河南省登封市外國語中學2025年招生統一考試模擬（一）數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．83．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,4．已知，則的值等于（）A． B． C． D．5．已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若復數滿足,則()A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A． B．3 C． D．28．若函數，在區間上任取三個實數，，均存在以，，為邊長的三角形，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．10．已知函數，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知定義在R上的函數（m為實數）為偶函數，記，，則a，b，c的大小關系為()A． B． C． D．12．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內切 B．相交 C．外切 D．相離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．14．執行右邊的程序框圖，輸出的的值為.15．已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)16．《九章算術》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數、豬價各多少？”.設分別為人數、豬價，則___，___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記數列的前項和為，已知成等差數列.（1）證明：數列是等比數列，并求的通項公式；（2）記數列的前項和為，求.18．（12分）函數，且恒成立.（1）求實數的集合；（2）當時，判斷圖象與圖象的交點個數，并證明.（參考數據：）19．（12分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：.20．（12分）已知數列滿足：對任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比數列，求的通項公式；（3）設，，求證：若成等差數列，則也成等差數列.21．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構成等比數列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.22．（10分）已知公比為正數的等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎題．2、B【解析】

建立平面直角坐標系，將已知條件轉化為所設未知量的關系式，再將的最小值轉化為用該關系式表達的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示，設，，且，由于，所以..所以，即..當且僅當時取得最小值，此時由得，當時，有最小值為，即，，解得.所以當且僅當時有最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查向量的位置關系、向量的模，考查基本不等式的運用，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.3、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數z=x+2y經過C點時，函數取得最小值，由解得C（2，1），目標函數的最小值為：4目標函數的范圍是[4，+∞）．故選D．4、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點睛】本題考查了學生對二倍角公式的應用，要求學生熟練掌握三角函數中的誘導公式，屬于簡單題5、C【解析】

令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，結合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數解，即和有兩個交點，，令，可得，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減.當時，，若直線和有兩個交點，則.實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據零點求參數范圍，解題關鍵是掌握根據零點個數求參數的解法和根據導數求單調性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.6、C【解析】

把已知等式變形，利用復數代數形式的除法運算化簡，再由復數模的計算公式求解．【詳解】解：由，得，∴．故選C．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，是基礎題．7、D【解析】

根據拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸的交點為.根據拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.8、D【解析】

利用導數求得在區間上的最大值和最小，根據三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，，，，，所以在區間上的最大值為.要使在區間上任取三個實數，，均存在以，，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.9、C【解析】

根據三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎題.10、A【解析】分析：作出函數的圖象，利用消元法轉化為關于的函數，構造函數求得函數的導數，利用導數研究函數的單調性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數的應用，構造新函數，求解新函數的導數，利用導數研究新函數的單調性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉化與化歸的數學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.11、B【解析】

根據f（x）為偶函數便可求出m＝0，從而f（x）＝﹣1，根據此函數的奇偶性與單調性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故選B．【點睛】本題考查偶函數的定義，指數函數的單調性，對于偶函數比較函數值大小的方法就是將自變量的值變到區間[0，+∞）上，根據單調性去比較函數值大小．12、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數恒等變換的應用可得，從而求得，結合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案14、【解析】初始條件成立方；運行第一次：成立；運行第二次：不成立；輸出的值：結束所以答案應填：考點：1、程序框圖；2、定積分.15、y=2x【解析】試題分析：當x>0時，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因為f(x)為偶函數，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點】函數的奇偶性、解析式及導數的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當x>0時，函數y=f(x)，則當x<0時，求函數的解析式”．有如下結論：若函數f(x)為偶函數，則當x<0時，函數的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數，則函數的解析式為y=-f(-x)．16、10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數列，可得到，再結合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時加1，整理可證明結果；（2）將（1）得到的代入中化簡后再裂項，然后求其前項和.【詳解】（1）由成等差數列，則，即，①當時，，又，②由①②可得：，即，時，.所以是以3為首項，3為公比的等比數列，，所以.（2），所以.【點睛】此題考查了數列遞推式，等比數列的證明，裂列相消求和，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）2個，證明見解析【解析】

（1）要恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看是否有最小值；（2）將圖像與圖像的交點個數轉化為方程實數解的個數問題，然后構造函數，再利用導數討論此函數零點的個數.【詳解】（1）的定義域為，因為，1°當時，在上單調遞減，時，使得，與條件矛盾；2°當時，由，得；由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，即有，由恒成立，所以恒成立，令，若；若；而時，，要使恒成立，故.（2）原問題轉化為方程實根個數問題，當時，圖象與圖象有且僅有2個交點，理由如下：由，即，令，因為，所以是的一根；，1°當時，，所以在上單調遞減，，即在上無實根；2°當時，，則在上單調遞遞增，又，所以在上有唯一實根，且滿足，①當時，在上單調遞減，此時在上無實根；②當時，在上單調遞增，，故在上有唯一實根.3°當時，由（1）知，在上單調遞增，所以，故，所以在上無實根.綜合1°，2°，3°，故有兩個實根，即圖象與圖象有且僅有2個交點.【點睛】此題考查不等式恒成立問題、函數與方程的轉化思想，考查導數的運用，屬于較難題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）令，，利用可求得數列的通項公式，由此可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求得，進而可得出結論.【詳解】（1）令，，當時，；當時，，則，故；（2），.【點睛】本題考查利用求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.20、（1）3；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）依據下標的關系，有，，兩式相加，即可求出；（2）依據等比數列的通項公式知，求出首項和公比即可。利用關系式，列出方程，可以解出首項和公比；（3）利用等差數列的定義，即可證出。【詳解】（1）因為對任意，都有，所以，，兩式相加，，解得；（2）設等比數列的首項為，公比為，因為對任意，都有，所以有，解得，又，即有，化簡得，，即，或，因為，化簡得，所以故。（3）因為對任意，都有，所以有，成等差數列，設公差為，，，，，由等差數列的定義知，也成等差數列。【點睛】本題主要考查等差、等比數列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的邏輯推理，數學建模，綜合運用數列知識的能力。21、（1）；（2）不能，理由見解析【解析】

（1）設，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設其方程為，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得關于對稱，可求得，假設存在直線滿足題意，設，可得，由此可得答案．【詳解】解：（1）設，則，，所以橢圓方程為；（2）設直線的方程為，與聯立得，∴，因為兩直線的傾斜角互補，所以直線斜率為，設直線的方程為，聯立整理得，，所以關于對稱，由正弦定理得，因為,所以，由上得，假設存在直線滿足題意，設，按某種排列成等比數列，設公比為，則，所以，則此時直線與