝出的概率是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】一次游戲中，甲、乙、丙出的方法種數都有2種，所以總共有23＝8種方案，而甲勝出的情況有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2種，所以甲勝出的概率為eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).14．(2016年衡陽二模)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，則這兩名同學的植樹總棵數為20棵的概率是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】記甲組四名同學為a，b，c，d，他們植樹的棵數依次為9,9,11,11；乙組四名同學為E，F，G，H，他們植樹的棵數依次為9,8,9,10.分別從甲，乙兩組中隨機選取一名同學，所有可能的結果有16個，它們是(a，E)，(a，F)，(a，G)，(a，H)，(b，E)，(b，F)，(b，G)，(b，H)，(c，E)，(c，F)，(c，G)，(c，H)，(d，E)，(d，F)，(d，G)，(d，H)．設“選出的兩名同學的植樹總棵數為20”為事件C，則C它們是(c，E)，(d，E)，(c，G)，(d，G)，故所求概率為P(C)＝eq\f(1,4).15．(2017年安徽模擬)某校高三(1)班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據此解答如下問題：(1)求全班人數，并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高；(2)若要從分數在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，則在抽取的試卷中，求至少有一份分數在[90,100]之間的概率．【解析】(1)由莖葉圖知，分數在[50,60)之間的頻數為2，頻率為0.008×10＝0.08，∴全班人數為eq\f(2,0.08)＝25人．又分數在[80,90)之間的頻數為25－2－7－10－2＝4，∴頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.(2)將[80