4間接平差

4.1間接平差原理

1)間接平差的定義

在一個平差問題中，當所選的獨立參數(shù)文的個數(shù)等于必要觀

測數(shù)方時，可將每個觀測值表達成這2個參數(shù)的函數(shù)，組成觀測

方程，這種以觀測方程為函數(shù)模型的平差方法，就是間接平差。

2)間接平差的函數(shù)模型

/X八

L-F(X)

72X1

八八

或L=BX+d

-5^nxlnxt/xlnxl

/IX1nxtrxl/2X1

3）間接平差的隨機模型

。=而。=垢片

nxnnxnnxn

4）間接平差的平差準則

VTPV=min

4.1.1間接平差原理

設平差問題中有〃個觀測值。已知其協(xié)因數(shù)陣。=P，必要

觀測數(shù)為t,選定t個獨立參數(shù)X,其近似值為X°,有父=X。+3

觀測值￡與改正數(shù)-之和建L+V,稱為觀測量的平差值。可列出

Z7個平差值方程為

L=BX+d

其純量形式可表示為

AAA

JLi+匕-ctjXi+bjX2+,??iXt+4(,=L2,3,???,Z7)

令

L=[A匕=僅匕…匕丫

nxinxl

人I?

<=X]'d=“2]

rxiLHXl

ax年…(一

b?…t?

B=

nxt

bn…nt

則平差值方程的矩陣形式為

L+V=BX+d

顧及戈=x0+"并令

l=L-（BX、d）

式中x°為參數(shù)文的充分近似值，可得誤差方程式為

V=Bx-l

按最小二乘原理，根據(jù)數(shù)學上求函數(shù)自由極值的方法，得

dVTPVTdVT

=2VTP—=VTPB=O

dxdx

轉(zhuǎn)置后得

BTPV=O

有唯獨解，此兩式聯(lián)合稱為間接平差的基礎方程。

解此基礎方程，代入得

BTPBx-BTPl=O

令

TT

Nhh=BPB,W=BPI

txt.

上式可簡寫成

Nhhx-W=O

式中系數(shù)陣N仍為滿秩矩陣，即H(N")=Z,￡有唯獨解，上式稱

為間接平差的法方程。解得

會=聞卬

或

x=(BTPBYxBTPl

將求出的3代入誤差方程求得改正數(shù)V,從而平差結(jié)果為

L=L+V,X=X0+x

特別地，當P為對角陣時，即觀測值之間相互獨立，則法方

程的純量形式為

[paa\x]+[pab\x2H-------\-[pat\xt=[pal]

[pab\x+[pbb\x\-[pbf\x-[pbl\

<}2H-------t

[pat\x]+[pbt]x2H-------\-[ptt]xt-[ptl]

4J.2運算步噱

1.根據(jù)平差問題的性質(zhì)，挑選/個獨立量作為參數(shù)；

2.將每一個觀測量的平差值分別表達成所選參數(shù)的函數(shù)，若

函數(shù)非線性要將其線性化，列出誤差方程；

3.由誤差方程系數(shù)8和自由項/組成法方程，法方程個數(shù)等

于參數(shù)的個數(shù)t;

4.解算法方程，求出參數(shù)、，運算參數(shù)的平差值竟=乂。+￡；

5.由誤差方程運算匕求出觀測量平差值￡=L+V；

6.評定精度。

例［4?1］在圖4-1所示的水準今

網(wǎng)中，A、B、C為已知水準點，卓

高差觀測值及路線長度如下：后

+1.003m,%-+0.501m,為=

+0.503m,h4-+0.505m；s,=lkm,B

s2=2km,S3=2km,s4=lkmo已

知“A=11.000m,HB=11.500m,HC

=12.008m,試用間接平差法求［及鳥點的高程平差值。

解：

1.廿2,選取4、g兩點高程平差值為參數(shù)X、*2,取未知

參數(shù)的近似值為

X：="A+4=12.003(111)、

xH=12.511(m),令2km觀測高差為單位權(quán)觀測值，依據(jù)定

權(quán)公式有：＜=2,8=1,6=1,舄=2。

2.根據(jù)圖形列平差值方程式，得到誤差方程式

高差誤差方程：

—X：+%)

V2——%1+.—(〃2-X；+X；)

v3=x2-(h3-X^+Hc)

匕=&_("4-X：+Hs)

代入具體數(shù)值，并將改正數(shù)以毫米為單位，則有

%=X-0

——

v?—Xj+%2-(7)

v3=x2-0

v4=x1-2

可得矩陣如下

0

102000

—110100-7

B=

P=0

01900109

1000022

3.組成法方程BTPBX-FP/=0得

5-111

0

-12-7

解得；卜］；（1nm）

4.運算參數(shù)的平差值父=乂。+￡

人

XIX：+E12.0047

人

X?X：民12.5083(m)

5,由誤差方程運算v,求出觀測量平差值"=，+『；

%%匕1.0047

/X

hhV20.5037

2—2+—

〃3用3匕0.5003(m)

z\

hh4匕0.5047

4.2誤差方程

在間接平差中，待定參數(shù)的個數(shù)必須等于必要觀測的個數(shù)匚

而且要求這,個參數(shù)必須是獨立的。

參數(shù)的選取：在水準網(wǎng)中，常選取待定點高程作為參數(shù)；在

平面控制網(wǎng)、GPS網(wǎng)中一樣選取未知點的二維坐標或三維坐標作

為未知參數(shù)。

4.2.1測角網(wǎng)函數(shù)模型

1）坐標方位角（運算）誤差方程

在圖4-2中，j、A是兩個待

定點，它們的近似坐標為

根據(jù)這些近似坐標圖4-2

可以運算人A兩點間的近似坐標方位角4和近似邊長S°jko設這

兩點的近似坐標改正數(shù)為可，可，久，義，則有

文廣X；+K，Yj=Yj+yj

及左=x：+您,￡=匕°+%

坐標方位角的改正數(shù)為

與=吸+3%

根據(jù)圖4-2可以寫出

&°+義）-化°+引

=arctan（x：+動-（x；+&）

將上式右端按泰勒公式展開，得

等式中右邊第一項就是近似坐標方位角小故

式中

'啊力_（X；-X；）2_Y^-Yf_△弓

YY-

\不J/Q"1I（Kk~Ji、2"'KJ7'KJz⑸'JK3'

xf-xj

同理可得

將上列結(jié)果代入，并顧及全式的單位得

p\Y；k￡PWk.p,Wk.

（S獷匕（瞟）2Xk（黑）2八

或?qū)懗?/p>

""0"0"-0"0

”psinajk人pcos。"人psinajk人pcos。％人

必必二一3—Xj-----------3—匕-----3—Xk+一3一%

J"DjkDjk4jk

以上兩式就是坐標改正數(shù)與坐標方位角改正數(shù)間的一樣關系式，

稱為坐標方位角改正數(shù)方程，它是解算測角網(wǎng)、測方向網(wǎng)的基礎

方程。

討論：

1.若某邊的兩端均為待定點，可與無前的系數(shù)絕對值相等；

可與父前的系數(shù)絕對值也相等。

2.若測站點j為已知點，則與=力=。，得

―“一P'".PM￡

Jk

（《尸人”）2"

若照準點A為已知點，則無=%=。，得

P'E、3°jk.

oajk=十-7—rx.-------7r-ryj

J")2」⑻Q2」

3.若某邊的兩個端點均為已知點，則為=向=%=%二°,

得,而必二。。

4.同一邊的正反坐標方位角的改正數(shù)相等，因為

3-3八P△垮一P"

陶一⑸廳"(S')?"(S'/為⑸)"

顧及△益=一△埼，AX%得

!ff!

Sajk=Sakj

2）角度誤差方程「力

對于角度觀測值乙（圖4?3）來說，:

其觀測方程為：4+匕=應升—為,工

將6=a°+取代入，并令圖*

4二L—（a：%-a；h）=L一1

可得

匕=3ajk-3a濁一4

代入即得線性化后的誤差方程。例如，八仄4點都是未知點時

p'Z…△琮人八

匕~^~rxi-------^ry,-------~^~rxk+——

（S'）?J（S'，］⑸了⑸了

J"△琮"2〃一△琮-p”AX；一

1⑻）2X，（瞟）2X（摩）2A（SQ2為

合并同類項最后可得

AX%AX%

AYI/V

rKI!

匕二P"J

BQ?⑹了⑸J,（S獷

,AY：八AX[、AY；、AX"、

~p'—o~r^k+P'—2yk+P"-~P'—5~~yh一，?

（S；kf（^）⑸）2⑸h￥h

上式即為線性化后的觀測角度的誤差方程式。

討論：如果是測角網(wǎng)，角度權(quán)陣為單位陣，按照角度誤差方程解

算是嚴密平差；如果是測方向網(wǎng)，按照方向誤差方程和方向權(quán)陣

為單位陣解算是嚴密平差，同樣按照角度誤差方程和角度權(quán)陣為

非對角陣解算也是嚴密的，而按照角度誤差方程和角度權(quán)陣為單

位陣解算非嚴密的。

綜上所述，對于角度觀測的三角網(wǎng)，采用間接平差，挑選待

定點的坐標為參數(shù)時，列誤差方程的步驟為：

1.運算各待定點的近似坐標；x°,y°

2.由待定點的近似坐標和已知點的坐標運算各待定邊的近

似坐標方位角和近似邊長5°;

3.列出各待定邊的坐標方位角改正數(shù)方程，并運算其系數(shù)；

4.列出誤差方程。

"2.2測邊網(wǎng)函數(shù)模型

在圖4-4中,測得待定點間的邊長4,

設待定點的坐標平差值匕、匕、總和匕為

參數(shù)，令

文j=X：+0匕=畔+2

文k=xfk，匕="十%

由圖4-4可寫出L的平差值方程為

人人人C人八C

L,—Lj+匕—{Xk-X^+(Yk-Y^

按泰勒公式展開，得

nAX"AK"

4+匕=S：k?-可）+《皆況一”

式中

酸，=X：-X：,AYH，S1=J（X；—X；））2+&°—￥）2

再令

，尸A-s'

則可得測邊的誤差方程為

匕=__^o-xj__X；+~75-%攵+-^-,上—/,?

、jk、jknjkJ、

討論:

1.邊長誤差方程中，為與其的系數(shù)的絕對值相等，為與九的

系數(shù)的絕對值也相等。常數(shù)項等于該邊的觀測值減其近似值。

2.若，為已知點，貝!）存=力=。,得

、jk、jk

若左為已知點，則您=%=。，得

_AXkMl

匕=__^-xj__yj-li

Jjkjk

若人女均為已知點，則該邊為固定邊（不觀測），故對該邊不需

要列誤差方程。

3.某邊的誤差方程，按j到左方向列立或按上到了方向列立

的結(jié)果相同%=匕。

4.2.3數(shù)字高程模型、GPS水準的高程非常擬合模型

常采用多項式擬合模型。已知打個點的數(shù)據(jù)為

（戶1,2,…，血，其中,是點2.的高程（數(shù)字高程模型）或高程非

常（GPS水準擬合模型），（心方）為點i的坐標，視為無誤差，

并認為Z是坐標的函數(shù)多擬合函數(shù)可取為

八八八八r</\入）

Z=b0+bxx+b2y+b3x+b4xy+b5y

八八八人人八八

式中Z產(chǎn)Zj+均，未知參數(shù)為為也也也，“力5。（益川為常

數(shù)，則其誤差方程為

八八八/\八2八

喔=%+X力1+丁飽+X而3+/4+y也-Zj

也可取一次項或更高項。

4.2.4坐標轉(zhuǎn)換模型

1）公式的推導

坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型為:

-Ksin67V“

'七、丁)(Kxcost?2

{yQJ(K|Sin〃K2cosajyr/j?

式中：X,、y一新坐標系的坐標；

%、兒—舊坐標系原點在新坐標系中的坐標;

G房一舊坐標系的坐標；

小勺一分別為縱向和橫向尺長比因子；

a一旋轉(zhuǎn)因子。

(xAo\r篇、

人

《°y0

人

=K「+k,

令人

K；k2

、a)a°(6)

代入并線性化，得到改正數(shù)方程:

z\

V=+￡cos”。A-7/sina)k-(K「sina。？,+K?0cosa()r/

Xj;2jp"Xl

式中：，Xi=Xj—(X°°+K]°cosa°，j—K2°sina°q)

同理有：

0?()±-l.

%-九十￡sin%+T]costz()^+(K1°cos〃Z,?-Ksm〃%

i22pnYl

式中：lY.=工—(靖+K「sina°&+/°cos〃°〃，)

由改正數(shù)組成矩陣方程:

0?0°0

一K]sina加一K?cosa八

1廠cosa0-7,si,na0%

p"人4、

ki

jy00/。?0

AJH/

ex?Q0K}cosa—K?sinar/i

sina+rjjcosak

p"2

設兩坐標系統(tǒng)中有n個公共點（八y）和（G7）,令:

一K]。s?ma0[廠一K?。cosa0小

10■尸cosa0-r/isi?nao

p"

KTjr]0cosa0。/-K0SHIQ0〃[

01<尸[si?na0+7cosa02

p"

TJr00/TZ,。0

下0?0-K}smaQ2-K2cosar/2

10Q2cosa-%sina

pn

K-r^0cosa0久尸一K?。si,na0r/

B=01?sina+%cosaQ12

pn

-K]0sina04-K?0cosa0

10cosa°一%sina°n

p"

irr00片0?0

0K]cosa-K2sma%

01￡sina°+r/ncos6z

p"

V=Bx-l

4.3精度評定

4.3.1單位權(quán)中澳差

TT

-2VPVVPV

單位權(quán)方差%=一廠=了7

中誤差為優(yōu)

V3的運算除了將v代入直接運算外，還可以按下式運算

VTPV=lTPl-(BTPl)Tx=lTPl-WTx

4.3.2協(xié)因數(shù)陣

在間接平差中，基本向量為L,x,V和￡。已知a=Q,根

據(jù)前面的定義和有關說明知，L=—BX“+d)，故

=

Qxx2xr，Qu~QLLO

設Z=。XV訂，貝上的協(xié)因數(shù)陣為

QLLQLXQLVQLL

QLLQLXQLV°fl

現(xiàn)分別推求如下。

L=EL

x=N^BTPl

V^Bx-l

L=L+V

按協(xié)因數(shù)傳播定律容易得出

M

N

^

nO

§o+

H0M

￥+可

00&^

y十M

—1N

Aa.8H

n￥^\^

著

-o登+

/n—

哀；

a將.

aM^o

doa8

1——

—6

0&J與L

ya

,■RM+

ogO

a0

HunH

0A

及JA6X

0OO

QLV=QLV+Qw=。=Qyl

QLQ+QLV-=BNW

表4-3間接平差協(xié)因數(shù)陣

LVL

LQBN1BN：F-QBN；*

XN押-C0

VBMH-Q0Q-BN-',BT0

LBN；HBN10BN]B]

~由表4-3可知，平差值文、￡與改正數(shù)v的互協(xié)因數(shù)陣為零，說

明￡與匕文與V統(tǒng)計不相關，這是一個很重要的結(jié)果。

。3.3參數(shù)函數(shù)的中誤差|

在間接平差中，解算法方程后第一求得的是，個參數(shù)。網(wǎng)中任何

一個量的平差值都可以表達為所選參數(shù)的函數(shù)。

設參數(shù)的函數(shù)為

0SX],X2，???,XJ

顧及X=X：+X.(，=1,2,…")代入上式后，全微分得

。①八

dcp—X]+苗+…+

a

1九2人“0

9①

令力=人一,由此，上式可以寫成

axi/0

期=力再+力九2+???+力巧

稱為參數(shù)函數(shù)的權(quán)函數(shù)式，簡稱權(quán)函數(shù)式。

令/=[//…力]，則

Sep=FTX

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律，函數(shù)。的協(xié)因數(shù)為

Q^=FTQ^F=FTN^F

函數(shù)。的中誤差為

例［4?3］在圖4?6中，A、B為已知水準點，高程為“八%,設

為無誤差，各觀測的路線長度分別為

5,=4km,S2=2km,

S3=2km,S4=4km,

試求平差后B和Pi點高程的權(quán)。

解：平差的參數(shù)選取B和尸2點高程平差

值，設為X和元，按圖組成誤差方程為

4

匕=21P,=—=\

114

V2-_21+義-‘2A=工2

2

匕=8+芯_4P=-=2

32

4

一—‘4

定權(quán)時令。=4,即以4km觀測高差為單位權(quán)觀測值，因觀測值

相互獨立，故匕=1/。〃，相關協(xié)因數(shù)=℃=/),由此得法方

程為

5岳—4芯—叱=0

—銘+5元—％=0

因為。設=為\故有

_r5-4T1_ro.560.44"

。效一-45-0.440.56

平差后尸1、尸2點高程的協(xié)因數(shù)分別為

。=0.56Q=0.56

△9A.2A,2

平差后尸1、P1點高程的權(quán)分別為一

p=P-=-----

占X2056

例【4?4］對固定角內(nèi)插點的平差問題（圖

4-7）,平差時選待定點坐標平差值為參數(shù)

圖4-7

八八八人

XD、YD,設平差后求得參數(shù)及觀測量的平差值為X、L,法方

<114.84—25.53、

程系數(shù)陣為“L[_25.5386.57），平差后單位權(quán)中誤差為

優(yōu)=±1.7;求平差后D點坐標、而邊的坐標方位角和邊長的協(xié)因

數(shù)及其中誤差。

解：

1.列出兩邊坐標方位角&D4的權(quán)函數(shù)式。

八

==arct+anYA-YD

大A%D

全微分得權(quán)函數(shù)式為

二夕〃"，心—

"（SQ2.10D（1）2.10）"

式中陽"的單位為秒，方、治的單位為分米。將具體數(shù)據(jù)代入，

有

3aDA=T.2與+1.04夕。

順便指出，上式實際上就是ZM邊坐標方位角的改正數(shù)方程。由

此可知，列誤差方程時所用的坐標方位角改正數(shù)方程，可以直接

用來作為坐標方位角的權(quán)函數(shù)式。

2.列出邊長的權(quán)函數(shù)式。

§DA=J(X「t02+(%—4)2

對函數(shù)進行全微分，得

D

以一^ED)A?Ii。n^DcoA.I。

式中范〃的單位為m,乙、如的單位為分米。將具體數(shù)據(jù)代入上

式，有

應A=0.02x^4-0.10^

順便指出，上式實際上與DA邊邊長的改正數(shù)方程相似。由此可

知，列誤差方程時所用的邊長數(shù)方程，可以間接用來作為邊長的

權(quán)函數(shù)式。

3.運算函數(shù)的協(xié)因數(shù)

綜合以上兩個權(quán)函數(shù)式，寫成矩陣形式為

-4.221.04

0.020.10

按協(xié)因數(shù)傳播定律得

-4.221.04Q文D文D。即第-4.220.02

0.020.10。//QYDYD1.040.10

平差后參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為

Q文D文D。戈D%’0.00930.0027^

Qxx=

°文D”0%%,0.00270.012%

于是

0.1552-0.0006Qaa。於

-0.00060.0001Q求Qss

運算文。、和的中誤差

4.9&D4

八八

公”1.7疝所足±0.16（加）

AD0。

,=±1.7)0.0124=±0.19(dm)

6/=6。反=±1.7,0.1552=±0.67"

6「國=±1.7V0^00i=±0.02（逗）

|4.5間接平差特例——直接平差|

對同一個待定量進行多次獨立觀測，求該量的平差值并評定精

度的平差，稱為直接平差。實際上它是間接平差中只有一個參數(shù)

的特別情形。

4.5.1平差原理

設對某待定量又進行〃次不同精度的觀測，觀測值為￡,權(quán)陣

為，且它為對角陣，對角線元素分別為Pl，P2,…,P〃，按間接平

差選該量的平差值為參數(shù)文，可以列出誤差方程為

匕=戈—4（，=12”）

組成法方程

nn

Z=1Z=1

解得

建

ZP也

X----------

n

由此可見，直接平差的結(jié)果就是藐測值的加權(quán)平均值。

為方便運算，通常取參數(shù)的近似值X。，有父=X°+"則誤

差方程為

匕。=1,2…〃)

式中

I.=L-XQ

￡,

組成法方程

nn

ZP/-ZP，4=。

z=li=l

fpJi

x=-----

解得￡pi

i=l

于是有

茨4

戈=X°+S=x°+^——

n

御

特別地，當各觀測值等精度時，取權(quán)全￡1,則

n

以

X—

n

n

x=x0+x=X0

n

4.5.2精度評定

單位權(quán)中誤差

\yTPV

Vn-\

參數(shù)的協(xié)因數(shù)

Qxx=Nbb=~

SA

i=\

參數(shù)的權(quán)

PLEPI

i=l

由此可見，加權(quán)平均值的權(quán)為各觀測值權(quán)之和。

參數(shù)的中誤差為

y=3。也￡=±3。金—

特別地，當各觀測值等精度時，精度評定公式為

仇=土坪

4.6間接平差算例

［例4-5］題目同［例4-1］,按間接平差法，L求片及2點的高程平

差值。2,求平差后待定點耳及巴高程的中誤差。

解：

1.見［例4-1］,略。

2.由［例4-1］知，觀測值的改正數(shù)和權(quán)陣分別為

-匕--1.7-■2000

%2.70100

V-—(mm)P=

匕-2.70010

_V4_-0.30002

單位權(quán)中誤差為

T

ao=±J-V----P--V=±20.00

士32(mm)

Vn-tI4-2

參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為

一「5-1T1_~2r

Qxx=Nbb=1

2_15

平差后待定點4及鳥高程的中誤差為

±1.51(mm)

±2.39(mm)

蒯盒I畫圖隨邪后

［例4-6］如圖4?8所示，網(wǎng)中Pi、尸2是待c

定點，同精度觀測了18個角度,起算數(shù)據(jù)

和觀測值見表4-4及表4?5,試按間接平8多*

差求平差后P1、尸2點的坐標及尸1、尸2點

坐標的中誤差。

A

表4-4起算數(shù)據(jù)圖48

點名縱坐標X橫坐標y邊長（m）坐標方位角

~~A9684.28"""43836.82

B10649.5531996.5011879.602743938.4

c19063.6637818.8610232.16344056.3

D17814.6349923.1912168.60955329.1

A10156.112164906.5

表4-5觀測數(shù)據(jù)

角度編觀測值角度編觀測值角度觀測值

Oo/〃

號°‘〃號，〃編號

11261424.17220243.013463856.4

2233946.981300314.214663454.7

3300546.79275359.315664608.2

41172246.210655500.816295835.5

5312650.011670249.4171200831.1

6311022.612470211.418295255.4

解:

1.按余切公式算得待求點的近似坐標

o

X113188.61

匕°37334.97

x°

X，15578.61(m)

W」44391.03

根據(jù)已知點的坐標和待定點的近似坐標反算各邊的近似坐標方位

a,01181924.7

a,02443348.6

PXB

a,044230.4

P{C

0

a6瑪711716.6

ao1852217.0

角嫉。P2A

a02975609.0

P2C

a0675931.7

P2D

2.運算與待定點Pi和P2相連各邊的坐標方位角改正數(shù)方程的系

數(shù)

Ba2.461.3200

5a月§-3.151.5000

5a6c0.29-3.4900

—2.62-0.89-2.620.89

3ap2A00-0.333.47

6ap2c00-2.45-1.30

3apiD003.20-1.30

3.運算誤差方程系數(shù)和常數(shù)項

匕

-5.610.18000.2

匕

2.461.32000.6

匕

3.15-1.5000-3.1

匕

00-3.534.770.9

匕

000.33-3.470.5

匕

003.20-1.30-2.6

匕

400-2.45-1.303.1

005.650-8.5

%A

V=00-3.201.30/1.9

%A

2.62-0.89-2.29-2.58x21.2

九

-2.46-1.32-0.333.47A-2.9

九卜2」

%-0.162.212.62-0.893.3

%-2.620.890.17-2.194.0

%2.332.60-2.600.898.5

2.45-13.2

V0.29-3.491.30

-0.293.49009.6

16f%

3.44-4.9900-10.7

加-3.151.50003.1

4.組成并解算法方程

/X

94.61-22.11-11.45-6.96石-43.52

八

-22.1170.51-6.95-8.42y178.81

人

-11.45-6.9596.09-20.21工2-120.11

人

-6.96-8.42-20.2166.63%-30.07

由土=N-W可得

'=[&Ji芯=[—0.10302.3208-1.2069—0.534年

觀測值改正數(shù)

V=[0.82.2-0.70.81.0-0.60.51.71.3

0.6-1.4-0.8-0.7-0.01.4-1.5-1.20.7]r

5.坐標平差值運算

X1=X；+￡1=13188.61(m)

￡+a=37334.99(m)

X2=X；+%=15578.60(m

Y2Y+%=44391.03(m：

觀測值的平差值運算略。

6.精度運算

單位權(quán)中誤差，即測角中誤差為

、尸J22.28,....

土扃=±13

由附中取得參數(shù)的權(quán)倒數(shù)，待定點坐標中誤差按下式運算(單

位：dm)

%=6。匹

面.&=±1.3A/0.0161=±0.16&=±0.21

7x\=±1.30121=±0.14V]Pi

&r=±1.3j03117=±0.143.=±1.3A/0.0169=±0.17,(JP=±0.22

［例4-7］有測邊網(wǎng)如圖4-9所示。網(wǎng)中A、B、C、。為已知點，

斗鳥、鳥、P’為待定點，現(xiàn)用某測距儀觀測了13條邊長，測距精

度q=3加機+lxl()Ys。起算數(shù)據(jù)及觀測邊長見表4-6。試按間

接平差法求待定點坐標平差值及其中誤差。

D

圖4-9

表4-6

坐標方位角

點名縱坐標才橫坐標丫邊長（m）。/a

A53743.13661003.826

B47943.00266225.8547804.5581380008.6

C40049.22953782.790

D36924.72861027.0867889.3811131950.8

編號邊觀測值（m）編號邊觀測值（m）編號邊觀測值血）

15760.70668720.162115487.073

25187.34275598.570128884.587

37838.88087494.881137228.367

45483.15897493.323

55731.788105438.382

解.

1.基算待定點近似坐標。按測邊交會運算各待定點近似坐標（單

位：m）,其結(jié)果為

X；=48580.270匕°=60500505

X”48681.390以=55018279

X；=43767.223)=57968593

X”408432191=64867875

2.運算誤差方程的系數(shù)及常數(shù)項

根據(jù)測邊網(wǎng)誤差方程的列立方法，可得到誤差方程系數(shù)陣8和

常數(shù)項/。

0.1106-0.9939000000

-0.9953-0.0970000000

-00-0.6457-0.76360000

-0.01840.99980.0184-0.99980000

0.8574-0.5147-0.85740.5147

0.9899-0.1417

B=0.66410.747700

00000.9129-0.408100

00000.3902-0.9207-0.39020.9207

0.88500.465600-0.8850-0.465600

0000000.71420.7000

0.8708-0.49160000-0.87080.4916

000000-0.9822-0.1879

/=[+0.0017-0.0003-0.0037-0.0050+0.0032+0.3376+0.3930

-0.5844-0.0013-0.0009+1.5840+0.0041-1.200,

3.運算觀測值的權(quán)

將邊長觀測值代入測距精度公式，算得各邊的測距精度,

設4=l（Xmm）,由此算得各邊的權(quán)，得到權(quán)陣的對角線元素為

P=dia^l.291.490.861.381.320.731.35

0.910.911.421.380.710.96]

4.組成并解算法方程

根據(jù)誤差方程系數(shù)陣八常數(shù)項/及觀測值的權(quán)陣運算得法方

程系數(shù)陣心和常數(shù)項w

3.14280.2578-0.00050.0254-1.1122-0.5851-0.53840.3030

3.14720.0254-1.3794-0.5851-0.30780.3039-0.1716

2.0447-0.2863-0.97040.582500

2.24520.5825-0.349700

，Tbb-_

對3.57490.0070-0.13860.3269

2.33520.3269-0.7714

稱2.30700.2362

1.6531

w=0.0022-0.01110.2495-0.0278-0.8408-0.17582.69141.747『

0.4187-0.05300.0681-0.07080.16830.00930.1267-0.1292

0.5089-0.01690.3432-0.01420.1822-0.12330.1680

0.6524-0.01860.2177-0.21900.0797-0.1709

0.7174-0.11020.2192-0.11880.1897

對0.4274-0.10540.1002-0.1805

0.6927-0.16580.3850

稱0.5302-0.2090

0.8912

解算法方程得到參數(shù)的改正數(shù)

、二僅11江%X九K九

二[—0.0075-0.0779-0.0648-0.0371-0.3282-0.13071.03161.028年

將求得參數(shù)改正數(shù)帶入誤差方程，得觀測值改正數(shù)v

V=[0.07490.01570.0172-0.11120.2708-0.40720.2724

0.23120.29770.1876-0.1270-0.3652-0.0057|

5.平差值運算

參數(shù)平差值（單位：m）

X}=X；+X=48580.269

R=升°+[=60500.497

米2=X；+、2=48681.384

Y2=Y^+y2=55018.283

戈3=X；+&=43767.189

g=￥+%=57968.606