第十一章第5講[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，則任意取出一個正方體其三面涂有油漆的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,10)C．eq\f(3,25) D．eq\f(1,125)【答案】D【解析】小正方體三面涂有油漆有8種情況，故所求概率為eq\f(8,1000)＝eq\f(1,125).2．4張卡上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】B【解析】因為從四張卡片中任取出兩張的情況為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種．其中兩張卡片上數(shù)字和為偶數(shù)的情況為(1,3)，(2,4)共2種，所以兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為eq\f(1,3).3．(2016年天津校級模擬)從集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4，\f(1,2)，\f(2,3)))中取兩個不同的數(shù)a，b，則logab＞0的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(3,5)【答案】C【解析】從集合{2,3,4，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)}中取兩個不同的數(shù)a，b，共有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同情況，其中滿足logab＞0有Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝1＋3＝4種情況，故logab＞0的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故選C．4．(2016年河北模擬)同時擲兩個均勻的正方體骰子，則向上的點數(shù)之和為5的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,18)C．eq\f(2,21) D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】同時擲兩個均勻的正方體骰子，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,6)＝36個基本事件，其中向上的點數(shù)之和為5的基本事件共有4個，分別是(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．∴向上的點數(shù)之和為5的概率為P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).故選A．5．(2016年延邊州模擬)袋子中裝有大小相同的5個小球，分別有2個紅球、3個白球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個小球，則這2個球中既有紅球也有白球的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(7,10)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)【答案】D【解析】設(shè)2個紅球分別為a，b，設(shè)3個白球分別為A，B，C，從中隨機(jī)抽取2個，則有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個基本事件，其中既有紅球又有白球的基本事件有6個，∴既有紅球又有白球的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，故選D．6．用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機(jī)涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】由于只有兩種顏色，不妨將其設(shè)為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種．又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為eq\f(1,4).7．從1,2,3,4,5中隨機(jī)取出兩個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】方法一：從5個數(shù)字中隨機(jī)抽取2個不同的數(shù)字共有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同的抽取方法，而兩數(shù)字和為奇數(shù)則必然一奇一偶，共有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)＝6種不同的抽取方法，∴兩個數(shù)的和為奇數(shù)的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).方法二(列舉法)：從1,2,3,4,5中隨機(jī)取出兩個不同的數(shù)，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10種，其中其和為奇數(shù)有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,5)，(3,4)，(4,5)共6種，∴兩個數(shù)的和為奇數(shù)的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).8．(2017年洛陽模擬)采用隨機(jī)模擬實驗估計拋擲一枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率；由計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)0或1，其中1表示正面朝上，0表示反面朝上，每三個隨機(jī)數(shù)作為一組，代表投擲三次的結(jié)果，已知隨機(jī)模擬實驗產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：101111010101100001101111110000011001010100000101101010011001由此估計拋擲一枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率是________．【答案】0.4【解析】總的事件共有20種，恰有兩次正面朝上有101,101,101,110,011,101,101,011共8種，故據(jù)此估計，拋擲這枚硬幣三次恰有兩次正面朝上的概率P＝eq\f(8,20)＝0.4.9．(2016年長沙模擬)某班有學(xué)生50人，其中男同學(xué)30人，用分層抽樣的方法從該班抽取5人去參加某社區(qū)服務(wù)活動．(1)求從該班男女同學(xué)中各抽取的人數(shù)；(2)從抽取的5名同學(xué)中任選2名談此活動的感受，求選出的2名同學(xué)中恰有1名男同學(xué)的概率．【解析】(1)抽取的5人中男同學(xué)的人數(shù)為5×eq\f(30,50)＝3人，女同學(xué)的人數(shù)為5－3＝2人．(2)記3名男同學(xué)為A1，A2，A3,2名女同學(xué)為B1，B2.從5人中隨機(jī)選出2名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B用C表示：“選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)”這一事件，則C中的結(jié)果有6個，它們是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)的概率P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).10．(2016年南昌一模)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團(tuán)的活動，且參加每個社團(tuán)是等可能的．(1)求文學(xué)社和街舞社都至少有1人參加的概率；(2)求甲、乙同在一個社團(tuán)，且丙、丁不同在同一個社團(tuán)的概率．【解析】甲、乙、丙、丁4個學(xué)生課余參加學(xué)校社團(tuán)文學(xué)社與街舞社的情況如下：文學(xué)社街舞社1甲乙丙丁2甲乙丙丁3甲乙丁丙4甲丙丁乙5乙丙丁甲6甲乙丙丁7甲丙乙丁8乙丙甲丁9甲丁乙丙10乙丁甲丙11丙丁甲乙12甲乙丙丁13乙甲丙丁14丙甲乙丁15丁甲乙丙16甲乙丙丁共有16種情形，即有16個基本事件．(1)文學(xué)社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個，所求概率為1－eq\f(2,16)＝eq\f(7,8).(2)甲、乙同在一個社團(tuán)，且丙、丁不同在一個社團(tuán)的基本事件有4個，概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).[B級能力提升]11．從正六邊形的6個頂點中隨機(jī)選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,5)【答案】D【解析】如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機(jī)選4個頂點，可以看作隨機(jī)選2個頂點，剩下的4個頂點構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種．若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).12．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點，O為坐標(biāo)原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)【答案】C【解析】易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).13．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戲：甲、乙、丙三人每次都隨機(jī)出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一個手勢，當(dāng)其中一個人出示的手勢與另外兩人都不一樣時，這個人勝出；其他情況，不分勝負(fù)．則一次游戲中甲勝出的概率是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】一次游戲中，甲、乙、丙出的方法種數(shù)都有2種，所以總共有23＝8種方案，而甲勝出的情況有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2種，所以甲勝出的概率為eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).14．(2016年衡陽二模)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為20棵的概率是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】記甲組四名同學(xué)為a，b，c，d，他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11；乙組四名同學(xué)為E，F(xiàn)，G，H，他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲，乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有16個，它們是(a，E)，(a，F(xiàn))，(a，G)，(a，H)，(b，E)，(b，F(xiàn))，(b，G)，(b，H)，(c，E)，(c，F(xiàn))，(c，G)，(c，H)，(d，E)，(d，F(xiàn))，(d，G)，(d，H)．設(shè)“選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為20”為事件C，則C它們是(c，E)，(d，E)，(c，G)，(d，G)，故所求概率為P(C)＝eq\f(1,4).15．(2017年安徽模擬)某校高三(1)班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題：(1)求全班人數(shù)，并計算頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高；(2)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，則在抽取的試卷中，求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的概率．【解析】(1)由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50,60)之間的頻數(shù)為2，頻率為0.008×10＝0.08，∴全班人數(shù)為eq\f(2,0.08)＝25人．又分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻數(shù)為25－2－7－10－2＝4，∴頻率分布直方圖中[80,90)間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.(2)將[80