2025屆河南省鶴壁市淇縣一中校高三4月月考數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列選項中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件2．已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數（），則函數的值域為（）A． B． C． D．4．已知函數，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）5．函數滿足對任意都有成立，且函數的圖象關于點對稱，，則的值為（）A．0 B．2 C．4 D．16．在直角坐標平面上，點的坐標滿足方程，點的坐標滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知，，，若，則（）A． B． C． D．8．若單位向量，夾角為，，且，則實數（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－19．已知集合（），若集合，且對任意的，存在使得，其中，，則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是（）A． B． C． D．10．設，則A． B． C． D．11．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．812．已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________，________.14．記等差數列和的前項和分別為和，若，則______.15．某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則抽取學生的人數為_____．16．（5分）已知函數，則不等式的解集為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過點P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點，已知當l的斜率為時，.（1）求拋物線C的方程；（2）設的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.18．（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.19．（12分）數列滿足，且.（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且∥平面（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.21．（12分）設函數.（1）若，時，在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．22．（10分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線相交于兩點，的頂點也在曲線上運動，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

對于A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據元素與集合的關系即可做出判斷．【詳解】選項A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質、向量夾角與性質、集合性質等，屬于簡單題.2、D【解析】

設，利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數學運算能力.3、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.4、D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數討論函數單調性解決問題.5、C【解析】

根據函數的圖象關于點對稱可得為奇函數，結合可得是周期為4的周期函數，利用及可得所求的值.【詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以的圖象關于原點對稱，所以為上的奇函數.由可得，故，故是周期為4的周期函數.因為，所以.因為，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查函數的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函數滿足，那么是周期為的周期函數，本題屬于中檔題.6、B【解析】

由點的坐標滿足方程，可得在圓上，由坐標滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內公切線的斜率，利用數形結合可得結果.【詳解】點的坐標滿足方程，在圓上，在坐標滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設兩圓內公切線為與，由圖可知，設兩圓內公切線方程為，則，圓心在內公切線兩側，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數形結合思想的應用，屬于綜合題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數形結合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.7、B【解析】

由平行求出參數，再由數量積的坐標運算計算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，考查數量積的坐標運算，掌握向量數量積的坐標運算是解題關鍵．8、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數量積的運算，求得實數的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.9、C【解析】

根據題目中的基底定義求解.【詳解】因為，，，，，，所以能作為集合的基底，故選：C【點睛】本題主要考查集合的新定義，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.10、C【解析】分析：利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，然后求解復數的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11、D【解析】

由已知向量的坐標求出的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．12、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的據圖求式問題以及三角函數的公式變換.據圖求式問題要注意結合五點法作圖求解.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據誘導公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點睛】本題考查了誘導公式和二倍角公式，屬于簡單題.14、【解析】

結合等差數列的前項和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數列的前項和公式及等差中項的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于基礎題.15、1【解析】

直接根據分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為，∴抽取學生的人數為6001．故答案為：1．【點睛】本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.16、【解析】

易知函數的定義域為，且，則是上的偶函數．由于在上單調遞增，而在上也單調遞增，由復合函數的單調性知在上單調遞增，又在上單調遞增，故知在上單調遞增．令，知，則不等式可化為，即，可得，又，是偶函數，可得，由在上單調遞增，可得，則，解得，故不等式的解集為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；【解析】

根據題意,求出直線方程并與拋物線方程聯立,利用韋達定理,結合,即可求出拋物線C的方程；設，的中點為，把直線l方程與拋物線方程聯立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達定理求出,進而求出的中垂線方程,即可求得在軸上的截距的表達式,然后根據的取值范圍求解即可.【詳解】由題意可知,直線l的方程為,與拋物線方程方程聯立可得,,設,由韋達定理可得,,因為,,所以,解得,所以拋物線C的方程為;設,的中點為,由,消去可得,所以判別式,解得或,由韋達定理可得,,所以的中垂線方程為,令則,因為或,所以即為所求.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和直線與拋物線的位置關系,考查向量知識的運用;考查學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力;屬于中檔題.18、.【解析】

根據特征多項式可得，可得，進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式，所以，所以.因為，且，所以.【點睛】本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎題.19、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）利用，推出，然后利用等差數列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，利用裂項法，即可求解數列的前n項和.【詳解】（1）由題意，數列滿足且可得，即，所以數列是公差，首項的等差數列，故，所以.（2）由（1）知，所以數列的前n項和：==【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，以及“裂項法”求解數列的前n項和，其中解答中熟記等差數列的定義和通項公式，合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）連接交于點，連接，由于平面，得出，根據線線位置關系得出，利用線面垂直的判定和性質得出，結合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面平面；（Ⅱ）根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和平面的法向量，利用空間向量線面角公式，即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解：（Ⅰ）證明：連接交于點，連接，則平面平面，平面，，為的中點，為的中點，平面，，平面，平面，平面平面（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，設則，，，，，設平面的法向量為，則，取得，設直線與平面所成角為，直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.21、（1）（2）見解析【解析】

(1)在上單調遞減等價于在恒成立，分離參數即可解決.(2)先對求導，化簡后根據零點存在性定理判斷唯一零點所在區間，構造函數利用基本不等式求解即可.【詳解】（1），時，，，∵在上單調遞減．∴，．令，，時，；時，，∴在上為減函數，在上為增函數．∴，∴．∴的取值范圍為．（2）若，，時，，，令，顯然在上為增函數．又，，∴有唯一零點．且，時，，；時，，，∴在上為增函數，在上為減函數．∴．又，∴，，．∴．，．∴當時，．【點睛】此題考查