二次函數(shù)與一元二次方程人教版九年級上冊教學目標010203探索二次函數(shù)與一元二次方程的關系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.掌握二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關系，表述何時方程有兩個不等的實根、兩個相等的實數(shù)和沒有實根.會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.01重點：讓學生理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系。02難點：讓學生理解函數(shù)圖象交點問題與對應方程間的相互轉化，及用圖象求方程解的方法。重難點01回顧舊知二次函數(shù)的一般式：（a≠0）______是自變量，____是____的函數(shù)。xyx

當y=0時ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0這是什么方程？上一章中我們學習了“一元二次方程”一元二次方程與二次函數(shù)有什么關系？自主學習反饋1、拋物線y=-x2-2x+3與x軸交點為

，與y軸交點為

。2、若二次函數(shù)y=x2-6x+3k的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是

。3、二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為x=1．若關于x的一元二次方程x2+bx-t=0（為實數(shù)）在-1＜x＜4的范圍內有解，則t的取值范圍是

.（-3，0）、（1，0）

（0，3）k＜3-1≤t＜802二次函數(shù)與一元二次方程的關系以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間具有關系：h=20t–5t2

.考慮下列問題:（1）球的飛行高度能否達到15m?若能，需要多少時間?（2）球的飛行高度能否達到20m?若能，需要多少時間?（3）球的飛行高度能否達到20.5m?為什么？（4）球從飛出到落地要用多少時間?情景思考二次函數(shù)與一元二次方程的關系知識點（1）球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？Oht1513∴當球飛行1s或3s時，它的高度為15m.解：15=20t-5t2

t2-4t+3=0

解得t1=1,t2=3.你能結合上圖，指出為什么在兩個時間求的高度為15m嗎？探究新知（2）球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？你能結合圖形指出為什么只在一個時間球的高度為20m？Oht20220=20t-5t2t2-4t+4=0解得t1=t2=2.故當球飛行2秒時，它的高度為20米.h=20t-5t2探究新知解：（3）球的飛行高度能否達到20.5m？如果能，需要多少飛行時間？Oht你能結合圖形指出為什么球不能達到20.5m的高度?20.5解：20.5=20t-5t2t2-4t+4.1=0因為(-4)2-4×4.1<0所以方程無解.即球的飛行高度達不到20.5米.h=20t-5t2探究新知（4）球從飛出到落地要用多少時間？Oht0=20t-5t2t2-4t=0解得t1=0,t2=4.當球飛行0秒和4秒時，它的高度為0米.即0秒時球地面飛出，4秒時球落回地面.h=20t-5t2解：小球飛出時和落地時的高度均為0m。探究新知

從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時為一元二次方程?一般地，當y取定值且a≠0時，二次函數(shù)為一元二次方程.如：y=5時，則5=ax2+bx+c就是一個一元二次方程.為一個常數(shù)（定值）探究新知所以二次函數(shù)與一元二次方程關系密切．例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反過來，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值．新知講解

下列二次函數(shù)的圖象與x

軸有交點嗎?若有，求出交點坐標.

（1）y=2x2＋x－3

（2）y=4x2

－4x+1

（3）y=x2–x+1探究xyo令y=0，解一元二次方程的根.（1）y=2x2＋x－3解：當y=0時2x2＋x－3

=0（2x＋3）（x－1）

=0x1=x2=1－32

所以與x

軸有交點，有兩個交點。xyoy=a（x－x1）（x－x

1）二次函數(shù)的兩點式

（2）y=4x2

－4x+1解：當y=0時4x2

－4x+1

=0（2x－1）2=0x1=x2=

所以與x

軸有一個交點。12xyo（3）y=x2–x+1解：當y=0時x2–x+1

=0

所以與x

軸沒有交點。xyo因為（-1）2－4×1×1=－3<0有兩個根有一個根（兩個相同的根）沒有根有兩個交點有一個交點沒有交點b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的三種情況與一元二次方程根的關系ax2+bx+c=0的根

y=ax2+bx+c的圖象與x軸

若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點，則____________。b2–4ac≥0△＞0△=0△＜0oxy△=b2–4ac△＞0△=0△＜0oxy△=b2–4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個交點有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac>0有一個交點有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac

=0沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的坐標與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關系.新知講解判別式：b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根xyO與x軸有兩個不同的交點（x1，0）（x2，0）有兩個不同的解x=x1，x=x2.b2-4ac＞0xyO與x軸有唯一個交點有兩個相等的解x1=x2=b2-4ac=0xyO與x軸沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac＜003二次函數(shù)與一元二次方程的應用例

已知二次函數(shù)y=2x2-3x-4的函數(shù)值為1，求自變量x的值，可以看作解一元二次方程

2x2-3x-4=1

.反之，解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函數(shù)y=2x2-3x-5的函數(shù)值為0時自變量x的值.解之得：x1=-1，x2=2.5。二次函數(shù)與一元二次方程的關系考點二次函數(shù)y=x2-3x+2，當x=1時，y=

;當y=0時，x= .

拋物線y=4x2-1與y軸的交點坐標為

;與x軸的交點坐標為

.01或2

(0,-1)

(0.5,0)和（-0.5,0）【思考】觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，公共點的橫坐標是多少？當x取公共點的橫坐標時，函數(shù)的值是多少？由此你能得出相應的一元二次方程的根嗎？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.利用二次函數(shù)與x軸的交點討論一元二次方程的根的情況知識點二次函數(shù)圖象與x軸的公共點的橫坐標是多少？無公共點先畫出函數(shù)圖象：公共點的函數(shù)值為

.0對應一元二次方程的根是多少？x1

=-2，x2

=1.x1

=x2

=3.方程無解有兩個不等的實根有兩個相等的實根沒有實數(shù)根由上述問題，你可以得到什么結論呢？方程ax2+bx+c=0的解就是拋物線y=ax2+bx+c與x軸公共點的橫坐標.當拋物線與x軸沒有公共點時，對應的方程無實數(shù)根.

反過來，由一元二次方程的根的情況，也可以確定相應的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關系.由前面的結論，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根，由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的．例

利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實數(shù)根(精確到0.1).xyO－222464－48－2－4y=x2－2x－2解：作y=x2-2x-2的圖象(如右圖所示)，它與x軸的公共點的橫坐標大約是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的實數(shù)根為。x1≈-0.7，x2≈2.7.新知講解圖象法解一元二次方程做一做下面的題目，看誰做得又快又準確。分層教學A組B組已知二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍

.

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+4x的頂點為A，與x軸分別交于O、B兩點，過頂點A分別作AC⊥x軸于點C，AD⊥y軸于點D，連接BD，交AC于點E，則△ADE與△BCE的面積和為

．爭先恐后我來我來我來我來小組展示

已知二次函數(shù)y=kx2-7x-7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍

.

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+4x的頂點為A，與x軸分別交于O、B兩點，過頂點A分別作AC⊥x軸于點C，AD⊥y軸于點D，連接BD，交AC于點E，則△ADE與△BCE的面積和為

．4解析一覽例已知關于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點；(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．解：(1)證明：∵m≠0?！唳ぃ絒-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，

∴Δ≥0，因此拋物線與x軸總有兩個交點；

利用二次函數(shù)與一元二次方程的根的關系確定字母的值（范圍）考點已知拋物線y=kx2+2x-1與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是

．

例如圖，丁丁在扔鉛球時，鉛球沿拋物線

運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.（1）當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是多少？（2）鉛球離地面的高度能否達到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？（3）鉛球離地面的高度能否達到3m？為什么？二次函數(shù)與一元二次方程關系在實際生活中的應用考點解：

由拋物線的表達式得即解得即當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是1m或5m.（1）當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平距離是多少？（2）鉛球離地面的高度能否達到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？解：由拋物線的表達式得即解得即當鉛球離地面的高度為2.5m時，它離初始位置的水平距離是3m.探究新知解：由拋物線的表達式得即因為所以方程無實根.所以鉛球離地面的高度不能達到3m.（3）鉛球離地面的高度能否達到3m？為什么？探究新知一元二次方程與二次函數(shù)緊密地聯(lián)系起來了.

如圖設水管AB的高出地面2.5m，在B處有一自動旋轉的噴水頭，噴出的水呈拋物線狀，可用二次函數(shù)y=-0.5x2+2x+2.5描述，在所示的直角坐標系中，求水流的落地點D到A的距離是多少？解：根據(jù)題意得-0.5x2+2x+2.5=0.解得x1=5，x2=-1(不合題意舍去).答：水流的落地點D到A的距離是5m.分析：根據(jù)圖象可知，水流的落地點D的縱坐標為0，橫坐標即為落地點D到A的距離.即y=0.ABOD求一元二次方程

的根的近似值（精確到0.1）.

分析：一元二次方程x2-2x-1=0的根就是拋物線y=x2-2x-1與x軸的交點的橫坐標，因此我們可以先畫出這條拋物線，然后從圖上找出它與x軸的交點的橫坐標，這種解一元二次方程的方法叫做圖象法.利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解知識點解：畫出函數(shù)y=x2-2x-1的圖象（如下圖），由圖象可知，方程有兩個實數(shù)根，一個在-1與0之間,另一個在2與3之間.求一元二次方程的根的近似值（精確到0.1）.

先求位于-1到0之間的根，由圖象可估計這個根是-0.4或-0.5，利用計算器進行探索，見下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當x分別取-0.4和-0.5時，對應的y由負變正，可見在-0.5與-0.4之間肯定有一個x使y=0，即有y=x2-2x-1的一個根，題目只要求精確到0.1，這時取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但當x=-0.4時更為接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值為x2≈2.4.隨堂練習1.不與x軸相交的拋物線是（）A.y=2x2–3B.y=－2x2+3C.y=－x2–3xD.y=－2(x+1)2

－32.若拋物線y=ax2+bx+c=0，當a>0，c<0時，圖象與x軸交點情況是（）.

A.無交點B.只有一個交點

C.有兩個交點D.不能確定DC3.如果關于x的一元二次方程x2－2x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=＿＿＿，此時拋物線y=x2－2x+m