計算機模擬方法(1)蒙特卡洛方法：隨機性模擬方法或統計試驗方法，又稱蒙特卡洛(MonteCarlo)方法。它是經過不停產生隨機數序列來模擬過程。自然界中有過程本身就是隨機過程，物理現象中如粒子衰變過程、粒子在介質中輸運過程...等。當然蒙特卡洛方法也能夠借助概率模型來處理不直接含有隨機性確實定性問題。(2)分子動力學方法：確定性模擬方法。它是經過數值求解一個個粒子運動方程來模擬整個系統行為。在統計物理中稱為分子動力學（MolecularDynamics）方法。(3)離散型模擬方法--元胞自動機等1第1頁WhatisaMonteCarlomethod?2-1蒙特卡羅方法基礎知識theComtedeBuffonneedleexperiment,AD1777SSSL2第2頁StanislawUlam

(1909-1984)NicholasMetropolis

(1915-1999)蒙特卡洛方法起源3第3頁TheNameoftheGameMetropoliscoinedthename“MonteCarlo”,fromitsgamblingcasino.Monte-Carlo,Monaco4第4頁從蒙特卡洛模擬應用來看，該類型應用能夠分為三種形式：（1）直接蒙特卡洛模擬。它采取隨機數序列來模擬復雜隨機過程效應。（2）蒙特卡洛積分。這是利用隨機數序列計算積分方法。積分維數越高，該方法積分效率就越高。（3）Metropolis蒙特卡洛模擬這種模擬是以所謂“馬爾科夫”（Markov）鏈形式產生系統分布序列。該方法能夠使我們能夠研究經典和量子多粒子系統問題。5第5頁一基本思想直接蒙特卡洛模擬法：

對求解問題本身就含有概率和統計性情況。如：中子在介質中傳輸，核衰變過程等，

思想是按照實際問題所遵照概率統計規律，用計算機進行直接抽樣試驗，然后計算其統計參數。該方法也就是通常所說“計算機試驗”。間接蒙特卡洛方法：

蒙特卡洛方法也能夠人為地結構出一個適當概率模型，依照該模型進行大量統計試驗，使它一些統計參量恰好是待求問題解。6第6頁

代表了該運動員成績。換言之，<g>為積分預計值，或近似值。現假設該運動員進行了N次射擊，每次射擊彈著點依次為r1，r2，…，rN，則N次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)算術平均值例1射擊問題（打靶游戲）--直接蒙特卡洛方法環數78910擊中次數10103050概率0.10.10.30.5假設射擊100次，平均成績7第7頁設r表示射擊運動員彈著點到靶心距離，g(r)表示擊中r處對應得分數（環數），f(r)為該運動員彈著點分布密度函數，它反應運動員射擊水平。該運動員射擊成績為

用概率語言來說，g(r)是隨機變量，<g>數學期望，即在該例中，用N次試驗所得成績算術平均值作為數學期望<g>預計值（積分近似值）。8第8頁(1)巴夫昂(Buffon)投針試驗試驗方案：在平滑桌面上劃一組相距為s平行線，向此桌面隨意地投擲長度l細針，那末從針與平行線相交概率就能夠得到π數值。SSSL例2圓周率數值計算--間接蒙特卡洛方法9第9頁數學統計理論計算：SAB針投影長度確定，相交概率平均值假如在N次投針中，有M次和平行線相交。當N充分大時，相交頻數M/N就近似為細針與平行線相交概率。10第10頁經過n次投針后得到π值精度針與平行線相交概率針與平行線相交次數應滿足二項式分布其期望值為方差標準誤差標準誤差相交和不相交11第11頁這意味著試驗所得值不確定性范圍以下：對100次投針為，0.2374對10,000次投針為，0.0237對1,000,000次投針為，0.0024可見，增加模擬次數能夠減小誤差，但不可消除誤差。標準誤差12第12頁試驗者年份投計次數π試驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929前人進行了試驗，其結果列于下表：13第13頁(2)投點法試驗試驗方案：在平滑桌面上劃正方形，同時劃一內切圓，向此正方形隨意地投點，那末投點落在圓內概率就能夠得到π數值。2L任意投點落在圓內概率14第14頁標準誤差標準誤差標準誤差標準誤差投針試驗誤差分析投點試驗誤差分析對100次投針為，0.1642對10,000次投針為，0.0164對1,000,000次投針為，0.001615第15頁投點法試驗程序流程圖產生隨機數YesYes16第16頁programmainusefreconstantuserandomnameimplicitnoneintegernmax,mintegeri,ncountreal*8lenr,lens,lenr2real*8x,y,dxy2open(10,file='Pi.dat')callrandomval()lenr=1.0d0lens=2.0d0*lenrlenr2=lenr*lenrm=0ncount=0write(*,*)"Inputnmax:"read(*,*)nmaxdoi=1,nmax

callrandomnum()x=lenr*(rand-0.5d0)*2.0d0

callrandomnum()y=lenr*(rand-0.5d0)*2.0d0dxy2=x*x+y*yif(dxy2.le.lenr2)thenm=m+1endif

ncount=ncount+1if(mod(ncount,100).eq.0)thenwrite(10,"(I10,F15.6)")ncount,4.0d0*dble(m)/dble(ncount)endifenddoend投點法試驗源程序17第17頁結果和分析(1)總計投點1.0×105次(2)該算法收斂，計算值平均值為3.139218第18頁例3定積分計算這時我們能夠隨機地向正方形內投點，最終統計落在曲線下點數M，當總擲點數N充分大時，M/N就近似等于積分值I。Oxy1119第19頁間接蒙特卡羅方法思想s當問題能夠抽象為某個確定數學問題時，(1)首先建立一個恰當概率模型，即確定某個隨機事件A或隨機變量X，使得待求解等于隨機事件出現概率或隨機變量數學期望值。(2)然后進行模擬試驗，即重復屢次地模擬隨機事件A或隨機變量X。(3)最終對隨機試驗結果進行統計平均，求出A出現頻數或X平均值作為問題近似解。該方法是按照實際問題所遵照概率統計規律，用計算機進行直接抽樣試驗，然后計算其統計參數。直接蒙特卡羅方法思想20第20頁“Buffon投針法”計算圓周率。作業21第21頁二隨機變量和隨機變量分布隨機變量：是一個不止是一個值變量（通常是連續），而且人們可能無法事先預言某一個特定值。不過：其分布是能夠了解，假設我們研究某一連續性變量，由隨機變量分布我能夠得到它取某值概率：稱為u概率分布密度函數，它表示隨機變量u’在u到u+du之間值概率。稱為g(u)分布函數。G(u)在區間取值單調遞增函數22第22頁三隨機變量獨立性假如我們考慮兩個隨機變量u’和v’分布，則必須引進這兩個變量聯合分布密度函數h(u,v)，此時帶來數學問題就更為復雜。若h(u,v)=p(u)·q(v)，則兩個隨機變量u’和v’彼此獨立。對以下三個變量(x,y)彼此獨立；(x,z)彼此獨立；(y,z)彼此獨立；(x,y,z)相互關聯。23第23頁四期望值、方差和協方差一個函數f(u’)數學期望值定義為該函數平均值稱為u分布函數。通常u是在[a,b]區間均勻分布隨機變量，有f數學期望值：類似地，自由變量u期望值為u平均值，有24第24頁一個函數或變量方差:標準誤差或均方根誤差：方差平方根。因為標準誤差與其真值有相同量綱，因而它比喻差更含有物理意義。假如x和y是隨機變量，c是一個常數，則：(1)數學期望是線性算符(2)方差是非線性算符x,y間協方差25第25頁協方差>0，正關聯協方差<0，負關聯注意：(1)協方差=0x,y為獨立變量(2)

x,y為獨立變量協方差=026第26頁五大數法則和中心極限定理概率論中大數法則和中心極限定理是蒙特卡洛方法基礎。1

大數法則反應了大量隨機數之和性質。假如函數在[a,b]區間，以均勻概率分布密度隨機地取n個數ui，對每個計算出函數值h[ui]。大數法則告訴我們這些函數值之和除以n所得值將收斂于函數h在區間[a,b]期望值，即大數法則確保了在抽取足夠多隨機樣本后，計算得到積分蒙特卡洛預計值將收斂于該積分正確結果。27第27頁2

中心極限定理中心極限定理告訴我們：在有足夠大，但又有限抽樣數n情況下，蒙特卡洛預計值是怎樣分布。該定理指出：不論隨機變量分布怎樣，它若干個獨立隨機變量抽樣值之和總是滿足正則分布(即高斯分布)。比如：有一個隨機變量η，它滿足分布密度函數f(x)。假如我們將n個滿足分布密度函數f(x)獨立隨機數相加：則Rn滿足高斯分布。高斯分布能夠由給定期望值μ和方差σ完全確定下來。28第28頁當n充分大時，對任意λ，由列維定理知：這說明，該積分期望值與蒙特卡羅預計值之差在范圍內概率為1-α。29第29頁積分期望值與蒙特卡羅預計值之差在范圍內概率為1-α。顯著水平：α

，置信水平：1-α

。減小蒙特卡羅預計值標準誤差方法：(1)適當選取最優隨機變量，使其方差