第03講分式目錄一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一分式的相關(guān)概念題型01分式的判斷題型02利用分式有無意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍題型03利用分式值為正、負數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍題型04約分與最簡公式題型05最簡公分母考點二分式的基本性質(zhì)題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化題型03利用分式的符號法則，將分式恒等變形考點三分式的運算題型01分式的加減法題型02分式的乘除法題型03分式的混合運算題型04分式的化簡求值題型05零指數(shù)冪題型06分式運算的八種技巧技巧一約分計算法技巧二整體通分法技巧三換元通分法技巧四順次相加法技巧五裂項相消法技巧六消元法技巧七倒數(shù)求值法技巧八整體代入法考點要求新課標要求命題預(yù)測分式的相關(guān)概念理解分式和最簡分式的概念.在中考，主要考查分式的意義和分式值為零情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運算考查常以選擇題、填空題、解答題的形式命題.分式的基本性質(zhì)能利用分式的基本性質(zhì)進行約分與通分.分式的運算能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.考點一分式的相關(guān)概念分式的概念：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A為分子，B為分母.對于分式AB來說：②當A=0且B≠0這兩個條件同時滿足時，分式值為0.③當A=B時，分式的值為1.當A+B=0時，分式的值為-1.④若AB>0，則A、B同號;若AB<0，則A、約分的定義：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.通分的定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值.區(qū)別1）約分是針對一個分式而言，約分可使分式變簡單.2）通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．確定最簡公分母的方法：類型方法步驟分母為單項式1）取單項式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù);2）取單項式中每個字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡公分母中該字母的次數(shù).分母為多項式1）對每個分母因式分解;2）找出每個出現(xiàn)的因式的最高次冪,它們的積為最簡公分母;3)若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).11.判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷，例如：4aa2.分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義.3.約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.4.約分與通分都是根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母．題型01分式的判斷【例1】（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式25x，1π，2x2+4，x2﹣2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-1】（2022·上海·上外附中校考模擬預(yù)測）下列各式中：a?b2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】（2021·四川遂寧·中考真題）下列說法正確的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．在代數(shù)式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13+y中，判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡后的結(jié)果上看，如：4aa判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡后的結(jié)果上看，如：4aa題型02利用分式有無意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍【例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）使分式1x?5有意義的x的取值范圍是【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）在函數(shù)y=x5x+3中，自變量x的取值范圍是【變式2-2】（2023·河南南陽·校聯(lián)考三模）若代數(shù)式x3?x無意義，則實數(shù)x的值是【變式2-3】（2023·山東臨沂·一模）要使分式x2?1x+1無意義，則x的取值范圍是【變式2-4】（2023·湖北恩施·一模）函數(shù)y=x+1x?3的自變量x的取值范圍是（A．x≠3B．x≥3C．x≥?1且x≠3 D．x≥?11.分式有意義的條件：分式的分母不等于0.2.分式無意義的條件：分式的分母等于0.題型03利用分式值為正、負數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍【例3】（2023·浙江湖州·中考真題）若分式x?13x+1的值為0，則x的值是（

A．1 B．0 C．?1 D．?3【變式3-1】（2023·四川涼山·中考真題）分式x2?xx?1的值為0，則xA．0 B．?1 C．1 D．0或1【變式3-2】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式m?4m2A．m=4 B．m=?4C．m=±4 D．不存在m，使得m【變式3-3】（2021·江蘇揚州·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（

）A．x+1 B．x2?1 C．1x+1【變式3-4】（2021南充市一模）若分式2?3xx2+1A．x＞32 B．x＞23 C．x＜32 D．【變式3-5】分式x?3x3?2A．x<3 B．x>0且x≠1 C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1【變式3-6】若分式x+2(x?1)2的值大于零，則x的取值范圍是【變式3-7】下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當x=2時，x+1x?2的值為零 B．當x為任意實數(shù)時，31）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0，這兩個條件必須同時考慮，進而求解問題.2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號.3）分式值為負的條件：分式的分子、分母異號.C．無論x為何值，3x+1不可能得整數(shù)值1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0，這兩個條件必須同時考慮，進而求解問題.2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號.3）分式值為負的條件：分式的分子、分母異號.題型04約分與最簡分式【例4】（2023·甘肅蘭州·中考真題）計算：a2?5aa?5A．a(chǎn)?5 B．a(chǎn)+5 C．5 D．a(chǎn)【變式4-1】（2022·貴州銅仁·中考真題）下列計算錯誤的是（

）A．|?2|=2 B．a(chǎn)2?a?3=1【變式4-2】（2023·河北保定·模擬預(yù)測）如圖，若x為正整數(shù)，則表示分式2x2+2x

A．段①處 B．段②處 C．段③處 D．段④處【變式4-3】（2023·安徽·中考真題）先化簡，再求值：x2+2x+1x+1【變式4-4】（2021·河北·模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（

）A．6xy5x2 B．x?yy?x C．分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進行約分，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式.確定分子、分母的公因式的方法:分子、分母類型具體方法單項式1）系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2）相同字母取字母的最低次冪.多項式先把分子、分母進行因式分解,再確定公因式題型05最簡公分母【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式32a2b與A．2a2b2c B．2a【變式5-1】（2021·內(nèi)蒙古·二模）分式1?a2+1,1考點二分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.即：AB=A?CB?C（C≠0）或AB=分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即：AB運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0.題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形【例1】（2023·廣東茂名·一模）下列等式中正確的是（

）A．a(chǎn)b=a+ab+b B．a(chǎn)b=【變式1-1】（2023·福建福州·模擬預(yù)測）下列分式從左到右變形錯誤的是（

）A．c5c=15 B．34a=分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式的關(guān)鍵，利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，從而達到化簡的分式，簡化計算的目的.題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例2】（2023南通市二模）如果把分式x+2yx中的x和y都擴大到原來的20倍，那么分式的值（

A．擴大到原來的20倍 B．縮小到原來的1C．擴大到原來的2倍 D．不變【變式2-1】如果將分式x2+y2x+y中xA．擴大到原來的2倍 B．不變C．擴大到原來的4倍 D．縮小到原來的14【變式2-2】（2022·河北·一模）如果要使分式2aa?3b的值保持不變，那么分式應(yīng)（

A．a(chǎn)擴大2倍，b擴大3倍 B．a(chǎn)，b同時擴大3倍C．a(chǎn)擴大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍【變式2-3】（2022武安市中考二模）若m，n的值均擴大到原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）．A．m+3n B．3m2n C．m+3n+3題型03利用分式的符號法則，將分式恒等變形【例3】（2022年湖北省黃岡咸寧孝感三市中考模擬）不改變分式的值，使分子、分母的第一項系數(shù)都是正數(shù)，則?2a+b?a?3b＝【變式3-1】（2023·河北石家莊·二模）若nm=Am≠n，則AA．n?3m?3 B．n+3m+3 C．?n?m【變式3-2】（2022邢臺市新河縣二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式?aa?b可變形為（

A．a(chǎn)a?b B．a(chǎn)a+b C．a(chǎn)?a?b考點三分式的運算1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母．1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母．2.整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．3.分式與分式相乘,①若分子、分母是單項式,則先將分子、分母分別相乘,然后約去公因式,化為最簡分式或整式;②若分子、分母是多項式,則先把分子、分母分解因式,看能否約分,再相乘.4.當分式與整式相乘時,要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.5.乘方時,一定要把分式加上括號,并且一定要把分子、分母分別乘方.6.分式乘方時,確定乘方結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方相同,即：①正分式的任何次冪都為正;②負分式的偶次冪為正,奇次冪為負.7.分式乘方時,分式的分子或分母是多項式時,應(yīng)把分子、分母分別看作一個整體.如：aa?8.分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．題型01分式的加減法【例1】（2023·天津·中考真題）計算1x?1?2A． B．x?1 C．1x+1 D．【變式1-1】（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知b>a>0，則分式ab與的大小關(guān)系是（

）A． B． C．a(chǎn)b>a+1b+1【變式1-2】（2023·上海·中考真題）化簡：21?x?2x1?x的結(jié)果為【變式1-3】（2023·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式．請寫出單項式M，并將該例題的解答過程補充完整．例

先化簡，再求值：Ma+1?1解：原式=……【變式1-4】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知a>0，b>0，證明：1a+1【變式1-5】（2021·四川樂山·中考真題）已知Ax?1?B2?x=題型02分式的乘除法【例2】（2023·河北·中考真題）化簡的結(jié)果是（

）A．xy6 B．xy5 C．【變式2-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)3+a3=a6 B．a(chǎn)÷b【變式2-2】（2022·河北石家莊·一模）若□x+y÷xA．y－x B．y＋x C．2x D．1【變式2-3】關(guān)于式子x2?9xA．當x=3時，其值為0 B．當x=?3時，其值為C．當0<x<3時，其值為正數(shù) D．當x<0時，其值為負數(shù)【變式2-4】（2023·安徽·一模）計算?13m2?A．m3 B．?m C． D．m【變式2-5】（2023·江蘇揚州·中考真題）計算：(1)；(2)．題型03分式的混合運算【例3】（2022·山東威海·中考真題）試卷上一個正確的式子（1a+b+1a?b）÷★＝2A．a(chǎn)a?b B．a(chǎn)?ba C．a(chǎn)a+b【變式3-1】（2023·遼寧大連·中考真題）計算：．【變式3-2】（2023·四川瀘州·中考真題）化簡：4m+5m+1【變式3-3】（2023·江西·中考真題）化簡xx+1

解：原式=……解：原式=……

(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是________；（填序號）①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．(2)請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．題型04分式的化簡求值【例4】（2023·湖北武漢·中考真題）已知x2?x?1=0，計算的值是（

A．1 B．?1 C．2 D．?2【變式4-1】（2023·福建·中考真題）先化簡，再求值：，其中x=2?1【變式4-2】（2023·北京·中考真題）已知x+2y?1=0，求代數(shù)式2x+4yx【變式4-3】（2023·四川廣安·中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當?shù)恼麛?shù)，代入求值．【變式4-4】（2023·山東濱州·中考真題）先化簡，再求值：a?4a÷a+2a2先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2）代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．題型05零指數(shù)冪【例5】（2023·山東聊城·中考真題）?20230的值為（

）A．0 B．1 C． D．?【變式5-1】（2022·四川南充·中考真題）比較大小：2?23【變式5-2】（2021·重慶·中考真題）計算：9?(π?1)【變式5-3】（2023·湖南·中考真題）下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)6a3=C． D．?1【變式5-4】（2022·浙江衢州·中考真題）計算結(jié)果等于2的是（

）A．?2 B．?2 C．2?1 題型06分式運算的八種技巧技巧一約分計算法方法介紹：在通分比較麻煩的情況下，我們可以先將分子、分母因式分解，因式分解后進行約分，最后通分計算.【例6】（2022·浙江衢州·中考真題）化簡：a?1a【變式6-1】（2022·廣東揭陽·二模）下面是小明同學(xué)進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)問題．x=(x+3)(x?3)(x+3=x?3x+3=2(x?3)2(x+3)=2x?6?(2x+1)2(x+3)=2x?6?2x+12(x+3)=?52x+6(1)填空：①以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是；②第

步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是

；(2)請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：．技巧二整體通分法方法介紹：可以通過加括號或化為分母為1的分數(shù)，將整數(shù)部分看成一個整體，再進行化簡通分得出答案.【例7】（2023·陜西西安·校考二模）化簡：4ab2a+b【變式7-1】（2023·浙江嘉興·一模）化簡：x+1+xx+1+==?1你認為他的解法是否正確？（

）若正確，請在括號內(nèi)打“√”；若錯誤，請在括號內(nèi)打“×”，并寫出正確的解答過程．【變式7-2】（2021·河南信陽·河南省淮濱縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）計算．(1)1?(2)．(3)a?b(4)a2技巧三換元通分法方法介紹：在分式中有相同的復(fù)雜項時，可以通過換元的方法，使計算更加簡單.注意，整理結(jié)束后要將原式轉(zhuǎn)換回來.【例8】計算：(3m?2n)+(3m?2n技巧四順次相加法方法介紹：當分式項數(shù)過多、分母不同，不容易通分時.我們采用順次相加的方法提高正確率.先把前兩個分式計算整理，將所得結(jié)果和第三個式子通分化簡，最后再和第四個式子通分化簡.【例9】計算：1x?1【變式9-1】計算：1x?1技巧五裂項相消法方法介紹：根據(jù)公式把每一項寫成兩個分式差的形式.分裂后各項相加減只剩下頭和尾，即可求得結(jié)果.【例10】觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1?12，(1)若n為正整數(shù)，請你猜想1n(2)若n為正整數(shù)，請你用所學(xué)的知識證明1n【變式10-1】計算：1aa+1＋1a+1a+2＋技巧六消元法方法介紹：用于分式中未知數(shù)過多的情況.通過各未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系化簡并達到消元的目的，將含未知數(shù)的代數(shù)式代入所求式，化簡約分，得到結(jié)果.【例11】已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求5x【變式11-1】已知xyz≠0，且滿足，求3x2技巧七倒數(shù)求值法方法介紹：當分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)時，可把分子分母顛倒.利用已知條件，將其分子分母顛倒得到化簡后的式子.整理并將式子代入所求分式的倒數(shù)，化簡得出結(jié)果.（注意:結(jié)果要再次顛倒回來）【例12】已知＝－1，求x2x【變式12-1】【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：xx2+1解：由xx2+1=13知x≠0∴x4+1x2=x（1）第①步由x2+1x=3得到x+1【類比探究】（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題：已知xx2?3x+1【拓展延伸】（3）已知1a+1b=16【變式12-2】在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．例：已知：，求代數(shù)式x2+解：∵，∴即，∴x+1∴．材料二：在解決某些連等式問題時，通常可以引入?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個值為k的等式，這樣就可以通過適當變形解決問題．例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z解：令2x=3y=4z=kk≠0則x=k2，y=∴xy+z根據(jù)材料解答問題：(1)已知xx2?x+1(2)已知a5=b技巧八整體代入法方法介紹：根據(jù)已知條件，不需要將所有未知數(shù)都求出來，只需要得到我們所需要的整體結(jié)果.如例題13：將3個已知式子整理得出1a+1b【例13】已知1a+1b=16【變式13-1】已知三個數(shù)a,b,c滿足，，，則abcab+bc+ca的值是（

）A．19 B．16 C．215

第03講分式目錄一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一分式的相關(guān)概念題型01分式的判斷題型02利用分式有無意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍題型03利用分式值為正、負數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍題型04約分與最簡公式題型05最簡公分母考點二分式的基本性質(zhì)題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化題型03利用分式的符號法則，將分式恒等變形考點三分式的運算題型01分式的加減法題型02分式的乘除法題型03分式的混合運算題型04分式的化簡求值題型05零指數(shù)冪題型06分式運算的八種技巧技巧一約分計算法技巧二整體通分法技巧三換元通分法技巧四順次相加法技巧五裂項相消法技巧六消元法技巧七倒數(shù)求值法技巧八整體代入法考點要求新課標要求命題預(yù)測分式的相關(guān)概念理解分式和最簡分式的概念.在中考，主要考查分式的意義和分式值為零情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質(zhì)和分式的運算考查常以選擇題、填空題、解答題的形式命題.分式的基本性質(zhì)能利用分式的基本性質(zhì)進行約分與通分.分式的運算能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.考點一分式的相關(guān)概念分式的概念：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A為分子，B為分母.對于分式AB來說：②當A=0且B≠0這兩個條件同時滿足時，分式值為0.③當A=B時，分式的值為1.當A+B=0時，分式的值為-1.④若AB>0，則A、B同號;若AB<0，則A、約分的定義：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.通分的定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值.區(qū)別1）約分是針對一個分式而言，約分可使分式變簡單.2）通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．確定最簡公分母的方法：類型方法步驟分母為單項式1）取單項式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù);2）取單項式中每個字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡公分母中該字母的次數(shù).分母為多項式1）對每個分母因式分解;2）找出每個出現(xiàn)的因式的最高次冪,它們的積為最簡公分母;3)若有系數(shù),求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).11.判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡后再判斷，例如：4aa2.分式的值為0，必須保證分母≠0，否則分式無意義.3.約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分母的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.4.約分與通分都是根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式，通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母．題型01分式的判斷【例1】（2022·湖南懷化·中考真題）代數(shù)式25x，1π，2x2+4，x2﹣2A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可．【詳解】分母中含有字母的是2x2+4，1∴分式有3個，故選：B．【點睛】本題考查分式的定義，能夠準確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·上海·上外附中校考模擬預(yù)測）下列各式中：a?b2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【提示】根據(jù)分式的概念：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB【詳解】x+3x故選：C．【點睛】本題考查分式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母．【變式1-2】（2021·四川遂寧·中考真題）下列說法正確的是（）A．角平分線上的點到角兩邊的距離相等B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．在代數(shù)式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13+y中，D．若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4【答案】A【提示】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷即可．【詳解】解：A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選項正確；B.平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項錯誤；C.在代數(shù)式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，故選項錯誤；故選：A．【點睛】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡后的結(jié)果上看，如：4aa題型02利用分式有無意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍【例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）使分式1x?5有意義的x的取值范圍是【答案】x≠5【提示】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案．【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，即x?5≠0，解得x≠5，故答案為：x≠5．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）在函數(shù)y=x5x+3中，自變量x的取值范圍是【答案】x≠?【提示】根據(jù)分式中分母不能等于零，列出不等式5x+3≠0，計算出自變量x的范圍即可．【詳解】根據(jù)題意得：5x+3≠0∴5x≠?3∴x≠?3故答案為：x≠?【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，分式有意義的條件，分母不為零，解答本題的關(guān)鍵是列出不等式并正確求解．【變式2-2】（2023·河南南陽·校聯(lián)考三模）若代數(shù)式x3?x無意義，則實數(shù)x的值是【答案】3【提示】根據(jù)分式無意義的條件得出3?x=0，再求出答案即可．【詳解】解：要使代數(shù)式x3?x∴3?x=0，解得：x=3，故答案為：3．【點睛】此題考查了分式無意義的條件，能熟記分式無意義的條件是解此題的關(guān)鍵，當分母B=0時，式子AB【變式2-3】（2023·山東臨沂·一模）要使分式x2?1x+1無意義，則x【答案】x=?1【提示】根據(jù)分式無意義的條件是分母為0進行求解即可．【詳解】解：∵分式x2∴x+1=0，∴x=?1．故答案為：x=?1．【點睛】本題主要考查了分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母不為0是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2023·湖北恩施·一模）函數(shù)y=x+1x?3的自變量x的取值范圍是（A．x≠3 B．x≥3C．x≥?1且x≠3 D．x≥?1【答案】C【提示】根據(jù)分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：∵x+1x?3∴x+1≥0,x?3≠0，解得x≥?1且x≠3，故選C．【點睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式有意義的條件與二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．1.分式有意義的條件：分式的分母不等于0.2.分式無意義的條件：分式的分母等于0.題型03利用分式值為正、負數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍【例3】（2023·浙江湖州·中考真題）若分式x?13x+1的值為0，則x的值是（

A．1 B．0 C．?1 D．?3【答案】A【提示】分式的值等于零時，分子等于零，且分母不等于零．【詳解】解：依題意得：x?1=0且3x+1≠0，解得x=1．故選：A．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．【變式3-1】（2023·四川涼山·中考真題）分式x2?xx?1的值為0，則xA．0 B．?1 C．1 D．0或1【答案】A【提示】根據(jù)分式值為0的條件進行求解即可．【詳解】解：∵分式x2∴x2解得x=0，故選A．【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式m?4m2A．m=4 B．m=?4C．m=±4 D．不存在m，使得m【答案】D【提示】根據(jù)題意可得m?4=0【詳解】解：根據(jù)題意可得：m?4=0解得：m=±4m≠±4故無解，故選：D．【點睛】本題考查了分式值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件為：分子為0，分母不為0，是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2021·江蘇揚州·中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（

）A．x+1 B．x2?1 C．1x+1【答案】C【提示】分別找到各式為0時的x值，即可判斷．【詳解】解：A、當x=-1時，x+1=0，故不合題意；B、當x=±1時，x2-1=0，故不合題意；C、分子是1，而1≠0，則1x+1D、當x=-1時，x+12故選C．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件，代數(shù)式的值．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．【變式3-4】（2021南充市一模）若分式2?3xx2+1A．x＞32 B．x＞23 C．x＜32 D．【答案】B【提示】根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：由題意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，∴x＞23故選：B．【點睛】本題考查分式的值，當分子和分母同號時，分式值為正數(shù)，當分子和分母異號時，分式值為負數(shù)．【變式3-5】分式x?3x3?2A．x<3 B．x>0且x≠1 C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1【答案】D【提示】根據(jù)乘法公式，化簡分式，分式的值要為負數(shù)，則分子、分母為異號，即可求出答案．【詳解】解：x?3==x?3因為分式的值為負數(shù)，∴x?3>0x<0x≠1∴0<x<3且x≠1故選：D．【點睛】本題考查分式的化簡，分式的取值與分子、分母的關(guān)系，且分母不能為零，理解和掌握分式取值與分子、分母的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】若分式x+2(x?1)2的值大于零，則x的取值范圍是【答案】x>?2且x≠1【提示】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，進而求出x的取值．【詳解】解：∵分式x+2(x?1∴x+2＞0，∴x＞﹣2，∵x﹣1≠0，∴x≠1，故答案為x＞﹣2且x≠1．【點睛】本題考查分式的值；熟練掌握分式求值的特點，特別注意分式的分母不等于零這個隱含條件是解題的關(guān)鍵．【變式3-7】下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（

）A．當x=2時，x+1x?2的值為零 B．當x為任意實數(shù)時，3C．無論x為何值，3x+1不可能得整數(shù)值 D．當x≠3時，x?3【答案】B【提示】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值是0的條件是分子等于0，分母不為0即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、當x=2時，x+1x?2B、當x為任意實數(shù)時，3xC、當x=0或2時，3x+1D、當x≠0時，x?3x故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值是0的條件是分子是0，分母不是0．1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0，這兩個條件必須同時考慮，進而求解問題.2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號.3）分式值為負的條件：分式的分子、分母異號.題型04約分與最簡分式【例4】（2023·甘肅蘭州·中考真題）計算：a2?5aa?5A．a(chǎn)?5 B．a(chǎn)+5 C．5 D．a(chǎn)【答案】D【提示】分子分解因式，再約分得到結(jié)果．【詳解】解：a==a，故選：D．【點睛】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·貴州銅仁·中考真題）下列計算錯誤的是（

）A．|?2|=2 B．a(chǎn)2?a?3=1【答案】D【提示】根據(jù)絕對值，同底數(shù)冪的乘法，負整數(shù)指數(shù)冪，分式的性質(zhì)，冪的乘方計算法則求解即可．【詳解】解：A、|?2|=2，計算正確，不符合題意；B、a2C、a2D、a2故選D．【點睛】本題主要考查了絕對值，同底數(shù)冪的乘法，負整數(shù)指數(shù)冪，分式的性質(zhì)，冪的乘方計算法則，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·河北保定·模擬預(yù)測）如圖，若x為正整數(shù)，則表示分式2x2+2x

A．段①處 B．段②處 C．段③處 D．段④處【答案】C【提示】先化簡分式，再確定分式值的范圍即可．【詳解】解：2x∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為1，∴當x=1時，4x+2∴43∴分式2x2+2x故選：C．【點睛】本題考查了分式的化簡，解題關(guān)鍵是能夠運用分式的基本性質(zhì)進行化簡并確定分式值的范圍．【變式4-3】（2023·安徽·中考真題）先化簡，再求值：x2+2x+1x+1【答案】x+1；2【提示】先根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：x==x+1，當x=2∴原式=2?1+1=【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行求解．【變式4-4】（2021·河北·模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（

）A．6xy5x2 B．x?yy?x C．【答案】C【提示】利用最簡分式的定義：分式分子分母沒有公因式，判斷即可．【詳解】A、6xy5B、x?yy?xC、x2D、x2故選：C．【點睛】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵．分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進行約分，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式.確定分子、分母的公因式的方法:分子、分母類型具體方法單項式1）系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2）相同字母取字母的最低次冪.多項式先把分子、分母進行因式分解,再確定公因式題型05最簡公分母【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式32a2b與A．2a2b2c B．2a【答案】A【提示】根據(jù)最簡公分母定義是各分母的最小公倍數(shù)即可求解．【詳解】解：根據(jù)最簡公分母是各分母的最小公倍數(shù)，∵系數(shù)2與1的公倍數(shù)是2，a2與a的最高次冪是a2，b與b2的最高次冪是b∴公分母為：2a故選擇：A．【點睛】本題考查最簡公分母，熟練掌握最簡公分母是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2021·內(nèi)蒙古·二模）分式1?a2+1,1【答案】a1+a1?a【提示】先把兩個分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后進行計算求值即可.【詳解】解：∵1?a∴1?a∴1?a2+1∴1故答案為：a1+a1?a【點睛】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解考點二分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.即：AB=A?CB?C（C≠0）或AB=分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即：AB運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；②隱含條件：分式的分母不等于0.題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形【例1】（2023·廣東茂名·一模）下列等式中正確的是（

）A．a(chǎn)b=a+ab+b B．a(chǎn)b=【答案】A【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個判斷即可解答．【詳解】解：a+ab+ba+1b+1與aa?1b?1與a當ab<0時，故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·福建福州·模擬預(yù)測）下列分式從左到右變形錯誤的是（

）A．c5c=15 B．34a=【答案】B【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行計算即可解答．【詳解】解：A、c5cB、當b=0時，34aC、?1D、a2故選：B．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式的關(guān)鍵，利用分式的基本性質(zhì)可將分式恒等變形，從而達到化簡的分式，簡化計算的目的.題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化【例2】（2023南通市二模）如果把分式x+2yx中的x和y都擴大到原來的20倍，那么分式的值（

A．擴大到原來的20倍 B．縮小到原來的1C．擴大到原來的2倍 D．不變【答案】D【提示】根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】把x和y都擴大20倍后，原式變?yōu)?0x+40y20x即約分后仍為原式，分式的值不變．故選D．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如果將分式x2+y2x+y中xA．擴大到原來的2倍 B．不變C．擴大到原來的4倍 D．縮小到原來的14【答案】A【提示】x，y都擴大成原來的2倍就是變成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子與原來的式子的關(guān)系．【詳解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：(2x)則分式的值擴大為原來的2倍．故選：A．【點睛】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．【變式2-2】（2022·河北·一模）如果要使分式2aa?3b的值保持不變，那么分式應(yīng)（

A．a(chǎn)擴大2倍，b擴大3倍 B．a(chǎn)，b同時擴大3倍C．a(chǎn)擴大2倍，b縮小3倍 D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍【答案】B【提示】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡，最后得出答案即可．【詳解】A.a擴大2倍，b擴大3倍,2×2a2a?3×3b=B.a，b同時擴大3倍，2×3a3a?3×3bC.a擴大2倍，b縮小3倍，2×2a2a?3×D.a縮小2倍，b縮小3倍2×1故選B【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022武安市中考二模）若m，n的值均擴大到原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）．A．m+3n B．3m2n C．m+3n+3【答案】B【提示】根據(jù)m，n擴大到3倍為：3m，3n；把3m，3n依次代入選項，進行判斷，即可．【詳解】∵m，n的值均擴大到原來的3倍為3m，3n∴A、3m+33nB、3×3m2×3nC、3m+33n+3D、33m?3n故選：B．【點睛】本題考查分式的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)．題型03利用分式的符號法則，將分式恒等變形【例3】（2022年湖北省黃岡咸寧孝感三市中考模擬）不改變分式的值，使分子、分母的第一項系數(shù)都是正數(shù)，則?2a+b?a?3b＝【答案】2a?b【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：?2a+b故答案為：2a?b【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3-1】（2023·河北石家莊·二模）若nm=Am≠n，則AA．n?3m?3 B．n+3m+3 C．?n?m【答案】C【提示】用舉反例結(jié)合分式的基本性質(zhì)進行逐一判斷即可．【詳解】A.如：1?32?3≠12，B.如：1+32+3≠12，C.?n?mD.如：12?22≠1故選：C．【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握基本性質(zhì)，會用舉反例的方法進行判斷是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022邢臺市新河縣二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式?aa?b可變形為（

A．a(chǎn)a?b B．a(chǎn)a+b C．a(chǎn)?a?b【答案】D【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【詳解】?aa?b故選：D．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．考點三分式的運算1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母．1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母．2.整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式．3.分式與分式相乘,①若分子、分母是單項式,則先將分子、分母分別相乘,然后約去公因式,化為最簡分式或整式;②若分子、分母是多項式,則先把分子、分母分解因式,看能否約分,再相乘.4.當分式與整式相乘時,要把整式與分子相乘作為積的分子,分母不變.5.乘方時,一定要把分式加上括號,并且一定要把分子、分母分別乘方.6.分式乘方時,確定乘方結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方相同,即：①正分式的任何次冪都為正;②負分式的偶次冪為正,奇次冪為負.7.分式乘方時,分式的分子或分母是多項式時,應(yīng)把分子、分母分別看作一個整體.如：aa?8.分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進行靈活運算．題型01分式的加減法【例1】（2023·天津·中考真題）計算1x?1?2xA． B．x?1 C．1x+1 D．【答案】C【提示】根據(jù)異分母分式加減法法則進行計算即可．【詳解】解：1x?1?故選：C．【點睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進行計算．【變式1-1】（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知b>a>0，則分式ab與的大小關(guān)系是（

）A． B． C．a(chǎn)b>a+1b+1【答案】A【提示】將兩個式子作差，利用分式的減法法則化簡，即可求解．【詳解】解：ab∵b>a>0，∴ab∴，故選：A．【點睛】本題考查分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·上海·中考真題）化簡：21?x?2x1?x【答案】2【提示】根據(jù)同分母分式的減法計算法則解答即可．【詳解】解：21?x故答案為：2．【點睛】本題考查了同分母分式減法計算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式．請寫出單項式M，并將該例題的解答過程補充完整．例

先化簡，再求值：Ma+1?1解：原式=……【答案】M=a，1?1a，【提示】先根據(jù)通分的步驟得到M，再對原式進行化簡，最后代入a=100計算即可．【詳解】解：由題意，第一步進行的是通分，∴Ma+1∴M=a，原式=a當a=100時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，正確對分式進行化簡是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）已知a>0，b>0，證明：1a【答案】見解析【提示】根據(jù)作差法比較大小，然后根據(jù)分式的加減進行計算得出1a【詳解】證明：∵1a又a>0，b>0，∴a?b2≥0，ab>0，∴a?b2∴1a【點睛】本題考查了分式的加減運算，熟練掌握分式的加減運算是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知Ax?1?B2?x=【答案】A的值為4，B的值為-2【提示】根據(jù)分式、整式加減運算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】Ax?1∴A(x?2)+B(x?1)(x?1)(x?2)∴A(x?2)+B(x?1)=2x?6，即(A+B)x?(2A+B)=2x?6．∴A+B=22A+B=6解得：A=4∴A的值為4，B的值為?2．【點睛】本題考查了分式、整式、二元一次方程組的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運算、整式加減運算、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解．題型02分式的乘除法【例2】（2023·河北·中考真題）化簡的結(jié)果是（

）A．xy6 B．xy5 C．【答案】A【提示】根據(jù)分式的乘方和除法的運算法則進行計算即可．【詳解】解：x3故選：A．【點睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準確計算是本題的解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)3+a3=a6 B．a(chǎn)÷b【答案】C【提示】根據(jù)合并同類項，分式的乘除混合運算，分式的加減，分式的乘方運算逐項提示．【詳解】A．a(chǎn)3B．a(chǎn)÷b?C．2aa?1D．ba故選C．【點睛】本題考查了合并同類項，分式的乘除混合運算，分式的加減，分式的乘方運算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·河北石家莊·一模）若□x+y÷xA．y－x B．y＋x C．2x D．1【答案】C【提示】先根據(jù)分式除法法則計算，再根據(jù)結(jié)果為整式，得出□中的式子可能是，即可得出答案．【詳解】解：□＝□=□y?x∵運算結(jié)果為整式，∴□中的式子是含量有x因式的式子，∴□中的式子可能是2x，故選：C．【點睛】本題考查分式乘除運算，熟練掌握分式乘除運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】關(guān)于式子x2?9x2A．當x=3時，其值為0 B．當x=?3時，其值為C．當0<x<3時，其值為正數(shù) D．當x<0時，其值為負數(shù)【答案】A【提示】根據(jù)分式的乘除法法則.平方差公式.完全平方公式對分式進行化簡，再根據(jù)化簡后的分式對選項一一進行提示，即可得出答案．【詳解】解：x2A.當x=3時，原式=B.當x=?3時，分母x+3=?3+3=0，原式?jīng)]有意義，不能計算求值，故該說法不正確，不符合題意；C.當0<x<3時，則x?3<0，∴x?3xD.當x<0時，則x?3<?3，∴x?3x故選：A【點睛】本題考查了分式有意義的條件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本題的關(guān)鍵在正確對分式進行化簡．分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母；分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子.分母顛倒位置后，與被除式相乘．【變式2-4】（2023·安徽·一模）計算?13mA．m3 B．?m C． D．m【答案】D【提示】先計算乘方，再計算乘法，即可求解．【詳解】解：?故選：D【點睛】本題主要考查了分式的乘法運算，熟練掌握分式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2023·江蘇揚州·中考真題）計算：(1)；(2)．【答案】(1)1?(2)?【提示】（1）先算零指數(shù)冪，算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，再進行加減運算即可；（2）除法變乘法，再進行計算即可．【詳解】（1）解：原式=1?2=1?3（2）原式==?1【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，分式的除法運算．熟練掌握相關(guān)運算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．題型03分式的混合運算【例3】（2022·山東威海·中考真題）試卷上一個正確的式子（1a+b+1a?b）÷★＝2a+bA．a(chǎn)a?b B．a(chǎn)?ba C．a(chǎn)a+b【答案】A【提示】根據(jù)分式的混合運算法則先計算括號內(nèi)的，然后計算除法即可．【詳解】解：1a+b+1a?b+a+ba+ba?b÷★=2a=aa?b故選A．【點睛】題目主要考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·遼寧大連·中考真題）計算：．【答案】2【提示】先計算括號內(nèi)的加法，再計算除法即可．【詳解】解：=a?3【點睛】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則和順序是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·四川瀘州·中考真題）化簡：4m+5m+1+m?1【答案】【提示】先計算括號內(nèi)的，通分后利用同分母的分式運算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：4m+5=m+2．【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握相關(guān)運算法則和運算順序是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·江西·中考真題）化簡xx+1

解：原式=……解：原式=……

(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是________；（填序號）①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．(2)請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．【答案】(1)②，③(2)見解析【提示】（1）根據(jù)所給的解題過程即可得到答案；（2）甲同學(xué)的解法：先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把小括號內(nèi)的分式先同分，然后根據(jù)分式的加法計算法則求解，最后根據(jù)分式的乘法計算法則求解即可；乙同學(xué)的解法：根據(jù)乘法分配律去括號，然后計算分式的乘法，最后合并同類項即可．【詳解】（1）解：根據(jù)解題過程可知，甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，故答案為：②，③；（2）解：甲同學(xué)的解法：原式=x乙同學(xué)的解法：原式=xx+1?【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．題型04分式的化簡求值【例4】（2023·湖北武漢·中考真題）已知x2?x?1=0，計算的值是（

）A．1 B．?1 C．2 D．?2【答案】A【提示】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后把x2【詳解】解：=2x=x?1=，∵x2∴x2∴原式==1，故選A.【點睛】本題考查分式的混合運算及求值．解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算法則．【變式4-1】（2023·福建·中考真題）先化簡，再求值：，其中x=2?1【答案】?1x+1【提示】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后再將x=2【詳解】解：=?1x=?1當x=2?1時，原式【點睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及其運算、分母有理化，正確的化簡分式是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·北京·中考真題）已知x+2y?1=0，求代數(shù)式2x+4yx2【答案】2【提示】先將分式進行化簡，再將x+2y?1=0變形整體代入化簡好的分式計算即可．【詳解】解：原式=2由x+2y?1=0可得x+2y=1，將x+2y=1代入原式可得，原式=2【點睛】本題考查了分式的化簡求值，注意整體代入思想的應(yīng)用．【變式4-3】（2023·四川廣安·中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當?shù)恼麛?shù)，代入求值．【答案】1a?1，選擇a=0，式子的值為（或選擇a=2，式子的值為1）【提示】先計算括號內(nèi)的分式減法，再計算分式的除法，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇適當?shù)腶的值，代入計算即可得．【詳解】解：原式=1a+1?∵a+1≠0，a?1≠0，∴a≠?1，a≠1，∵?2<a<3，且a為整數(shù)，∴選擇a=0代入得：原式=1選擇a=2代入得：原式=1【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·山東濱州·中考真題）先化簡，再求值：a?4a÷a+2a2【答案】；1【提示】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，求得a2?4a+3=0的值，最后將【詳解】解：a?4a÷∵，即a2∴原式=a【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則以及負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進行求解．先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題1）化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，而缺少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式＝…”．2）代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法．解題時可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法．當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為0．題型05零指數(shù)冪【例5】（2023·山東聊城·中考真題）?20230的值為（

A．0 B．1 C．-1 D．?【答案】B【提示】根據(jù)零指數(shù)冪法則：任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，計算即可得到答案【詳解】解：∵任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，∴?20230故選：B．【點睛】本題主要考查零指數(shù)冪法則：任何一個不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，熟練掌握零次冪法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·四川南充·中考真題）比較大小：2?23【答案】<【提示】先計算2?2=1【詳解】解：2?2=1∵14∴2?2故答案為：<．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的大小比較，負整數(shù)指數(shù)冪的運算，零次冪的運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）計算：9?(π?1)【答案】2【提示】根據(jù)算術(shù)平方根的定義和零指數(shù)冪的性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：9?(π?1故答案為：2【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）下列計算正確的是（

）A．a(chǎn)6a3=C． D．?1【答案】D【提示】根據(jù)分式的約分可判斷A，根據(jù)冪的乘方運算可判斷B，根據(jù)分式的加法運算可判斷C，根據(jù)零指數(shù)冪的含義可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：a6a2，故C不符合題意；?1故選D【點睛】本題考查分式的約分，冪的乘方運算，分式的加法運算，零指數(shù)冪，熟記運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）計算結(jié)果等于2的是（

）A．?2 B．?2 C．2?1 【答案】A【提示】根據(jù)絕對值的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪逐項判斷即可得．【詳解】解：A、?2=2B、?2C、2?1D、?20故選：A．【點睛】本題考查了絕對值、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪，熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．題型06分式運算的八種技巧技巧一約分計算法方法介紹：在先通分比較麻煩的情況下，我們可以先將分子、分母因式分解，因式分解后進行約分，最后通分計算.【例6】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）化簡：a?1a【答案】2【詳解】解：a?1=a?1(a+1)(a?1)=1a+1=2a+1【點睛】本題考查因式分解和分式化解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和分式的運算法則．【變式6-1】（2022·廣東揭陽·統(tǒng)考二模）下面是小明同學(xué)進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)問題．x=(x+3)(x?3)(x+3=x?3x+3=2(x?3)2(x+3)=2x?6?(2x+1)2(x+3)=2x?6?2x+12(x+3)=?52x+6(1)填空：①以上化簡步驟中，第步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是；②第

步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是

；(2)請直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：．【答案】(1)①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；②五；括號前是“?”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；(2)?7【提示】（1）①根據(jù)分式的通分的定義進行判定即可得出答案；②根據(jù)去括號的法則即可得到第五步出現(xiàn)錯誤；（2）應(yīng)用分式的加減運算法則進行計算即可得出答案．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意，以上化簡步驟中，第三步是進行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的性質(zhì)；故答案為：三，分式的性質(zhì)；②第五步出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)錯誤的原因是括號前是“?”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號故答案為：五；括號前是“?”號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號；（2）解：x2?9x2+6x+9故答案為：?【點睛】本題主要考查了分式加減運算，熟練掌握分式加減運算的法則進行求解是解決本題的關(guān)鍵．技巧二整體通分法方法介紹：可以通過加括號或化為分母為1的分數(shù)，將整數(shù)部分看成一個整體，再進行化簡通分得出答案.【例7】（2023·陜西西安·校考二模）化簡：4ab2a+b【答案】2b【提示】根據(jù)分式的加減進行計算即可求解．【詳解】解：4ab2a+b【點睛】本題考查了分式的加減運算，掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）化簡：x+1+xx+1+==?1你認為他的解法是否正確？（

）若正確，請在括號內(nèi)打“√”；若錯誤，請在括號內(nèi)打“×”，并寫出正確的解答過程．【答案】小嘉同學(xué)的解法錯誤，正確過程見解析【提示】觀察解題過程可知小嘉的解法是直接乘以x?1去了分母，但是沒有除以x?1使分式的值保持不變，由此可知小嘉的解法錯誤，根據(jù)分式的加法計算法則寫出正確的解答過程即可．【詳解】解：小嘉同學(xué)的解法錯誤，正確過程如下：x+1+x2【點睛】本題主要考查了分式的加法計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2021·河南信陽·河南省淮濱縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）計算．(1)1?(2)．(3)a?b(4)a2【答案】(1)1(2)b(3)(4)1【提示】（1）首先通分計算括號里面，進而根據(jù)分式的除法運算計算即可；（2）根據(jù)分式的加減乘除混合運算順序進行計算，注意進行因式分解和約分；（3）首先通分計算括號里面，再根據(jù)分式的除法運算法則進行計算，注意進行因式分解和約分；（4）根據(jù)分式的加減法法則進行計算，注意通分．【詳解】（1）原式=x?1+1（2）原式=b（3）原式=(a?b（4）原式=a【點睛】本題考查了分式的混合運算，需掌握的知識點：分式的混合運算的順序和法則，分式的約分、通分以及因式分解；熟練掌握分式的混合運算順序和因式分解是解決問題的關(guān)鍵．技巧三換元通分法方法介紹：在分式中有相同的復(fù)雜項時，可以通過換元的方法，使計算更加簡單.注意，整理結(jié)束后要將原式轉(zhuǎn)換回來.【例8】計算：(3m?2n)+(3m?2n【答案】【提示】設(shè)3m-2n=x，把原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的代數(shù)式，化簡后再把x還原為3m-2n即可.【詳解】解：設(shè)3m-2n=x，原式=x＋-x2-xx?1,=xx=?2xx+1把x=3m-2n代入，得原式=4n?6m3m?2n+1【點