第07講一元二次方程目錄TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u題型01識(shí)別一元二次方程題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值題型03一元二次方程的一般形式題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根題型07選用合適的方法解一元二次方程題型08錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問題題型09配方法的應(yīng)用題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍題型13應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問題題型15由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型16由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值題型17由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值題型18與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問題題型19構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值題型20根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用題型21分裂（傳播）問題題型22碰面（循環(huán)）問題題型23增長率問題題型24營銷問題題型25與圖形有有關(guān)的問題題型01識(shí)別一元二次方程1．（2023瀘縣一診）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5x?1C．x?3x+1=x2．（202.無為市一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2?2x+1xC．x2?1=0 題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值1．（2022上·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程m?3x2+x?m=0是一元二次方程，則mA．m≠3 B．m=3 C．m≥3 D．m≠02．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程x|a|?1?3x+2=0是一元二次方程，則a的值為3．（2022西咸新區(qū)五模）若方程(m?1)x2+題型03一元二次方程的一般形式1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3xA．3 B．?3 C．1 D．?12．（2022上·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程2y2?7=3yA．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，73．（2022上·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元二次方程x2?3x?2題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值1．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一個(gè)根為0．則a=．題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值1．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知a是方程2x2?3x?5=0的一個(gè)解，則?4A．10 B．－10 C．2 D．－402．（2022上·福建泉州·九年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．653．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x?2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根1．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+x?a=0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx?2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是3．（2022·北京順義·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程mx(1)求m的取值范圍；(2)若方程有一個(gè)根是0，求方程的另一個(gè)根．4．（2022·北京海淀·?？家荒＃╆P(guān)于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)若方程有一根為4，求方程的另一根．題型07選用合適的方法解一元二次方程1．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）計(jì)算：解方程：5x(2x?1)?2(2x?1)=0．57．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）請(qǐng)分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x22．（2023·江西吉安·?？寄M預(yù)測）解方程：(1)(2x+1)(2)3x3．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）提出問題為解方程x2?22?11x2?2+18=0，我們可以將x2?2視為一個(gè)整體，然后可設(shè)當(dāng)y1=2時(shí)，x2?2=2，當(dāng)y2=9時(shí)，x2?2=9，∴原方程的解為x1=2，x2=?2，以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題（1）運(yùn)用上述換元法解方程x4延伸拓展（2）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m+3nm+3n?2=2m+6n?4，求題型08錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問題1．（2023·河南信陽·?？既＃┬∶髟诮夥匠蘹2方法如下：xx2?2x?x+2=0x2?2x=x?2xx?2=x?2x=1

第④步老師看到后，夸小明很聰明，方法很好，但是有一步做錯(cuò)了，請(qǐng)問小明出錯(cuò)的步驟為（填序號(hào)）．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）以下是圓圓解方程的具體過程：x?32=2x?3的具體過程，方程兩邊同除以x?3，得x?3=23．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）小明在解方程x2解：∵a=1，b=?5∴b∴x=5±∴x(1)問：小明的解答是從第________步開始出錯(cuò)的；(2)請(qǐng)寫出本題正確的解答．題型09配方法的應(yīng)用1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知y2?2x+4=0，則x2A．8 B．?8 C．?9 2．（2021·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a(chǎn)<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A(a,b)在一次函數(shù)y=2x?1圖象上，則a2+b+3的最小值為4．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}，(1)嘗試：①當(dāng)x=?2，y=1時(shí)，∵x2+y2②當(dāng)x=1，y=2時(shí)，∵x2+y2=5，③當(dāng)x=2，y=2.5時(shí)，∵x2+y2=10.25④當(dāng)x=3，y=3時(shí)，∵x2+y2=18，2xy=18(2)歸納：x2+y(3)運(yùn)用：求代數(shù)式x2題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況1．（2023殷都區(qū)一模）一元二次方程x2?3x+1=0的根的情況（A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定2．（2023秦皇島開發(fā)區(qū)一模）不解方程，判別方程2x2﹣32x＝3的根的情況（）A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況1．（2022·河南商丘·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程2x2?mx?3=0A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定2（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若16m+2＜0，則關(guān)于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3．（2022·云南玉溪·統(tǒng)考一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程x2?mx?1A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍1．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（A．0 B．1 C．2 D．32．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2?A．k>?14 C．k>?14且k≠0 D．k<3．（2023武鳴區(qū)二模）關(guān)于x的一元二次方程(k+1)x2?2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則kA．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠?1 D．k≤0且k≠?1題型13應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況1．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求k的取值范圍．2．（2021上·北京·九年級(jí)北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于?4，求m的取值范圍．3．（2020·湖北孝感·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x14．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求m的值．5．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍．題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問題1．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：a◎b=ab?b2，例如1◎2=1×2?22=2?4=?2A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根3．（2022·河北·校聯(lián)考一模）新定義運(yùn)算：a※b=a2?ab+b，例如2※1=22A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根3．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a※b=ab2?b，若關(guān)于x的方程1題型15由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值1．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2則x1+x2﹣x1?x2的值為．2．（2021·江西·中考真題）已知x1，x2是一元二次方程x2?4x+3=03．（2023上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若a，b是方程x2+2x?4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則4.（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若方程x2?3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，則A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7題型16由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值1（2021·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）已知m，n是一元二次方程x2+x?2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2A．2019 B．2020 C．2021 D．20222．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知方程x2?2023x+1=0的兩根分別為m、n，則m2A．1 B．?1 C．2023 D．?20233.（2021上·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)m、n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n的值為．題型17由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程x2?2m+1x+mA．?2或0 B．2或0 C．2 D．02．（2019·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2?(k?1)x?k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，x1A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．23．（2021上·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的兩根分別是x1、x2，且x2x1+x1x2=x4．（2020·湖北鄂州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且題型18與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問題1．（2021·河南洛陽·統(tǒng)考三模）定義a★b=a2+ab?2+4，例如3★7=32A．?2 B．?3 C．?4 D．?52．（2022·四川宜賓·?？家荒＃?duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則nm+m3．（2022·湖南湘西·?？寄M預(yù)測）對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義運(yùn)算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?5x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則題型19構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值1．（2023·河南新鄉(xiāng)·河南師大附中?？既＃┤绻鹠，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2+m=4，n2+n=4，那么代數(shù)式A．19 B．18 C．16 D．152．（2021·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：已知實(shí)數(shù)a,b同時(shí)滿足a2+2a=b+2,?結(jié)合他們的對(duì)話，請(qǐng)解答下列問題：（1）當(dāng)a=b時(shí)，a的值是．（2）當(dāng)a≠b時(shí)，代數(shù)式ba+a3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答問題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2+3a?1=0，b2+3b?1=0，則可將a材料二：已知實(shí)數(shù)a，bab≠1滿足2a2?3a+1=0，b2?3b+2=0，將b2?3b+2=0兩邊同除以b2，得1?請(qǐng)根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0，b(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a2?5a+1=0，b2?5b+3=0題型20根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用1．（2022·北京大興·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1,x2，若2．（2012·四川南充·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2．（1）求m的取值范圍．（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.3．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若m>1，且該方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求m的值．題型21分裂（傳播）問題1．（2019·黑龍江伊春·統(tǒng)考中考真題）某?！把袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，則這種植物每個(gè)支干長出的小分支個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022上·福建福州·九年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┠撤N植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)小分支，則下列方程中正確的是（

）A．1+x2=43 B．1+x+x2=433．（2023·安徽六安·統(tǒng)考三模）春季是傳染病多發(fā)季節(jié)．2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非?？?，開始有4人被感染，經(jīng)過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數(shù)．題型22碰面（循環(huán)）問題1．（2020·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022·黑龍江雞西·雞西市第一中學(xué)校校考一模）畢業(yè)前夕，九年級(jí)（11）班的同學(xué)每人將一份禮物與其他每一位同學(xué)互贈(zèng)，作為珍貴的紀(jì)念，全班共增出1980件禮物，那么這個(gè)班級(jí)共有學(xué)生（

）A．40人 B．42人 C．44人 D．45人3．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）參加足球聯(lián)賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行兩場比賽，共要比賽72家，設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（

）A．12x(x+1)=72 B．12x(x?1)=72 C．題型23增長率問題1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬個(gè)，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬個(gè)，若設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x．則所列方程為(

)A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝502．（2020·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=4423．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數(shù)為10萬人，5月份接待游客人數(shù)增加到12.1萬人．(1)求這兩個(gè)月游客人數(shù)的月平均增長率；(2)若月平均增長率不變，預(yù)計(jì)6月份的游客人數(shù)是多少？題型24營銷問題1．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）某服裝銷售商用48000元購進(jìn)了一批時(shí)髦服裝，通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行銷售，由于行情較好，第二次又用100000元購進(jìn)了同種服裝，第二次購進(jìn)數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，每件的進(jìn)價(jià)多了10元．(1)該銷售商第一次購進(jìn)了這種服裝多少件，每件進(jìn)價(jià)多少元？(2)該銷售商賣出第一批服裝后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：若按每件300元銷售，每天平均能賣出80件，銷售價(jià)每降低10元，則多賣出20件．依此行情，賣第二批服裝時(shí)，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3600元，銷售價(jià)應(yīng)為多少？2．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）小王計(jì)劃經(jīng)營某種時(shí)尚產(chǎn)品的專賣店，已知該產(chǎn)品的進(jìn)貨價(jià)為70元/件，售價(jià)不能低于80元/件，專賣店每月有800元的固定成本開支，根據(jù)市場調(diào)研，產(chǎn)品的銷售量y（件）隨著產(chǎn)品的售價(jià)x（元/件）的變化而變化，銷售量y與售價(jià)x之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：售價(jià)x（元/件）80828486…銷售量y（件）500490480470…(1)求銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）的函數(shù)關(guān)系式；(2)小王預(yù)計(jì)每月盈利8200元，為盡可能讓利于顧客，則該產(chǎn)品的售價(jià)每件應(yīng)定為多少元？題型25與圖形有有關(guān)的問題1．（2022·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為48cm2，則該有蓋紙盒的高為（A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm2．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）2023亞洲花卉產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)于2023年5月10至12日，在中國進(jìn)出口交易會(huì)展館舉辦，為了迎接盛會(huì)的到來，組委會(huì)想利用一塊長方形空地建了一個(gè)小型的惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52m，寬為28m，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640m3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)家梅鼓成在其著作《增刪算法統(tǒng)宗》中，有詩如下：今有門廳一座，不知門廣高低，長竿橫進(jìn)使歸室，爭奈門狹四尺，隨即豎筆過去，亦長二尺無疑兩隅斜去恰方齊，請(qǐng)問三色各幾？意思是；今有一房門，不知寬與高，長竿橫起進(jìn)門入室，門的寬度比長竿小4尺；將長竿直立過門，門的高度比長竿小2尺．將長竿斜放穿過門的對(duì)角，恰好進(jìn)門，試問門的寬、高和長竿各是多少尺？1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則kA．k<13 B．k≤13 C．k<13且2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程mx2+2x+1=0有實(shí)數(shù)解，則mA．m≥?1 B．m≤1 C．m≥?1且m≠0 D．m≤1且m≠03．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若x1,x2是方程A．x1+x2=6 B．x14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（A．?9 B．?94 C．95．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）用配方法解一元二次方程x2?6x+8=0，配方后得到的方程是（A．x+62=28 B．x?62=28 C．6．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2?8x+m=0兩根為x1、x2，且A．4 B．8 C．12 D．167．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）一元二次方程x2?5x+2=0根的判別式的值是（A．33 B．23 C．17 D．178．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b2A．－2 B．2 C．－4 D．49．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了(a+b)n1

(a+b)1

1

(a+b)1

2

1

(a+b)1

3

3

1

(a+b)當(dāng)代數(shù)式x4?12x3+54A．2 B．?4 C．2或4 D．2或?410．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）若實(shí)數(shù)m，n是一元二次方程x2?2x?3=0的兩個(gè)根，且m<n，則點(diǎn)m,n所在象限為（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m

A．5m B．70m C．5m或7012．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）若m是方程x2?2x?1=0的根，則m13．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?2=0的一個(gè)根為?1，則m的值為，另一個(gè)根為14．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）若x=1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?6=0的一個(gè)根，則m的值為15．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）已知x1,x2是方程2x2+kx?2=016．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位1815個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．17．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．18．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若2a+ba+2b=20，求19．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d有[a,b]?[c,d]=ac?bd，其中等式右邊是通常的乘法和減法運(yùn)算，如：[3,2]?[5,1]=3×5?2×1=13．(1)求[?4,3]?[2,?6]的值；(2)已知關(guān)于x的方程[x,2x?1]?[mx+1,m]=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．20．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四組條件中選擇其中一組①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=?1；④b=2,c=2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．21．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為a?cm、b?cm、c?cm

1．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含n的式子填空：(1)第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)為；(2)第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為1×22，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為2×32，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為3×42，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為4×5【規(guī)律應(yīng)用】(3)結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+?+n等于第n個(gè)圖案中“”的個(gè)數(shù)的2倍．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以a,b,m,n為邊長作正方形，已知m>n且滿足am?bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，則圖1陰影部分的面積是；（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．3．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?1=0，當(dāng)(1)求黃金分割數(shù)；(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2+ma=1,b2?2mb=4(3)已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：p2+np?1=q,q

第07講一元二次方程目錄TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u題型01識(shí)別一元二次方程題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值題型03一元二次方程的一般形式題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根題型07選用合適的方法解一元二次方程題型08錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問題題型09配方法的應(yīng)用題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍題型13應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問題題型15由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值題型16由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值題型17由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值題型18與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問題題型19構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值題型20根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用題型21分裂（傳播）問題題型22碰面（循環(huán)）問題題型23增長率問題題型24營銷問題題型25與圖形有有關(guān)的問題題型01識(shí)別一元二次方程1．（2023瀘縣一診）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5x?1C．x?3x+1=x【答案】A【分析】利用一元二次方程的定義，即可找出結(jié)論．【詳解】解：A．方程2xB．方程x+1C．原方程整理得2x?2=0，該方程為一元一次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．3x?y=5是二元一次方程，選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（202.無為市一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2?2x+1xC．x2?1=0 【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解∶A、分母含未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、含2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D、含2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值1．（2022上·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程m?3x2+x?m=0是一元二次方程，則mA．m≠3 B．m=3 C．m≥3 D．m≠0【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，方程二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，求解即可．【詳解】解：由題意，得m-3≠0，∴m≠3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的概念，一般地，形如ax2+bx+c=0，a，b，c是常數(shù)，且a≠0的方程是一元二次方程．2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程x|a|?1?3x+2=0是一元二次方程，則a的值為【答案】±3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a?1=2，再求出a【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x|a|?1∴a?1=2解得：a=±3．故答案為：±3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，是一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①時(shí)整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．3．（2022西咸新區(qū)五模）若方程(m?1)x2+【答案】m≠1且m≥0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】∵方程(m?1)x∴m-1≠0且m≥0，∴m≠1且m≥0.故答案是：m≠1且m≥0.【點(diǎn)睛】考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．題型03一元二次方程的一般形式1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3xA．3 B．?3 C．1 D．?1【答案】B【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，再找出一次項(xiàng)系數(shù)即可．【詳解】解：2x2x所以一次項(xiàng)系數(shù)是?3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c2．（2022上·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程2y2?7=3yA．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步驟對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a【詳解】解：一元二次方程2y2?7=3y∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2,?3,?7，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式ax3．（2022上·廣西柳州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一元二次方程x2?3x?2【答案】x【分析】根據(jù)去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的步驟求解即可．【詳解】解：x2x2x2故答案為：x2【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0(a≠0)．其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值1．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一個(gè)根為0．則a=．【答案】-1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的意義，得到a2【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一個(gè)根為0∴∴a=?1故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值1．（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知a是方程2x2?3x?5=0的一個(gè)解，則?4A．10 B．－10 C．2 D．－40【答案】B【分析】將a代入方程得到2a【詳解】∵a是方程的一個(gè)解，∴有2a2?3a?5=0∴?4a故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，此類題的特點(diǎn)是利用方程的解的定義找到相等關(guān)系，再將其整體代入所求代數(shù)式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入計(jì)算，此方法耗時(shí)費(fèi)力不可?。?．（2022上·福建泉州·九年級(jí)期末）已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡求值．【詳解】∵a是一元二次方程x2∴a∴a∴a故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到關(guān)于a的等式，利用等式對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡并求出代數(shù)式的值．3．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x?2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2【答案】2020【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2+m=2021，則m2+2m+n=2021+m+n，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=-1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：∵m是一元二次方程x2+x-2021=0的實(shí)數(shù)根，∴m2+m-2021=0，∴m2+m=2021，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x-2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n=-1，∴m2+2m+n=2021-1=2020．故答案為：2020．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=c題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根1．（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+x?a=0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是【答案】-3【分析】由題意可把x=2代入一元二次方程進(jìn)行求解a的值，然后再進(jìn)行求解方程的另一個(gè)根．【詳解】解：由題意把x=2代入一元二次方程x222+2?a=0，解得：∴原方程為x2解方程得：x1∴方程的另一個(gè)根為-3；故答案為-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解及其解法，熟練掌握一元二次方程的解及其解法是解題的關(guān)鍵．2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx?2=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是【答案】x=?2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：設(shè)另外一個(gè)根為x，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：1?x=?2，即x=?2．故答案為：x=?2．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系．若x1，x2是一元二次方程3．（2022·北京順義·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程mx(1)求m的取值范圍；(2)若方程有一個(gè)根是0，求方程的另一個(gè)根．【答案】(1)m＞?(2)另一個(gè)根為3【分析】（1）由一元二次方程定義和根的判別式與根之間的關(guān)系，列不等式組求解即可．（2）將x=0代入原方程，求出m，再解方程即可．【詳解】（1）解：∵mx∴m≠0，∵一元二次方程mx∴Δ即：?(2m?1)2整理得：4m+1＞∴m＞綜上所述：m＞?1（2）∵方程有一個(gè)根是0，將x=0代入方程得：m?2=0，∴m=2，則原方程為：2x解得：x1∴方程的另一個(gè)根為32【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系：Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ＜4．（2022·北京海淀·?？家荒＃╆P(guān)于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)若方程有一根為4，求方程的另一根．【答案】(1)m≤1(2)-2【分析】（1）由方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）將x＝4代入原方程求出m值，再將m的值代入原方程，利用十字相乘法解一元二次方程，即可得出方程的另一個(gè)根．（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴其根的判別式Δ≥0，即(?2)解得：m≤1．（2）解：將x=4代入x2?2x+3m?2=0，得：解得：m=?2，∴該一元二次方程為x2即(x?4)(x+2)=0，∴x1∴方程的另一根為-2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解以及解一元二次方程．（1）掌握“當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式Δ=b2題型07選用合適的方法解一元二次方程1．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）計(jì)算：解方程：5x(2x?1)?2(2x?1)=0．【答案】x1=【分析】方程去括號(hào)，因式分解求解即可．【詳解】解：去括號(hào)，得：10x因式分解，得：(2x?1)(5x?2)=0，解得：x1=1【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，按照解方程的步驟求解即可．57．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）請(qǐng)分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x2【答案】x1=【分析】用配方法解方程，首先移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可使左邊變形成完全平方式，右邊是常數(shù)，直接開方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b及常數(shù)項(xiàng)c，計(jì)算出根的判別式，由根的判別式大于0，得到方程有解，將a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【詳解】解：配方法，移項(xiàng)得x2配方得：x2+2x+1=1+1開方得：x+1=±解得：x1=2公式法：∵a=1，∴b2∴x=?2±2∴x1=2【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程－公式法和配方法，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．2．（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測）解方程：(1)(2x+1)(2)3x【答案】(1)x(2)x【分析】（1）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【詳解】（1）解：∵(2x+1)∴2x+12∴2x+1+x?32x+1?x+3=0，即∴3x?2=0或x+4=0，解得x1（2）解：∵3x∴a=3，∴Δ=∴x=?b±解得x1【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）提出問題為解方程x2?22?11x2?2+18=0，我們可以將x2?2視為一個(gè)整體，然后可設(shè)當(dāng)y1=2時(shí)，x2?2=2，當(dāng)y2=9時(shí)，x2?2=9，∴原方程的解為x1=2，x2=?2，以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題（1）運(yùn)用上述換元法解方程x4延伸拓展（2）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m+3nm+3n?2=2m+6n?4，求【答案】（1）x1=?2，x【分析】（1）根據(jù)材料提示，利用換元法解方程即可求解；（2）按整式的乘法，先展開，再合并同類項(xiàng)，利用完全平方公式以及材料中換元法解方程即可求解．【詳解】解：解決問題：（1）設(shè)x2∴原方程變形為a2?3a?4=0，解得，a1當(dāng)a=?1時(shí)，x2當(dāng)a=4時(shí)，x2=4，解得，x1綜上所示，原方程的解為x1=?2，延伸拓展：（2）m+3n∴(m+3n)(m+3n?2)=m∴原式變形為m2∴(m+3n)2?4(m+3n)+4=0，設(shè)∴P2?4P+4=0，則(P?2)2=0，解得，∵4m+12n?3=4(m+3n)?3，∴4m+12n?3=4(m+3n)?3=4×2?3=5∴4m+12n?3=5．【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程的運(yùn)用，掌握整體思想，換元思想解方程，完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．題型08錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問題1．（2023·河南信陽·?？既＃┬∶髟诮夥匠蘹2方法如下：xx2?2x?x+2=0x2?2x=x?2xx?2=x?2x=1

第④步老師看到后，夸小明很聰明，方法很好，但是有一步做錯(cuò)了，請(qǐng)問小明出錯(cuò)的步驟為（填序號(hào)）．【答案】④【分析】由xx?2=x?2，x?1x?2=0，解得【詳解】解：xx?2x?1x?2解得x=1或x=2，∴第④步錯(cuò)誤，故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于正確的解一元二次方程．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）以下是圓圓解方程的具體過程：x?32=2x?3的具體過程，方程兩邊同除以x?3，得x?3=2【答案】錯(cuò)誤，見解析【分析】利用因式分解法解方程可判斷圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤；正確的解答過程為：移項(xiàng)得，xx?3利用因式分解法整理：x?3x?2解得：x?3=0或x?2=0，所以x1=3或【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）小明在解方程x2解：∵a=1，b=?5∴b∴x=5±∴x(1)問：小明的解答是從第________步開始出錯(cuò)的；(2)請(qǐng)寫出本題正確的解答．【答案】(1)一(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，移項(xiàng)需要改變移動(dòng)的項(xiàng)的符號(hào)可得出答案；（2）先移項(xiàng)，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：∵移項(xiàng)需要變號(hào)，∴c=3，故答案為：一；（2）解：x2∵a=1，b=?5∴b2∴x=?∴x1【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，等式的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型09配方法的應(yīng)用1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知y2?2x+4=0，則x2A．8 B．?8 C．?9 【答案】A【分析】由已知得y2=2x?4，注意x的取值范圍，代入【詳解】解：∵y2∴y2=2x?4，且2x?4≥0即∴x==x+2∵x+22≥0∴當(dāng)x=2時(shí)，x2+y故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握完全平方公式及確定x的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a(chǎn)<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根據(jù)已知等式求出b=a2?a+2,c=2【詳解】∵b+c=5?4a+3a∴b=a∴b?a=a=a=(a?1)∴a<b，又∵c?b=1?2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A(a,b)在一次函數(shù)y=2x?1圖象上，則a2+b+3的最小值為【答案】1【分析】將點(diǎn)A(a,b)代入一次函數(shù)解析式得出，b=2a?1，代入代數(shù)式，根據(jù)配方法即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A(a,b)在一次函數(shù)y=2x?1圖象上，∴b=2a?1∴a2+b+3==故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，配方法的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）設(shè)x，y都是實(shí)數(shù)，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}，(1)嘗試：①當(dāng)x=?2，y=1時(shí)，∵x2+y2②當(dāng)x=1，y=2時(shí)，∵x2+y2=5，③當(dāng)x=2，y=2.5時(shí)，∵x2+y2=10.25④當(dāng)x=3，y=3時(shí)，∵x2+y2=18，2xy=18(2)歸納：x2+y(3)運(yùn)用：求代數(shù)式x2【答案】(1)=(2)x2(3)代數(shù)式x2【分析】（1）求得x2+y2=18（2）結(jié)合完全平方的非負(fù)性即可解答；（3）利用歸納的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)x=3，y=3時(shí)，∵x2+y∴x故答案為：=；（2）解：x2∵x2∴x2（3）解：∵x2∴x2∴代數(shù)式x2【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用完全平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況1．（2023殷都區(qū)一模）一元二次方程x2?3x+1=0的根的情況（A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)判別式Δ=【詳解】解：由題意可知：a=1,b=?3,c=1，∴Δ=∴方程x2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式：當(dāng)Δ=b2?4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)2．（2023秦皇島開發(fā)區(qū)一模）不解方程，判別方程2x2﹣32x＝3的根的情況（）A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而確定根的情況即可.【詳解】解：∵2x2﹣32x＝3，∴2x2﹣32x﹣3＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式判斷根的情況，熟練地掌握該知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況1．（2022·河南商丘·統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程2x2?mx?3=0A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)根的判別式的判斷方程根的數(shù)量即可．【詳解】解：△=(?m)故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的數(shù)量，能夠熟練應(yīng)用根的判別式是解決本題的關(guān)鍵．2（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若16m+2＜0，則關(guān)于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】先計(jì)算出m的范圍，判斷出方程為二次方程，再計(jì)算判別式的范圍即可得出答案．【詳解】解：由已知16m+2＜0，解得m<?1判別式Δ=∵m<?1∴8m+1<0，∴關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次不等式的解法，二次方程根的判斷，熟悉公式準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·云南玉溪·統(tǒng)考一模）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程x2?mx?1A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號(hào)即可.【詳解】解：∵a=1，b=?m，c=?1∴Δ=b2?4ac=m2+2＞0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根，是解決問題的關(guān)鍵．題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍1．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得Δ=4?4m>0，解出m【詳解】解：根據(jù)題意，得Δ=4?4m>0解得m<1，∵0<1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的情況，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2?A．k>?14 C．k>?14且k≠0 D．k<【答案】C【分析】由一元二次方程定義得出二次項(xiàng)系數(shù)k≠0；由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>0”，解這兩個(gè)不等式即可得到k的取值范圍．【詳解】解：由題可得：k≠0?解得：k>?14且故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有一定的要求．3．（2023武鳴區(qū)二模）關(guān)于x的一元二次方程(k+1)x2?2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則kA．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠?1 D．k≤0且k≠?1【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程ax2進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)一元二次方程一元二次方程k+1x2解得：k≤0，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)k+1≠0,可得：k≠?1.故選D．【點(diǎn)睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0當(dāng)Δ=當(dāng)Δ=當(dāng)Δ=題型13應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況1．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于0，求k的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)k<1【分析】（1）先求出判別式，利用配方法Δ=（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，讓其一根小于0，求出范圍即可．【詳解】（1）解：Δ==k=k?2∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x=k±∴x=k±∴x∵方程有一根小于0，∴k?1<0，∴k<1．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問題，掌握根的判別式的用途，會(huì)用根的判別式解決方程根的情況，會(huì)利用求根公式解方程，會(huì)用條件利用不等式，會(huì)解不等式是關(guān)鍵．2．（2021上·北京·九年級(jí)北京市十一學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根小于?4，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)m<?3【分析】（1）計(jì)算方程根的判別式，判斷其符號(hào)即可；（2）求方程兩根，結(jié)合條件則可求得m的取值范圍．【詳解】（1）解：b∵(m?2)∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：原方程可化為：(x?1)(x?m+1)=0∴x?1=0或x?m+1=0解得：x1=1，由題意可得：m?1<?4解得：m<?3【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2020·湖北孝感·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1【答案】（1）見解析

（2）0，-2【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求證出答案；（2）可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得k與的x1、x【詳解】(1)證明：∵Δ=2k+12?4×∵無論k為何實(shí)數(shù)，2k+1∴Δ=2k+1∴無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x∵x1∴x1∴x1∴2k+12?4×1解得k=0，?2．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握概念和運(yùn)算技巧即可解題.4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)0或6【分析】（1）由x2?m?1x+m?2=0，可知a=1，b=?m?1（2）由x2?m?1x+m?2=0，可得x1+x2=?【詳解】（1）證明：x2a=1，b=?m?1，c=m?2∴△=b∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x2∴x1+x∵該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，∴x1∵x1∴m?12解得m=0或m=6，∴m的值為0或6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．5．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)m<1【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得Δ=（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=4，x2【詳解】（1）解∶∵Δ==∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：由求根公式，得x=∴x1=4，依題意可得m<1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程表示出方程的兩個(gè)根，熟練掌握當(dāng)Δ≥0題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問題1．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：a◎b=ab?b2，例如1◎2=1×2?22=2?4=?2A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】先根據(jù)定義得到關(guān)于x的一元二次方程，然后計(jì)算一元二次方程的判別式即可得解．【詳解】方程2◎x=5化為2x?x一元二次方程化為一般式為x2∵Δ∴方程沒有實(shí)數(shù)根．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的方程應(yīng)用，熟練掌握所給定義的應(yīng)用、一元二次方程根的判別式的計(jì)算及應(yīng)用是解題關(guān)鍵．3．（2022·河北·校聯(lián)考一模）新定義運(yùn)算：a※b=a2?ab+b，例如2※1=22A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】根據(jù)新定義，列出方程x2【詳解】解：根據(jù)題意得：x2整理得：x2∴Δ=∴方程x※2=5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，當(dāng)Δ=3．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a※b=ab2?b，若關(guān)于x的方程1【答案】k>?14【分析】根據(jù)新定義得到x2?x?k=0，再把方程化為一般式，然后根據(jù)根的判別式的意義得到【詳解】解：∵a※∴1※整理得x2∴Δ=解得k>?1故答案為：k>?1【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2題型15由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值1．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2則x1+x2﹣x1?x2的值為．【答案】2．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2，∴x1∴x1+x2﹣x1?x2=1-（-1）=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1,x2為一元二次方程2．（2021·江西·中考真題）已知x1，x2是一元二次方程x2?4x+3=0【答案】1【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵x1，x2是一元二次方程∴x1+x∴x1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0(3．（2023上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若a，b是方程x2+2x?4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則【答案】4【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=?2，ab=?4，再將a?2b?2計(jì)算得a?2【詳解】解：∵a，b是方程∴a+b=?2，ab=?4，∴a?2=ab?2a?2b+4=ab?2=?4?2×=?4+4+4=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1、x2是一元二次方程ax4.（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若方程x2?3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，則A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7【答案】D【分析】先根據(jù)分式的加減運(yùn)算、完全平方公式可得ba+a【詳解】解：ba＝b2=a+b∵方程x2?3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，∴a+b=3，∴a+b2故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式加法、完全平方公式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用完全平方公式和根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．題型16由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值1（2021·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考中考真題）已知m，n是一元二次方程x2+x?2021=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到m2+m=2021，則m2【詳解】解：∵m是一元二次方程x2∴m2∴m2∴m2∵m、n是一元二次方程x2∴m+n=?1，∴m2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知方程x2?2023x+1=0的兩根分別為m、n，則m2A．1 B．?1 C．2023 D．?2023【答案】B【分析】由題意得mn=1，m2【詳解】解：∵方程x2?2023x+1=0的兩根分別為m、∴mn=1，m2?2023m+1=0，∴m∴m====?1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=03.（2021上·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)m、n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+3m+n的值為．【答案】11【分析】由m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，推出m+n=-2，m2+2m=13，由此即可解決問題．【詳解】解：∵m、n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n=-2，m2+2m=13，則原式=m2+2m+m+n=m2+2m+（m+n）=13-2=11．故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=c題型17由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程x2?2m+1x+mA．?2或0 B．2或0 C．2 D．0【答案】C【分析】先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=2m+1，ab=m2+2【詳解】解：設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a和b，∴a+b=2m+1∵1a∴2m+1∴m1檢驗(yàn)：m1∵Δ≥0，∴m=0不成立，∴m=2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，涉及到了根與系數(shù)的關(guān)系和解分式方程，解題關(guān)鍵是要記得檢驗(yàn)．2．（2019·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2?(k?1)x?k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，x1A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【答案】D【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x1+x2＝由x1x1即x1所以，k?12化簡，得：k2解得：k＝±2，因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程x2所以，△＝k?12?4(?k+2)＝k＝－2不符合，所以，k＝2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．（2021上·貴州遵義·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的兩根分別是x1、x2，且x2x1+x1x2=x【答案】?52【分析】根據(jù)一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到Δ＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范圍即可，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程解答即可．【詳解】解：∵原方程有實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1∵x1，x2是方程的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：

x1+x2＝2，x1?x2＝2k﹣1又∵x2∴x∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（x1?x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：k1=5經(jīng)檢驗(yàn)，都符合原分式方程的根∵k≤1∴k=?5故答案為：?【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)根的判別式的意義求出k的取值范圍，此題難度不大．4．（2020·湖北鄂州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且【答案】（1）k≤3；（2）k=?3．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得出△＝?42（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進(jìn)行取舍．【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴△≥0，即?42解得：k≤3，故k的取值范圍為：k≤3．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+由3x1+代入x1＋x2和x1x2的值，可得：12解得：k1=?3，經(jīng)檢驗(yàn)，k=?3是原方程的根，故k=?3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根以及根與系數(shù)的關(guān)系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要驗(yàn)根．題型18與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問題1．（2021·河南洛陽·統(tǒng)考三模）定義a★b=a2+ab?2+4，例如3★7=32A．?2 B．?3 C．?4 D．?5【答案】C【分析】根據(jù)題中的新定義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵x★m=∴x∵方程x2+(m?2)x+4=0的一個(gè)根是?1×t=4解得，t=?4故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川宜賓·校考一模）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們定義新運(yùn)算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則nm+m【答案】?8.6【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算列出一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵a*b＝a2+2ab﹣b2，∴（x+2）*3＝x+2∴x+22+6即x∵m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，∴mn=7,m+n=?10∴nm+故答案為：?8.6【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南湘西·?？寄M預(yù)測）對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義運(yùn)算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?5x+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則【答案】20【分析】根據(jù)新定義表示出x1※x【詳解】解：∵x1,x2是關(guān)于∴x1∴x1※x故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型19構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值1．（2023·河南新鄉(xiāng)·河南師大附中校考三模）如果m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2+m=4，n2+n=4，那么代數(shù)式A．19 B．18 C．16 D．15【答案】A【分析】根據(jù)題意，m，n可以看作一元二次方程x2+x?4=0的兩根，則m+n=?1，【詳解】解：∵m2+m=4，∴m，n可以看作一元二次方程x2∴m+n=?1，mn=?4，∵n2∴3=12?3n?mn?3m=12?3=12?3×=19，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程解的定義以及一元二次方程兩根之和為?ba，兩根之積為2．（2021·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：已知實(shí)數(shù)a,b同時(shí)滿足a2+2a=b+2,?結(jié)合他們的對(duì)話，請(qǐng)解答下列問題：（1）當(dāng)a=b時(shí)，a的值是．（2）當(dāng)a≠b時(shí)，代數(shù)式ba+a【答案】?2或17【分析】（1）將a=b代入a2+2a=b+2解方程求出a，b的值，再代入（2）當(dāng)a≠b時(shí)，求出a+b+3=0，再把ba【詳解】解：已知a2+2a=b+2①b2+2b=a+2②①-②得，a2∴(a?b)(a+b+3)=0∴a?b=0或a+b+3=0①+②得，a（1）當(dāng)a=b時(shí)，將a=b代入a2a2解得，a1=1，∴b1=1，把a(bǔ)=b=1代入b把a(bǔ)=b=?2代入∴當(dāng)a=b時(shí)，a的值是1或-2故答案為：1或-2；（2）當(dāng)a≠b時(shí)，則a+b+3=0，即a+b∵a∴a∴(a+b)∴ab=1∴b故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代數(shù)式的值和分式的運(yùn)算等知識(shí)，熟練掌握運(yùn)算法則和乘法公式是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答問題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2+3a?1=0，b2+3b?1=0，則可將a材料二：已知實(shí)數(shù)a，bab≠1滿足2a2?3a+1=0，b2?3b+2=0，將b2?3b+2=0兩邊同除以b2，得1?請(qǐng)根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0，b(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a2?5a+1=0，b2?5b+3=0【答案】(1)20(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)材料二，采用換元法解一元二次方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0∴可將a，b看作方程x2∴a+b=7，ab=?2，∴2a+2b?3ab=2=2×7?3×=14+6=20；（2）解：在方程b2?5b+3=0的兩邊同時(shí)除以b2又∵實(shí)數(shù)a滿足3a2?5a+1=0∴可將a，1b看作方程3∴a+1b=∴3ab+3【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，換元法解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問題．題型20根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用1．（2022·北京大興·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的方程x2(1)求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1,x2，若【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可驗(yàn)證；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1【詳解】（1）證明：根據(jù)題意可知：Δ=∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：由題意得：x∴x1解得m=3【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、根與系數(shù)的關(guān)系．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．2．（2012·四川南充·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2．（1）求m的取值范圍．（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.【答案】（1）m≤134（2）m=-3.【分析】（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足△=b2﹣4ac≥0，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+x1x2+10=0，即可求得m的值．【詳解】（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2．∴⊿≥0．即32-4（m-1）≥0，解得,m≤134（2）由已知可得x1+x2=3x1x2=m-1又2（x1+x2）+x1x2+10=0∴2×（-3）+m-