2025年大學統計學期末考試題庫——數據分析計算題解題思路實戰實戰考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、描述性統計計算題要求：運用描述性統計方法，對給定的數據進行計算，并解釋計算結果。1.設有某班50名學生的數學成績如下（單位：分）：60,72,78,82,85,88,90,92,95,97,100,60,63,65,68,70,73,75,77,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100。請計算以下指標：（1）平均分（2）中位數（3）眾數（4）極差（5）標準差2.某城市近五年的年降水量如下（單位：毫米）：500,520,550,580,600。請計算以下指標：（1）平均降水量（2）中位數（3）眾數（4）極差（5）標準差二、概率與統計推斷題要求：運用概率論和統計推斷方法，對給定的數據進行計算，并解釋計算結果。1.設袋中有5個紅球，3個藍球，從中隨機抽取2個球，求以下概率：（1）兩個球都是紅球的概率（2）兩個球都是藍球的概率（3）至少有一個藍球的概率2.某批產品的合格率為95%，從中抽取10個產品，求以下概率：（1）恰有8個產品合格的概率（2）至少有9個產品合格的概率（3）至多有8個產品合格的概率三、線性回歸分析題要求：運用線性回歸分析方法，對給定的數據進行計算，并解釋計算結果。1.某企業近三年的銷售收入和廣告費用如下（單位：萬元）：年份銷售收入廣告費用2019年10002002020年12002502021年1500300請建立銷售收入與廣告費用之間的線性回歸模型，并計算以下指標：（1）回歸方程（2）判定系數（3）標準誤差2.某城市近五年的GDP和居民消費水平如下（單位：億元）：年份GDP居民消費水平2016年300012002017年320013002018年350014002019年380015002020年40001600請建立GDP與居民消費水平之間的線性回歸模型，并計算以下指標：（1）回歸方程（2）判定系數（3）標準誤差四、假設檢驗題要求：運用假設檢驗方法，對給定的數據進行計算，并解釋檢驗結果。1.某工廠生產一種零件，其直徑標準差為0.02厘米。現從一批產品中隨機抽取10個零件，測得直徑的標準差為0.025厘米。假設零件直徑服從正態分布，顯著性水平為0.05，檢驗該批產品直徑的標準差是否發生了變化。2.某班級學生數學考試成績的平均分為70分，標準差為10分。現從該班級隨機抽取20名學生，計算得到其數學考試成績的平均分為68分，標準差為12分。假設學生數學考試成績服從正態分布，顯著性水平為0.01，檢驗該班級學生數學考試成績的平均分是否發生了變化。五、方差分析題要求：運用方差分析方法，對給定的數據進行計算，并解釋分析結果。1.某實驗研究三種不同肥料對農作物產量的影響，隨機選取30塊土地進行實驗，記錄每塊土地的產量（單位：公斤）如下：肥料A：200,210,220,230,240肥料B：180,190,200,210,220肥料C：160,170,180,190,200請進行方差分析，比較三種肥料對農作物產量的影響是否顯著。2.某研究人員研究不同光照強度對植物生長的影響，隨機選取30株植物進行實驗，記錄每株植物的生長高度（單位：厘米）如下：光照強度1：10,12,14,16,18,20,22,24,26,28光照強度2：8,10,12,14,16,18,20,22,24,26光照強度3：6,8,10,12,14,16,18,20,22,24請進行方差分析，比較不同光照強度對植物生長的影響是否顯著。六、時間序列分析題要求：運用時間序列分析方法，對給定的數據進行計算，并解釋分析結果。1.某城市近三年的月均降雨量如下（單位：毫米）：100,150,120,180,130,160,140,170,150,180。請對月均降雨量進行時間序列分析，預測下一個月的降雨量。2.某企業近五年的年銷售額如下（單位：萬元）：1000,1200,1500,1800,2000。請對年銷售額進行時間序列分析，預測下一年度的銷售額。本次試卷答案如下：一、描述性統計計算題1.（1）平均分：\(\bar{x}=\frac{60+72+78+82+85+88+90+92+95+97+100+60+63+65+68+70+73+75+77+80+82+84+86+88+90+92+94+96+98+100+60+62+64+66+68+70+72+74+76+78+80+82+84+86+88+90+92+94+96+98+100}{50}=82\)（2）中位數：將數據排序后，位于中間的數值為第25和第26個數值的平均值，即\(\frac{88+90}{2}=89\)（3）眾數：數據中出現次數最多的數值為90（4）極差：最大值100-最小值60=40（5）標準差：\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}}=\sqrt{\frac{(60-82)^2+(72-82)^2+\ldots+(100-82)^2}{50}}\approx9.78\)2.（1）平均降水量：\(\bar{x}=\frac{500+520+550+580+600}{5}=560\)（2）中位數：數據排序后，位于中間的數值為580（3）眾數：數據中沒有重復值，因此沒有眾數（4）極差：最大值600-最小值500=100（5）標準差：\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}}=\sqrt{\frac{(500-560)^2+(520-560)^2+\ldots+(600-560)^2}{5}}\approx40.82\)二、概率與統計推斷題1.（1）兩個球都是紅球的概率：\(\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{5}{14}\)（2）兩個球都是藍球的概率：\(\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{3}{28}\)（3）至少有一個藍球的概率：\(1-\frac{5}{8}\times\frac{4}{7}=\frac{19}{28}\)2.（1）恰有8個產品合格的概率：\(\binom{10}{8}\times0.95^8\times0.05^2=0.1615\)（2）至少有9個產品合格的概率：\(0.95^9\times0.05+\binom{10}{9}\times0.95^9\times0.05=0.3125\)（3）至多有8個產品合格的概率：\(1-0.95^9=0.6875\)三、線性回歸分析題1.（1）回歸方程：\(y=0.6x+100\)（2）判定系數：\(R^2=0.9\)（3）標準誤差：\(\sigma=\sqrt{\frac{0.1}{30}}\approx0.16\)2.（1）回歸方程：\(y=0.8x+1000\)（2）判定系數：\(R^2=0.9\)（3）標準誤差：\(\sigma=\sqrt{\frac{0.1}{30}}\approx0.16\)四、假設檢驗題1.（1）零假設：\(\sigma^2=0.02^2\)（2）備擇假設：\(\sigma^2\neq0.02^2\)（3）計算檢驗統計量：\(F=\frac{(n-1)s_1^2}{n-1}\div\frac{(n-1)s_2^2}{n-1}=\frac{9}{49}\div\frac{4}{49}=2.25\)（4）查表得到顯著性水平為0.05時的臨界值：\(F_{0.05,49}=2.706\)（5）比較檢驗統計量與臨界值：\(F<F_{0.05,49}\)，不拒絕零假設，即該批產品直徑的標準差沒有發生變化。2.（1）零假設：\(\mu=70\)（2）備擇假設：\(\mu\neq70\)（3）計算檢驗統計量：\(t=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{68-70}{12/\sqrt{20}}=-0.58\)（4）查表得到顯著性水平為0.01時的臨界值：\(t_{0.01,19}=2.861\)（5）比較檢驗統計量與臨界值：\(t<t_{0.01,19}\)，不拒絕零假設，即該班級學生數學考試成績的平均分沒有發生變化。五、方差分析題1.（1）計算每個處理組的均值：\(\bar{x}_A=210,\bar{x}_B=190,\bar{x}_C=180\)（2）計算總平方和：\(SS_{Total}=\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2=2000\)（3）計算處理組間平方和：\(SS_{Between}=\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2=400\)（4）計算誤差平方和：\(SS_{Error}=SS_{Total}-SS_{Between}=1600\)（5）計算F值：\(F=\frac{SS_{Between}}{SS_{Error}}=\frac{400}{1600}=0.25\)（6）查表得到顯著性水平為0.05時的F臨界值：\(F_{0.05,2,27}=3.35\)（7）比較F值與F臨界值：\(F<F_{0.05,2,27}\)，不拒絕零假設，即三種肥料對農作物產量的影響不顯著。2.（1）計算每個處理組的均值：\(\bar{x}_1=15,\bar{x}_2=16,\bar{x}_3=17\)（2）計算總平方和：\(SS_{Total}=\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2=300\)（3）計算處理組間平方和：\(SS_{Between}=\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2=60\)（4）計算誤差平方和：\(SS_{Error}=SS_{Total}-SS_{Between}=240\)（5）計算F值：\(F=\frac{SS_{Between}}{SS_{Error}}=\frac{60}{240}=0.25\)（6）查表得到顯著性水平為0.05時的F臨界值：\(F_{0.05,2,27}=3.35\)（7）比較F值與F臨界值：\(F<F_{0.05,2,27}\)，不拒絕零假設，即不同光照強度對植物生長的影響不顯著。六、時間序列分析題1.（1）計算自相關系數：\(r=\frac{\sum(x_t-\bar{x})(x_{t-1}-\bar{x})}{\sqrt{\sum(x_t-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(x_{t-1}-\bar{x})^2}}\approx0.5\)（2）建立自回歸模型：\(x_t=0.5x_{t-1}+\epsilon_t\)（3）預測下一個月的降雨量：\(x_{t+1}=0.5x_t+\epsilon_{t+1}=0.5\times180+\epsilon_{t+1}