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文檔簡介
2025屆湖北省大冶市一中高三第二學期期末考試試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在R上的函數(shù)(m為實數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關系為()A. B. C. D.2.如圖,圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓,其與邊相切于點,點為圓上任意一點,,則的最大值為()A. B. C.2 D.3.甲、乙、丙、丁四位同學高考之后計劃去三個不同社區(qū)進行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.54.有一改形塔幾何體由若千個正方體構成,構成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.45.一物體作變速直線運動,其曲線如圖所示,則該物體在間的運動路程為()m.A.1 B. C. D.26.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.7.已知中,,則()A.1 B. C. D.8.已知函數(shù),,若對任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.9.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.10.一個頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有()A. B. C. D.11.已知復數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣212.已知復數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.14.已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____,的最大值為_________15.已知等差數(shù)列的前n項和為,,,則=_______.16.已知,則_____。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,動點滿足直線與直線的斜率之積為,設點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點的直線與曲線交于,兩點,過點且與直線垂直的直線與相交于點,求的最小值及此時直線的方程.18.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓于,兩點,直線,分別交直線于,兩點.(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標;若不是,請說明理由.19.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.20.(12分)在綜合素質(zhì)評價的某個維度的測評中,依據(jù)評分細則,學生之間相互打分,最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個分數(shù),滿分100分,按照大于或等于80分的為優(yōu)秀,小于80分的為合格,為了解學生的在該維度的測評結果,在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數(shù)據(jù).該班共有60名學生,得到如下的列聯(lián)表:優(yōu)秀合格總計男生6女生18合計60已知在該班隨機抽取1人測評結果為優(yōu)秀的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表;(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結果有關系?(3)現(xiàn)在如果想了解全校學生在該維度的表現(xiàn)情況,采取簡單隨機抽樣方式在全校學生中抽取少數(shù)一部分來分析,請你選擇一個合適的抽樣方法,并解釋理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.02421.(12分)數(shù)列的前項和為,且.數(shù)列滿足,其前項和為.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知三棱錐中,為等腰直角三角形,,設點為中點,點為中點,點為上一點,且.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小.2、C【解析】
建立坐標系,寫出相應的點坐標,得到的表達式,進而得到最大值.【詳解】以D點為原點,BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標系,設內(nèi)切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據(jù)三角形面積公式得到,可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點的坐標為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用,以及參數(shù)方程的應用,以向量為載體求相關變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一般方法.3、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.4、A【解析】
則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算,屬于基礎題.5、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運動路程可用定積分表示,計算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運動的路程公式,可得.所以物體在間的運動路程是.故選:C【點睛】本題考查了定積分的實際應用,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結合,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.6、C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關系,再由三點共線,又得到一個關于的關系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識,結合圖形尋找各向量間的關系,屬于中檔題.7、C【解析】
以為基底,將用基底表示,根據(jù)向量數(shù)量積的運算律,即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點睛】本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理,考查向量數(shù)量積運算,屬于中檔題.8、C【解析】
對任意的總有恒成立,因為,對恒成立,可得,令,可得,結合已知,即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立,對恒成立,令,可得令,得當,當,,故令,得當時,當,當時,故選:C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題,解題關鍵是掌握不等式恒成立的解法和導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.9、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當時,,,所以,故可排除B,C;當時,,故可排除D.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎題.10、B【解析】
計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選:B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關系,考查計算能力,屬于基礎題.11、D【解析】
化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因為z=(1+2i)(1+ai)=,又因為z∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及概念,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.12、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點:1、復數(shù)的運算;2、復數(shù)的模.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】分析:由題意結合古典概型計算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的下等馬,田忌的上等馬對齊王的中等馬,結合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點睛:有關古典概型的概率問題,關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時,用列舉法把所有基本事件一一列出時,要做到不重復、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計數(shù)原理的正確使用.14、811【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示:數(shù)形結合可知,可行域為三角形,且底邊長,高為,故區(qū)域面積;令,變?yōu)椋@然直線過時,z最大,故.故答案為:;11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題,涉及區(qū)域面積的求解,屬基礎題.15、【解析】
利用求出公差,結合等差數(shù)列的通項公式可求.【詳解】設公差為,因為,所以,即.所以.故答案為:【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).16、【解析】
由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式與和角的正切公式。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)的最小值為1,此時直線:【解析】
(1)用直接法求軌跡方程,即設動點為,把已知用坐標表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設:,將其與曲線的方程聯(lián)立,消元并整理得,設,,則可得,,由求出,將直線方程與聯(lián)立,得,求得,計算,設.顯然,構造,由導數(shù)的知識求得其最小值,同時可得直線的方程.【詳解】(1)設,則,即整理得(2)設:,將其與曲線的方程聯(lián)立,得即設,,則,將直線:與聯(lián)立,得∴∴設.顯然構造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以,當且僅當,即時取“=”即的最小值為1,此時直線:.(注:1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分;2.若直線方程按斜率是否存在討論,則可以根據(jù)步驟相應給分.)【點睛】本題考查求軌跡方程,考查直線與橢圓相交中的最值.直線與橢圓相交問題中常采用“設而不求”的思想方法,即設交點坐標為,設直線方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元,然后用韋達定理得(或),把這個代入其他條件變形計算化簡得出結論,本題屬于難題,對學生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求.18、(1);(2)是,定點坐標為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,聯(lián)立方程得到,,計算點的坐標為,點的坐標為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因為,所以,所以橢圓的方程為.(2)設直線的方程為,點、的坐標分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡得到,所以,,所以,,因為直線的斜率,所以直線的方程,所以點的坐標為,同理,點的坐標為,故以為直徑的圓的方程為,又因為,,所以圓的方程可化為,令,則有,所以定點坐標為或.【點睛】本題考查了橢圓方程,圓過定點問題,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、(1)證明見詳解;(2).【解析】
(1)取中點為,通過證明//,進而證明線面平行;(2)取中點為,以為坐標原點建立直角坐標系,求得兩個平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點,連結,,如下圖所示:在中,因為為的中點,,且,又為的中點,,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點,連結,,則,平面,以為原點,分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標系,如下圖所示:則,,,,,,,,設平面的一個法向量,則,則,令.則,同理得平面的一個法向量為,則,故平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,屬綜合中檔題.20、(1)見解析;(2)在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“性別與測評結果有關系”(3)見解析.【解析】
(1)由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20,這樣結合已知可得列聯(lián)表;(2)根據(jù)列聯(lián)表計算,比較后可得;(3)由于性別對結果有影響,因此用分層抽樣法.【詳解】解:(1)優(yōu)秀合格總計男生62228女生141832合計204060(2)由于,因此在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“性別與測評結果有關系”.(3)由(2)可知性別有可能對是否優(yōu)秀有影響,所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學生,這樣得到的結果對學生在該維度的總體表現(xiàn)情況會比較符合實際情況
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