目錄

1.正花定理（1）..................................................3

2.正花定理（2）.................................................6

3.余花定理（1）..................................................9

4.余弦定理（2）.................................................12

5.解三角形由南（1）（幾河囹花的邊的關系）.........................14

6.解三窗通由用（2）（測量和航行問題◎的解三角形問題）............18

7.解三龜形探究題選祖...............................................22

8.直的走廊問題的講究與拓展.........................................24

9.故列及其基本概念..................................................30

10.數(shù)列的通項公式、遞堆關系和單調(diào)性問題研究......................34

11.等差數(shù)列的概念咫通項公式........................................37

12.等差數(shù)列若干問題的驛究（1）.................................42

13.等差散列若干向題的驛究（2）.................................44

14.等差數(shù)列的前〃項和..............................................46

15.等差數(shù)列的前〃頊和能）關問題的研究（1）.......................49

16.等差數(shù)列的前八項和指關問題的研究（2）.......................51

17.等差數(shù)列的前幾項知擔關問題的研究（3）.......................53

18.等差數(shù)列的前〃項扣能）關問題的研究（4）........................56

19.等牝敵列的概念...................................................58

20.等針數(shù)列的通項公式..............................................62

21.等針數(shù)列的通頊公式的若干探究題.................................64

22.等性數(shù)列的前〃頊和..............................................66

23.等錢:散列的前n項和的若干探究題....................................70

24.散列通項公式的探求咫征弗）問題的研究.............................73

25.等差（針）敵列通項向題的探究....................................76

26.數(shù)列方程問題的濟究..............................................82

27.敵列中的號數(shù)列問題的講究（1）...............................85

28.敵列中的3敵列問題的濟究（2）................................89

29.等差、等針敵列的國敵視的段應用.................................93

30.數(shù)列中的單調(diào)性的濟究...........................................103

31.數(shù)列3的輔入項的向題研究.......................................110

32.敵列3的商界性問題的研究.......................................112

33.數(shù)列力的周期問題3開究...........................................115

34.散列中的分類的論向題研究.......................................118

35.數(shù)列中公共項的問題講究.........................................124

36.數(shù)列中的存在性問題的濟究（1）...............................127

37.故列3的存在性問題的研究（2）...............................133

38.散列3基等關系問題的研究.......................................137

39.敵列3恒成立問題的研究.........................................142

40.數(shù)列中夾兩邊問題的3開究.........................................144

41.敵列中的茴舄敵抬問題的講究.....................................146

42.不等關系........................................................156

43.一元二次不等式的解法...........................................160

44.茴單的線性規(guī)劃問題（1）.....................................166

45.茴單的線性規(guī)劃問題（2）.....................................169

46.茴單的線性規(guī)劃問題（3）.....................................172

47.茴單的線性規(guī)劃問題（4）.....................................174

48.①轉(zhuǎn)在為線性規(guī)劃的問題講究.....................................177

49.基本不等式的征閑................................................181

50.基本不等式的由國（1）.......................................185

51.基本不等式的應用（2）.......................................188

52.基本基等式的應用（3）.......................................195

53.米勘問題的研究..................................................200

54.解集中的整數(shù)問題的3開究.........................................202

1.正弦定理(1)

【教學?建構】

探究1在A4BC中，有向量等式麗=元+而，如何得到數(shù)量等式？請寫出你的

想法和研究.

探究2嘗試用其他方法證明正弦定理.

想法1：證明50死=^〃加山。，并運用這一結論解決下面的問題:

(1)在AA8C中，已知。=2,/?=3,C=105°,求S^BC；

(2)證明正弦定理；

(3)在AABC中，己知c=10,A=45°,C=30°,求5.處

想法2：在R/ZUBC中，斜邊c等于R/AABC外接圓的直徑2R,故有

:一=2R,這一關系對任意三角形也成立嗎？探索并證明你的結論.

sinAsinBsinC

Kx*?)Mx.工泉aA?M*OMIMQ>GGEG

二、二6.11厘米

J?Jsin(A)

/—^=6.11咀米

sui(B)

7\欣

(廠=611匣米

wn(O

2K「(7)=61I厘米

證明過程:

進一步思考：正弦定理和面積公式有哪些常見的變形公式?

【應用?探究?思考】

例1在AABC中，已知A=30°,8=105°,c=叵,解這個三角形.

例2根據(jù)條件，解下列三角形：

(1)。=4,。=8,A=30°；

(2)a—Vs,b-,A=30"；

(3)a=6,b-4,A—30.

探究1在上面的例2中，己知A46C的兩邊和一邊對角，為什么有些是無解，有

些是一解，有些是兩解？能否利用幾何作圖法作出三角形研究三角形解的個數(shù)？請分銳角

三角形和鈍角三角形討論、研究.

探究2我們知道，全等三角形的判別方法有SSS,ASA,S4S,為何沒有SSA呢？

請就此問題發(fā)表一下你的看法？

思考與應用在AA8C中，A-30,a=4.

(1)給出一個人值，使得三角形只有唯一解？

(2)給出一個b值，使得三角形有兩解？

(3)給出一個b值，使得三角形無解？

小結:

利用正弦定理，可以解決怎樣的解三角形問題？

【復習思考】整理筆記，鞏固記憶課堂教學內(nèi)容.

2.正弦定理（2）

【教學?建構】

探究1根據(jù)下列條件，試判斷AA8C的形狀.

(1)在AA5c中，sin2A+sin2B=sin2C；

(2)在AASC中,acosA=bcosB；

abc

(3)在AA5C中,

cosAcosBcosC

sinA_cosB_cosC

(4)在4156^,

abc

(5)在4LBC中,a1tanB=b2tanA；

變式在A45。中，已知BC=a,CA-h,AB=c,^a-h=h-c=c-a,求證:

A48C為等邊三角形.

AB

探究2如圖，在AA8C中，NA的平分線A。與邊BC相交于點。，求證：—

DC~AC

進一步思考：

思考1若結論改為外角角平分線，結論仍然成立么？請說明理由.

思考2已知AA6C中，AB=2AC,且NBA。=30°,NC4。=45°,求處的值.

DC

探究3在銳角AA3C中，A=2B,邊a,0,c所對的角分別是則人的取值

b

范圍是.

變式在A43C中，若C=3B,則上的取值范圍是_________.

b

【應用?探究?思考】

思考與應用1已知輪船A和輪船8同時離開C島，A船沿北偏東30°方向航行，8船

沿正北方向航行.若A船的航行速度為40nmile/h,1h后,B船測得A船位于B船

的北偏東45°處，則此時A,B兩船相距nmile.

變式1在一座10加高的觀測臺頂測得對面一水塔塔頂仰角為60。，塔底俯角為45°,

則水塔的高度為米.

變式2—船在海上由西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東a角，前

進根(匕沖后在8處測得該島的方位角為北偏東夕角，已知該島周圍〃(Am)范圍內(nèi)(包括

邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行.試確定久￡滿足的條件，使船能安全航行.

思考與應用2如圖，已知△ABC是邊長為/的正三角形，例N分別是邊ABAC

JI，乃

上的點，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G,設乙MGA=a(—4a4——).

33

(1)試將AAGMAAGN的面積(分別記為S/與S2)表示為a的函數(shù)

(2)求丫=」+」的最大值與最小值

S,2S/

【復習思考】整理筆記，鞏固記憶課堂教學內(nèi)容.

3.余弦定理（1）

【教學?建構】

探究1在MBC中，有向量等式A8=AC+C8,將等式兩邊平方，能得到什么結

論？

［余弦定理］___________________________________________________________________________

探究2余弦定理有哪些變形公式？

探究3嘗試用其他方法證明余弦定理.

想法：在AABC中，已知/BAC=a,AC=b,AB=c,如圖建立直角坐標系，利用兩點

之間的距離公式計算8c2,并由此證明余弦定理.

例1(1)在AABC中，已知b=3,c=l,A=60°,求a.

(2)已知AABC的三邊分別為a=6,b=10,c=14,試求A4BC中最大角的度數(shù).

變式已知AABC的三內(nèi)角sinA:sin3:sinC=3:5:7,求A45C中最大角的度數(shù).

小結：利用余弦定理，可以解決怎樣的解三角形問題？

【應用?探究?思考】

探究1用余弦定理證明射影定理.

探究2在A48C中，用余弦定理證明:

(1)當NC為銳角時，a2+b2>c\

(2)當NC為鈍角時，a2+b2<c2,

(3)當NC為直角時，a2+h2=c2.

進一步思考：

1.如果AA3C的三邊滿足/+從>/,此三角形是銳角三角形嗎？

如果AABC的三邊滿足/+〃<,2,此三角形是鈍角三角形嗎？

2.設2。+1,。,2。一1為鈍角三角形的三邊，求實數(shù)a的取值范圍.

探究3在A48C中，若已知"+"2+行々匕=02,求角。的度數(shù).

變式在A46C中，已知(a+Z?+c)(a-/?+c)=ac,求角8的度數(shù).

【復習思考】整理筆記，鞏固記憶課堂教學內(nèi)容.

4.余弦定理(2)

【教學?建構】

探究1在平行四邊形A8C。中，已知AB=12cm,BC=10cm,A=60°,

求平行四邊形兩條對角線的長.

變式1用多種不同的方法證明三角形的中線長公式

已知AM是A46C中邊上的中線，求證：AM=1^(AB2+AC2)-BC1

變式2用余弦定理證明：平行四邊形兩條對角線平方的和等于四邊平方的和.

變式3如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，A8=2,8C=6,A￡)=8=4,求四邊形ABC。

的面積？

探究2判斷三角形的形狀

(1)在A48C中，已知a=28cosC,試判斷該三角形的形狀.

(2)在AABC中，已知a2—b2=(acos8+bcosA)2,試判斷該三角形的形狀.

(3)在A46c中，Z?2sin2C+c2sin25=2bcosBcosC,試判斷該三角形的形狀.

(4)在AA6C中，已知a-/?=ccos6-ccosA,試判斷該三角形的形狀.

(5)在AA6C中，已知2<z=Z?+c,sin?A=sin3,sinC,試判斷該三角形的形狀.

(6)在△A6C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c.

(i)若c=2,C=工，且△ABC的面積S=6,求a/的值；

3

(ii)若sinC+sin(8-A)=sin2A,試判斷△ABC的形狀.

【應用?探究?思考】

應用如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀測所分別設于C,0已知△AC。為邊長等于

。的正三角形，當目標出現(xiàn)于8時，測得/CD2=45。，NBCD=75。,試求炮擊目標的距離

AB.

【復習思考】整理筆記，鞏固記憶課堂教學內(nèi)容.

5.解三角形應用(1)(幾何圖形的邊角關系)

【教學?建構】

探究1如圖，半圓。的直徑為2,A為直徑延長線上一點,。4=2,8為半圓上一點，以

AB為一邊向AQ4B的外側(cè)作等邊AABC.

(1)問點8在什么位置時，四邊形Q4CB的面積最大？

(2)當OC平分NAOB時.

(I)求證：AOAC+Z.OBC=7t；

(II)求。。的長度.

變式A,P,Q,8為平面上四點，其中A,8為定點，且=動點P,Q滿足

AP=PQ=QB=1,設A4PB和APQB的面積分別為S,T,試求：

(1)求52+72的最大值；

(2)當S2+/取最大值時，AAPB的形狀如何？

探究2在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直，與燈柱A3所在平面與道路垂

直，NA8C=120",路燈。采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知

ZACD=60°,路寬AO=24米，設燈柱高=〃（米），ZACB=6（30°46445°）

（1）求燈柱的高〃（用。表示）；

（2）若燈桿8c與燈柱所用材料相同，記此用料長度和為S,求S關于。的函數(shù)表

達式，并求出S的最小值.

探究3在AA6C中，內(nèi)角的對邊分別為a,"c,若已知a=4,A='TT.

3

（1）求A46C周長的最大值;

（2）求A43C面積的最大值.

探究4如圖某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水

凈化管道(R/AFHE,”是直角頂點)來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.設計要

求管道的接口”是4?的中點，E,尸分別落在線段8C,AT＞上.已知AB=20米，

AD=10A/5米，記NBHE=e.

(1)試將污水凈化管道的長度L表示為8的函數(shù)，并寫出定義域：

(2)若sin8+cos9=0,求此時管道的長度L；

(3)問：當。取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度.

【應用?探究?思考】

1.如圖，某城市有一條公路從正西方A。通過市中心。后轉(zhuǎn)向東北方。B,現(xiàn)要修筑

一條鐵路3L在04上設一站A,在08上設一站B,鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求

市中心。到AB的距離為10h〃，設N(M3=a.

(1)試求AB關于角a的函數(shù)關系式；

(2)問角a多大時，才能使AB最短，并求最短距離.

2.如圖，直角三角形ABC中，NB=90。，AB=1,BC=C.點、M,N分別在

邊AB和4c上(M點和8點不重合)，將4AMN沿MN

翻折，△AMN變?yōu)椤鰽'MN,使頂點A落在邊BC上

(A,點和B點不重合).設/AMN=0.

(1)用。表示線段AM的長度，并寫出。的取值范圍；

(2)求線段A'N長度的最小值.

3.某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABC。，48=50米，BC=25石米，為了便于居民

平時休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設三條小路OE、EF和OF,考慮

到小區(qū)整體規(guī)劃，要求O是4B的中點，點E在邊BC上，點尸在邊40上，且/EOF=90。,

如圖所示.

(1)設/BOE=a,試將AOEF的周長/表示成a的函數(shù)關系式，并求出此函數(shù)的定義域;

(2)經(jīng)核算，三條路每米鋪設費用均為400元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？

并求出最低總費用.

【復習?思考】整理筆記，鞏固記憶課堂教學內(nèi)容.

6.解三角形應用（2）（測量和航行問題中的解三角形問題）

【教學?建構】

探究1外輪除特許外，不得進入離我國海岸線d海里以內(nèi)的區(qū)域，如圖，設A,B是

相距s海里的兩個觀察站，一外輪在P點，測得NBAP=a,NABP=B問：a,0滿足什么

關系時就該向外輪發(fā)出警告，令其退出海域？

探究2如圖，某人在高出海面600〃?的山上P處，測得海面上的航標A在正東，俯

角為30°,航標8在南偏東60°,俯角為45°,求這兩個航標之間的距離.

探究3如圖，港口A在港口O的正東120海里處，小島B在港口。的北偏東60的

方向，且在港口A北偏西30的方向上.一艘科學考察船從港口O出發(fā)，沿北偏東30的

0。方向以20海里/小時的速度駛離港口。.一艘給養(yǎng)快艇從港口4以60海里/小時的速度

駛向小島B,在8島轉(zhuǎn)運補給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時出發(fā)，補給

裝船時間為1小時.

（1）求給養(yǎng)快艇從港口A到小島B的航行時間；

（2）給養(yǎng)快艇駛離港口A后，最少經(jīng)過多少時間能和科考船相遇？

北

探究4如圖，有兩條相交成60。角的直路XX,YY,交點是O,甲、乙分別在OX,

OY上，起初甲離。點3km,乙離。點1km.后來甲沿XX的方向，乙沿FT的方向，同

時用4km/h的速度步行.

(1)起初兩人的距離是多少？

(2)th后兩人的距離是多少？

(3)什么時候兩人的距離最短?

探究5如圖所示，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲.監(jiān)測點，B、

C兩點到點A的距離分別為20千米和50千米.某時刻，6收到發(fā)自靜止目標尸的一個

聲波信號，8秒后4、。同時接收到該聲波信號，已知聲波一在水中的傳播速度是1.5千米

/秒.

(1)設4到P的距離為x千米，用x表示C到P的距離，并求x的值;

(2)求「到海防警戒線AC的距離.

A20B30C

【應用?探究?思考】

7T

I.在A48C中，已知3=—，。是邊8C上的一點，AD=10,AC=14,DC=6,

4

則AB的長為.

2.已知向量Z32滿足7+5+2=6,且〉石的夾角等于135°,B的夾角等于120°,

口=2,貝IM,w=.

3.在AABC中，點C在線段3。上，

AB=＞瓜,CD=5,NABC=45。，

2

NAC8=60°,則A￡)=.

4.在A4BC中，已知tanA='，tanB=3,若A4BC最大邊的長為舊，則最小

45

邊的長為.

5.如圖，在三角形ABC中，A8=4,AC=5,8C=6,。是BC4

上一點，且。C=23O,則AO的長為.

6.海上A,8兩個小島相距10〃就加，從A島望C島和B島所成的視角為60°,從8

島望C島和A島所成的視角為75°,則3島和C島之間的距離為.

7.在。點的正上方有氣球P,從。點的正西方A點，測得氣球P的仰角為45°,同

時從。點南偏東45°的8點，測得氣球產(chǎn)的仰角為60°,A,8兩點間的距離為200〃?.則

氣球P離地面________米.

8.把一根長為30c〃?的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形ABC的兩邊AB和8C,

且NABC=120°,如何鋸斷木條，才能使第三條邊AC最短？

9.海濱某城市A附近海面上有一臺風，在城市A測得該臺風中心位于方位角150°、

距離400bn的海面尸處，并以70攵加/7Z的速度沿北偏西60"的方向移動.如果臺風侵襲的

范圍是半徑為250%〃?的圓形區(qū)域，試求幾小時后該城市開始受到臺風侵襲？

10.如圖，某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救

信號.我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁船在方位

角為30。，距離為10海里的C處，并測得該漁船正

沿方位角為90。的方向，以30海里/時的速度向小島

P靠攏.我海軍艦艇立即以30百海里/時的速度前去

營救.求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間.

（注：方位角是從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的角）

11.如圖，A,8為相距50海里的兩個小島上的觀測站，B

位于A站北偏東30方向.某船位于A站正東方向40海里的點

何處，并正沿一定的方向勻速航行，3小時20分鐘后，在8站

測得該船位于北偏西30且與8站相距30海里的N處，求該船的

航行速度.

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7.解三角形探究題選講

【教學?建構】

探究1求證：秦九韶求積公式：S=j軻C?一]

探究2已知三角形的三邊為a,。,c,設p=g(a+b+c),求證：

(1)三角形的面積S=ylp(p-a)(p-b)(p-c)；

(2)/?為三角形的內(nèi)切圓的半徑，則廠=J(〃一，?)(〃；〃)(〃三’)；

(3)把邊BC,C4,AB上的高分別記為幻,兒,〃,，則

2_________________2_________________

h=一』P(p-a)(p-b)(p-c)；h=p(p-a)(p-b)(p-c)：

aahb

2I--------------------------

%=一飛P(P-a)(P-b)(p-c).

探究3如圖，已知NA是定角，P,Q分別在的兩邊上，P。為定長，當P,。處

于什么位置時，AAPQ的面積最大？

進一步思考1線段為定值的相關問題研究

NA是定角，P,Q分別在NA的兩邊上，PQ為定長加，設AQ=a,AP=b,則:

(1)當。=6時，AAPQ的面積有最大值；

(2)當a=Z?時，A4PQ的周長有最大值

進一步思考2線段AB過定點的相關問題研究

如圖，已知NPOQ=6為定值,，過定點M引線段AB,分別交OP、0Q于A,5.

(1)求證：當M4=MB即M是線段A8中點時，△Q46的面積最小；

(2)鉆是以。為頂點的等腰三角形時，截線段的乘積M4?MB最小.

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8.直角走廊問題的研究與拓展

常青藤實驗中學高二（3）班錢思源指導教師：何睦

本文刊發(fā)于《中學生數(shù)學》2016年9月刊

蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修四第50頁有這樣一個問題：

一鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊，試回答下列問題：

96

（1）證明棒長〃。）=------+-------；

5sin65cos。

（2）求的最小值（用計算器或計算機）；

（3）解釋（2）中所求得的￡是能通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值.

該題是一道非常有趣的應用題，其形式新穎，又貼近生活實際，很快吸引「我的眼球,

引發(fā)了我的思考：題目中展現(xiàn)的是一個不等寬的直角走廊，如果換成等寬直角走廊，情況

又有何變化？若將直角走廊換成折線形走廊、彎角走廊，將木棒變成有厚度的平板小車（或

木板），情況又是怎樣的呢？這些疑問促成了我對這個問題的研究之旅.

一切研究都要從簡單開始，為此我們先來研究不計厚度的木棒的等寬直角走廊問題

一木棒欲通過如圖所示的等寬直角走廊，以下我們來探究能通過直角走廊的木棒（厚

度忽略不計)的長度的最大值.

如圖，AB=——,BC=^—,設木棒

cosasina

的長度為L(a).

則L(a)=AC=A3+8C=-^-+-^-fo<a<U，

cosasinaI2)

/\J2(cosa+sina)..廣■.，

即unLr\a)=——-----------------,令/=cosa+sina=々2sina+一，

sinacosa14)

i-i八?！薄璍n:\i.(sina+cosa)2_]J—l

因為Ova<一,所以/w(l,j2,貝ijsinacosa---------------------=-------

2、」22

乙=2@=當，當時，.一！隨t的增大而增大，r—0,—,Lmin=4

't—'"I_

t

若鐵棒的長度不大于4,則木棒能在這個直角走廊拐彎；若木棒長度大于4,則這個

木棒不能在這個直角走廊拐彎，故4是能在這個直角走廊拐彎的鐵棒中的最長者.所以能

夠通過這個直角走廊的鐵棒的最大長度為4.

進一步思考1如果將不計厚度的木棒變成有寬度能靈活轉(zhuǎn)動的平板車呢？

如圖所示，一條直角走廊寬為2米.現(xiàn)有一轉(zhuǎn)動靈活的平板車，其平板面為矩形

ABEF,它的寬為1米.直線EF分別交直線AC、BC于M、N,過墻角。作。PLAC于P,

DQLBC^Q.

(1)若平板車卡在直角走廊內(nèi)，且NC48=e,試求平板面的長(用。表示);

(2)若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不

超過多少米?

解(1)DM=-^~,DN==—,EN=tan0,0<0<-,則

sin。cos。tan。2

廠人z,f7221八2(sine+cos6)—1

EF=DM+DN-MF-EN=-----+-------------------1an6=---------------------

sin。cos。tan。sinOcos。

TT

（2）“平板車要想順利通過直角走廊”的含義是指對任意角e（o<^<-）,平板車的長

2

度不能超過EE長度的最小值，即平板車的長度<“；血，以下我們來探求石工也.

f—t2—\

記sinB+cos。=/,1<r<<2,有sin，cos8=------,

EF=2(sine+cos0)-l4r-2令4,一2=〃z,mG(2,4A/2-2]

sinBcos。r2-1

則t=二±2,則九（〃?）=一3一，h（m）在加e（2,40-2］上單調(diào)遞減,

1，”一㈣+4

12

因此當m=4收一2時，即。=（時，可取E4,in=4行一2.

答：若平板車要想順利通過直角走廊，其長度不能超過（4拒-2）米.

進一步思考2如果將等寬直角走廊變?yōu)榉堑葘捴苯亲呃饶兀?/p>

如圖，一條直角走廊寬分別為1根和8W，若一根鐵棒EF能水平地通過此直角走廊,

求此根鐵棒的最大長度.

乃81

解設NE尸O=a(0<a<—),如圖，BF=-----，BE=------，設木棒長度為

2sinacosa

Q1冗

L(a),則L(a)=——+------(0<a<一).以下探求函數(shù)L(a)的最小值.

sinacosa2

//、81.、sin'a-8cos3a/八4、人、八

L(6z)=———+------,則nlLT(az)=------------------(0<av—),令LrZ(za)=0,

sinacosa(sinacosa)2

冗

則sina=2cosa，即tana2,令tana()=2(0<<—)

當ae((),4))時，L'(a)<0；當時，r(?)>o；

所以ae?,4)時，函數(shù)L(a)單調(diào)遞減；時，函數(shù)L(a)單調(diào)遞增.

因此當且僅當a=a0,即tana。=2時，可取得函數(shù)L(a)的最小值，即能通過該直角走

廊的木棒的最大值.此時sina()=]V^,cosao=g.L(a)mM=LQ))=5V^

答：若木棒能通過該直角走廊，此木棒的最大長度為米.

進一步思考3如果將等寬直角走廊變?yōu)榈葘捳劬€形走廊呢？

如圖，一條轉(zhuǎn)角處角度為120。的等寬走廊寬為1/〃，若一根鐵棒E產(chǎn)能水平地通過此

直角走廊，則此根鐵棒的最大長度為.

777777II

解設/8/。=--a(--<a<一),如圖，BF=----------,BE=----------

666sin(--a)sin(—+a)

則鐵棒的長度為L(a)=——1——+——1——=-——竺1-----='Sa

.,71、.,71、1?J.24cos-ex—3

sin(一+a)sin(---a)—cos**a——sina'

6v644

J34

令，=cosa,te—,1,則乙=——易知當且僅當f=l時可取得鐵棒的最小值4.

23

I」4r--

t

TT

此時。=0,即NBF0=一時，能通過該折線形走廊的鐵棒的最大值為4.

6

進一步思考4如果將等寬直角走廊變?yōu)榈葘拸澖亲呃饶兀?/p>

一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內(nèi)壁尸G和外壁都是半徑為1m的四分之

一圓弧，AB,DC分別與圓弧相切于3,C兩點，EF//AB,GH//CD,且兩

組平行墻壁間的走廊寬度都是1m.

(I)若水平放置的木棒MN的兩個端點M,N分別在外壁C。利AB上，且木棒與內(nèi)壁

圓弧相切于點P.設NCMN=8(rad),試用。表示木棒MN的長度/(6)；

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處，求木棒長度的最大值.

①若S在線段7U上，則充=QT—QS

在R.TM中'"=^=空'因此W=NS+MS=NS+富

②若S在線段GT的延長線上，則7=QS—QT

TSQS-QT

在R/AS7M中，MS=

sin0sin0

因止匕==NS—X~~J=NS+'——

sin。sin。

f(0)=MN=NS+QT-QS=+(-----------1——)

sin。cos。sin。singcos，

2(sin0+cos3)-1兀

=----------------------(0<〃<——).

sin。cos。2

(2)設sine+cos6=，(l<，<行)，則sin6cose=^——-,

4/-2

因此/（e）=g（，）=—二，令4，-2=帆，me-2

r-1

則f=%±2,則〃（〃?）=--一,〃（㈤在加e（2,4后一2］上單調(diào)遞減，因此當

m--+4

12

加=4行一2時，即。=（時，可取肱V而n=4夜一2.

答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為（4亞-2）米.

我們知道，三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型，直角走廊問題則是三角函數(shù)在現(xiàn)實

生活中的一個具體應用.通過對直角走廊問題的研究和思考，我愈加明晰了進行數(shù)學研究

遵循''問題情境、建立模型、數(shù)學結果、解釋應用與拓展”的邏輯線路，同時也更加深

刻地領悟到直角走廊問題的數(shù)學本質(zhì)其實是過定點的線段的最值問題.通過對由教材習題

引出的直角走廊問題以及其變化的研究、總結和思考，我認為在平時的數(shù)學學習過程中，

對于教材上的例題和習題，不能僅僅以解決習題本身為目的，更應該在老師的引導下對其

進行深入的研究，發(fā)掘、積累其中蘊含的數(shù)學思想方法，感悟問題的數(shù)學本質(zhì).對數(shù)學思

想方法和數(shù)學本質(zhì)的領悟更能幫助我們提高分析問題、解決問題的能力，不斷的提升我們

的數(shù)學素養(yǎng)，對于我們將來的工作、學習大有裨益.

9.數(shù)列及其基本概念

【教學?建構】

自主學習閱讀教材31-33頁文字和例題，帶著下列問題進行自主學習

問題1什么是數(shù)列？什么是數(shù)列的項、首項？

問題2數(shù)列如何用數(shù)學符號語言來表示？

問題3什么是數(shù)列的通項公式？

【應用?探究?思考】

探究1數(shù)列的本質(zhì)是什么？

探究2關于通項公式的若干思考

(1)數(shù)列的通項公式唯一嗎？

(2)數(shù)列一定有通項公式嗎？

(3)我們可以通過數(shù)列｛/｝的通項公式，確定數(shù)列｛4｝項數(shù)和項的關系，進一步值

得思考的問題是：還有沒有其他可以確定數(shù)列的方法?

例已知點列｛a“｝的第1項為1,第2項為1,以后各項由an+2=an+l+%（〃eN*）

給出，則這個數(shù)列的第6項為.

定義如果數(shù)列｛a,J的任一項凡與它的前一項。“（或多項）之間的關系可用一個

公式來表示，即4+1=/（。"），那么這個公式就叫做數(shù)列｛%｝的遞推公式，為就成為數(shù)列

｛4｝的初始條件.事實表明，這種方法更便于計算機編程進行計算.

例根據(jù)遞推公式和初始條件

—=+1

<>1

q=l

寫出數(shù)列｛許｝的前5項.

探究4數(shù)列的分類標準

（1）按項數(shù)分類

（2）按項與項之間的大小關系（能否給出定義？）

例已知數(shù)列｛%｝的通項公式為4=|3〃一1耳，求數(shù)列｛%｝的最小項.

【練習?反饋?提升】

1.根據(jù)數(shù)列｛4｝的通項公式，寫出它的前5項，并作出它的圖象.

（1）%=4；⑵a?=（-ir（n2-l）；（3）%=|2〃一7|.

n

2.若某數(shù)列｛/｝的前4項分別為0,血,0,后，則下列各式：

匹______行，〃為偶數(shù)

①-[1+（-1）"];②=Jl+（—1）";③。"=<

0,“為奇數(shù)

可作為數(shù)列｛《,｝的通項公式的有.（填寫所有正確答案的序號）

3.寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：

（1）2,4,8,16（2）—1,一,—,—（3）1,V2,y/3,2.

234

1_____1______1_____11234

(4)，-5(5)1一,2—,3—,4一(6)9,99,999,9999

3^5'5^77^99x112345

4.寫出一個分別滿足下列條件的數(shù)列｛%｝的通項公式：

（1）從第2項起，每一項都比它的前一項大2；

（2）各項均不為0,且從第二項起，每一項都是它的前一項的3倍.

5.謝爾賓斯基三角形：圖中的三角形稱為希爾賓斯基(Sierpinski)三角形.

▲

①②AA④

黑色的三角形個數(shù)依次構成一個數(shù)列，則這個數(shù)列的一個通項公式是.

6.把1,3,6,10,15,21,……這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點子可以排

成一個正三角形(如圖)，則第七個三角形數(shù)是.

8.數(shù)列｛%｝中，己知q=2,4=3,當“22時，是an-的個位數(shù)，則a20l6=

9.已知212數(shù)312列34則5士是此數(shù)列中的第項.

132143216

10.己知數(shù)列｛凡｝的通項公式為="一9〃+5

(1)寫出這個數(shù)列的第4和第10項；

(2)-13是不是這個數(shù)列中的項？如果是，是第幾項？

(3)這個數(shù)列所有項中有沒有最小的項，如果有，請指出是第幾項?

【復習?思考】整理筆記，鞏固記憶課堂教學內(nèi)容.

10.數(shù)列的通項公式、遞推關系和單調(diào)性問題研究

【教學?建構】

探究1數(shù)列9,99,999,9999,……的通項公式為.

變式1數(shù)列5,55,555,5555,……的通項公式為.

變式2數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.9999,……的通項公式為.