Statistics第7章時間數列分析第一節時間數列概述一、時間數列的概念和構成要素二、時間數列的種類三、時間數列的編制原則一、時間數列及其分析方法的含義時間數列（Timeseries）——又稱為動態數列。把反映某一現象發展變化的一系列指標數值按時間先后順序排列起來所形成的數列。兩個基本要素：現象所屬時間、指標數值。年份國內生產總值（億元）年份國內生產總值（億元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7時間數列的要素之一：時間t時間數列的要素之二：變量a二、時間序列的種類（一）總量指標數列（絕對數時間數列）最基本的時間數列；反映現象在不同時間上達到的絕對水平、總規模；按指標所反映的時間狀況不同分為：時期數列——現象在不同時段內的活動總量；時點數列——現象在不同瞬間時點上的總量。二者的主要區別在于：時間狀況、指標數值的可加性、及指標數值與時間長短的關系等方面。（二）相對指標數列（三）平均指標數列這兩種數列都是由有關總量時間數列派生的；反映現象相對水平或平均水平的發展變化過程；不同時間上的指標數值不能相加。三、時間數列的編制原則

基本原則是保證可比性，主要包括：時間上可比總體范圍可比計算口徑可比經濟內容可比指標1952-19571958-19621963-19651966-19761977-1986社會總產值（億元）工業總產值（億元）工業總產值比重（%）8283.43404.541.111448.26903.360.366983878.157.947210.729553.962.6103902.583849.380.76年5年3年11年10年

10噸標準煤10噸煤

第二節時間數列的水平分析指標發展水平平均發展水平增長水平平均增長水平一、發展水平現象在不同時間上所達到的水平的數量反映。也就是時間數列中的各項指標數值。按指標表現形式不同分為總量水平、相對水平、平均水平。按其在數列中的位置來看，分為最初水平、中間水平和最末水平。從在分析中的作用看，分為報告期水平、基期水平.文字表述：“為”、“（發展、增長…）到。”發展水平總量水平（時期）相對水平平均水平總量水平（時點）二、平均發展水平平均發展水平（序時平均數或動態平均數）現象在不同時間上發展水平的平均數，。說明現象在一段時期內所達到的一般水平。計算方法：不同類型的時間數列有不同的計算方法。1.總量數列的序時平均數計算公式：計算結果表示：某段時間內平均每期的水平.（1）時期數列——簡單算術平均法年份能源生產總量（萬噸標準煤）199419951996199719981187291290341326161324101240001994-1998年中國能源生產總量（2）時點數列的序時平均數①

連續時點數列（已知每天數據，視為連續時點數列）

——簡單算術平均法

②

不連續時點數列——見下頁日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盤價16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元某股票連續5個交易日價格某企業5月份每日實有人數資料日期1~9日10~15日16~22日23~31日實有人數（人）780784786783

對間隔相等的時點數列序時平均的理解2月份平均水平：28天每一天的水平已知每周周一的水平ai首先周平均：然后月平均：對間隔不等的時點數列序時平均的理解2月份平均水平：28天每一天的水平首先各間隔平均：然后加權平均：時間1月1日5月31日8月31日12月31日人數(萬人)362390416420設某地區2024年各統計時點的社會勞動者人數如下表，計算全年的平均社會勞動者人數。2.相對數數列或平均數數列的序時平均數

相對數（或平均數）用c表示，有

c=a/b，a、b為總量指標。求各期c的平均一般不能采用簡單算術平均法，即計算公式1.分別計算其分子、分母的序時平均數（先判斷分子分母是什么指標、是時期指標還是時點指標？）2.對比得

：（實例）例：2019年至2024年年底職工基本情況見下表，求我國2019－2024年期間年平均女職工占職工人數的比重。年份201920202021202220232024a.女職工人數（萬人）486950365137529454835586b.職工人數（萬人）132141360813742140591450814792c.女職工比重（％）36.8537.0137.3837.6637.7937.76解：女職工的平均數全體職工人數的平均數女職工所占平均比重練習某廠2024年下半年各月勞動生產率資料如下表所示又知：6月末職工人數為830人，要求計算2024年下半年月平均勞動生產率。7月8月9月10月11月12月總產值（萬元）218.4225.25229.5236.64249.2290.7月末職工數（人）8408508508708901020勞動生產率（元/人）260026502700272028002850總產值：時期數列——算術平均數月末職工人數:間隔相等時點數列——首末折半法6月1日6月末7月末8月末9月末10月末11月末12月末（三）增長水平和平均增長水量1.增長水平增長量=報告期水平－基期水平說明現象在觀察期內增減的絕對數量；基期不同，有逐期增長量與累計增長量之分：*逐期增長量＝報告期水平－上期水平說明現象逐期增長的數量。*累計增長量＝報告期水平－固定基期水平說明一段時期內總共增長的數量。二者關系：

累計增長量＝相應時期的逐期增長量的總和。相鄰兩期累計增長量之差＝相應的逐期增長量2.平均增長量——逐期增長量的序時平均數；——其方法是算術平均法。我國1991－1997年普通高校在校學生人數年份1991199219931994199519961997學生人數（萬人）204.4218.4253.6279.9299.6302.1317.4增減量逐期－1435.226.319.72.515.3累計－1449.275.595.297.7113時間數列水平分析指標水平分析指標發展水平平均發展水平增長量平均增長量絕對數時間數列相對數和平均數時間數列時期數列時點數列連續時點不連續時點逐期增長量累計增長量（an－

an-1）（an－a*）或相應逐期增長量之和增長1％的絕對值逐期增長量之和/

逐期增長量個數累計增長量/n（上期水平/100）第三節時間序列的速度分析指標（一）發展速度（二）增減速度（三）平均速度

平均發展速度平均增減速度一、發展速度1.發展速度＝報告期水平／基期水平說明現象在觀察期內發展變化的相對程度；

有環比發展速度與定期發展速度之分*環比發展速度＝報告期水平／上期水平*定基發展速度＝報告期水平／固定基期水平二者關系：定基發展速度（總速度）＝相應時期的環比發展速度之積。反之，兩個相鄰的定基發展速度，用后者除以前者，等于相應的環比發展速度。二、增長速度（增長率）

增長量與基期水平之比，說明現象增長變化的相對程度；2.基期不同，分環比增長速度與定期增長速度環比增減速度＝逐期增減量／上期水平＝環比發展速度－１定期增減速度＝累計增減量／固定基期水平＝定期發展速度－１二者關系：總增減速度不等于相應環比增速之和（積）速度的表現形式和文字表述

一般表示用%、倍數，也有用‰、番來表示。從基期到報告期翻m

番，則有：報告期水平=基期水平發展速度—發展為、相當于、增長到、減少到、下降為…報告期水平增長為基期水平的…%；以基期水平為100%，報告期水平增長為…%.增長速度—提高（了）、減少（了）、下降（了）、…

報告期水平比基期水平增長（了）的…%；

以基期水平為100%，報告期水平增長（了）…%。三、平均速度平均增長速度表示逐期增減變動的平均程度，即各期環比增長速度的一般水平，但不能對各環比增減速度直接平均。計算方法：平均增長速度=平均發展速度—1平均發展速度的計算方法1.幾何平均法（水平法）以xi表示環比發展速度，根據環比發展速度與總速度的關系，計算平均發展速度應該采用幾何平均法：同一種方法，資料不同，有以上三種計算形式。ｎ＝環比發展速度的個數＝數列發展水平項數－１年份國內生產總值指數（上年=100）年份國內生產總值指數（上年=100）1979198019811982198319841985198619871988107.6107.8105.2109.1110.9115.2113.5108.8111.6111.31989199019911992199319941995199619971998104.1103.8109.2114.2113.5112.6110.5109.6108.8107.8求：1978~1988年間國內生產總值的平均發展速度。已知：xi(i=1,2,…,10)即：1978~1988年間國內生產總值的平均發展速度為110.06%。年份國內生產總值指數（1978年=100）年份國內生產總值指數（1978年=100）1979198019811982198319841985198619871988107.6116.0122.1133.1147.6170.0192.9210.0234.3260.71989199019911992199319941995199619971998271.3281.4307.6351.4398.8449.3496.5544.1592.0638.2求：1978~1988年間國內生產總值的平均發展速度。已知：R

，n=10即：1978~1988年間國內生產總值的平均發展速度為110.06%。普查年份人口數（萬人）195319641982199020005826069122100397113051129533中國5次人口普查數據已知：an、a0、n

例1：某工廠產值平均每年遞增10％，計算幾年后該工廠的產值可以翻一番？

解：設a0為基值，an為n年翻一番后的產值，則

an＝a0×2即R=an/a0＝2又平均增長速度＝平均發展速度－1

平均發展速度＝平均增長速度＋1所以

即需要七年零四個月

例2：某省農業總產值以1990年為基期，各年定基增長速度資料如下：問：五年內平均增長速度是多少？超過平均增長速度的有哪幾年？19911992199319941995定基增長速度3％7％13％18％22％

解：以90年為基期，則95年定基發展速度

R＝95定基增長速度＋1＝22％＋1＝122％五年內平均發展速度五年內平均增長速度＝1.0405－1＝0.0405＝4.05％計算各年環比增長速度92年：93年：94年：95年：★★例3：某地區社會總產值2007至2010年每年平均增長速度為15％，2011至2012年為12％，2013年至2016年為9％；問：1、十年來社會總產值總共增長了多少？

2、年平均增長速度是多少？

3、如果2006年社會總產值為20萬元，按此平均增長速度增長，2016年社會總產值應達多少萬元？解：1、十年來總共增長即定基增長速度2、年平均增長速度＝3、3.應用平均速度應注意的問題總平均速度與各環比速度、分段平均速度結合；當時間序列中的觀察值出現0或負數時，不宜計算速度，而適宜直接用絕對數進行分析。將速度與水平二者結合——常常用到增長1%的絕對值來補充說明增長速度（環比、定期）。增長1%的絕對值=

表示：速度每增長一個百分點所對應增加的絕對量。逐期增長量環比增長速度×100年份甲

企

業乙

企

業利潤額(萬元)增長率(%)利潤額(萬元)增長率(%)2001500—60—2002600208440假定有兩個生產條件基本相同的企業，各年的利潤額及有關的速度值如下表：甲企業：增長1%的絕對值=5（萬元）乙企業：增長1%的絕對值=0.6（萬元）補充對于有季節因素影響的現象，為了消除季節因素的影響，常常以上年同期（季度、月等）為基期，計算：

年距增長量（也稱同比增減量）；年距增長速度（也稱同比增減速度）；年距發展速度（也稱同比發展速度）。時間序列動態分析指標動態分析指標水平指標速度指標發展速度環比定期（an/

an-1）（an/a*）或相應逐期增減量之積增長速度（幾何平均法）3種公式定期＝定期發展速度－1平均發展速度環比＝環比發展速度－1平均增長速度＝平均發展速度－1第四節時間數列影響因素分析一、時間數列的影響因素二、長期趨勢分析三、季節變動分析長期趨勢(SecularTrend)季節變動(SeasonalFluctuation)循環變動(CyclicalVariation)不規則變動(IrregularVariations)一、時間數列的影響因素1.長期趨勢(SecularTrend)——現象在較長時期內持續發展變化的一種趨向或狀態；

由影響時間序列的基本因素作用形成；是時間序列中最基本的構成要素；可分為上升趨勢、下降趨勢、水平趨勢或分為：線性趨勢和非線性趨勢。2.季節變動(SeasonalFluctuation)

——

是一種使現象以一定時期（如一年、一月等）為一周期呈現較有規律的上升、下降交替運動的影響因素。通常表現為現象在一年內隨著自然季節的更替而發生的較有規律的增減變化，有旺季和淡季之分。是一種周期性的變化；周期長度小于一年；形成原因——有自然因素，也有人為因素。3.循環變動(CyclicalVariation)

——使現象呈現出以若干年為一周期、漲落相間循環運動的因素。

1）不同于長期趨勢T表現為單一方向的持續變動，C表現為波浪式的漲落交替的變動。

2）不同于季節變動周期長度不同模型識別的難易程度不同形成原因不同4.不規則變動(IrregularVariations)——時間序列由于偶然因素或突發性因素而表現出的不規則運動

例如：戰爭、自然災害、隨機性因素時間數列的不同組合模式（乘法模型）趨勢模式：Y=TI趨勢季節模式：Y=TSI趨勢季節循環模式：Y=TSCI二、長期趨勢分析（一）研究長期趨勢的目的和意義（二）測定長期趨勢的基本方法移動平均法方程擬合法（一）研究長期趨勢的目的和意義認識和掌握現象隨時間演變的趨勢和規律，為制定相關政策和進行管理提供依據；通過對現象過去變動規律的認識，對事物的未來發展趨勢做出預計和推測；測定出趨勢因素后，便于從原時間數列中剔除趨勢因素，更好地分解、研究其他因素。（二）測定長期趨勢的基本方法

1.移動平均法(MovingAverageMethod)移動平均，是選擇一定的平均項數（常用N表示），采用逐項遞移的方法對原時間數列計算一系列序時平均值；這些移動平均值消除或削弱了原數列中的不規則變動和其他變動，揭示出現象在較長時間內的基本發展趨勢。移動平均法的計算奇數項移動偶數項移動原數列移動平均新數列原數列移動平均移正平均新數列移動平均法的特點

(應注意的問題)移動平均的數值應放在所平均時間的中間位置；當N為奇數，只需一次移動平均；當N為偶數，需再進行二項移動平均即移正平均（或中心化）；移動平均對數列具有平滑修勻作用，平均項數（N）越大，對數列的平滑修勻作用越強；年份出口金額三年移動平均四年移動平均四年移正平均19800.78－－－19810.600.78－－19820.970.870.850.890.9319831.041.040.991.0419841.101.061.071.1019851.051.111.191.2719861.191.331.431.59我國海關歷年出口飲料及煙類資料單位：億美元年份出口金額三年移動平均四年移動平均四年移正平均19871.751.761.852.1119882.352.412.392.6719893.142.973.1119903.423.953.554.164.7619915.285.30－－19927.21－－－續前表(續)若數列包含周期性變動，為了消除周期變動而只反映T，應以周期長度作為移動間隔的長度，即：

N=周期長度若是季度資料，應采用4項移動平均若為月份資料，應采用12項移動平均（續）新數列較原數列項數少,造成部分信息缺損。N越大，缺項越多。

N為奇數時，新數列首尾各少（N-1）/2項；N為偶數時，（移正后）新數列首尾各少N/2項。（續）移動平均法可以呈現出現象的長期趨勢，但本身不能進行外推預測。只有當T為水平趨勢時，才可用移動平均值作為最近一期的預測值。需要說明的是，為了預測方便，也可以將移動平均值放在所平均時間的最末一期。股票證券技術分析中的各種均線（即移動平均曲線）就是采用這種方法。2.趨勢方程擬合法——利用數學中的某種曲線方程對原數列中的趨勢進行擬合，以消除其他變動，揭示數列長期趨勢的一種方法。在只包含T、I中進行長期趨勢的測定時應用較為廣泛。趨勢方程的選擇定性分析。利用有關理論知識、結合現象變化的性質特點進行判斷；繪制觀測值散點圖或折線圖。這些圖形常能很直觀的表現出數列的趨勢類型，是最常用也是比較有效的一種方法。根據數列的數據特征加以判斷。常用的判斷方法有：例如，若數列的環比發展速度大致為一常數，可對該數列擬合指數曲線。用最小平方法估計方程參數(Least-squareMethod）按最小平方法估計方程參數，要求滿足兩個條件：

實際上，能滿足下面條件，上一個條件自然能夠滿足。對于不同的曲線形式，從滿足離差平方和最小的條件出發求得模型的參數估計值——最小平方法（最小二乘法）。直線趨勢方程的參數估計直線趨勢方程為：$Yt

=a+bt$Yt

代表時間序列的趨勢值;t代表時間標號，常常取1、2、3、…n；

a為趨勢線在Y軸上的截距；

b

是趨勢線的斜率，表示時間t

變動一個單位時觀察值的平均變動數量；其中,a、b

為待估計的直線趨勢方程的參數1.根據最小二乘法得到求解a

和b

的標準方程為解得：

這里的原理和計算公式都與回歸方程的參數估計相同。只需把時間變量當作自變量.見書例三、季節變動分析（一）研究季節變動的目的和意義（二）測定季節變動的常用方法原資料平均法趨勢剔除法（一）季節變動及其測定目的季節變動現象在一年內隨著季節更換形成的有規律變動測定目的確定現象過去的季節變化規律；消除時間序列中的季節因素（更好地研究時間數列中的其它成分）。（二）測定季節變動的基本方法

——1.原資料平均法

假定：Y=a.S.I

即假定時間數列為水平趨勢（T=a，為常數）且無循環波動。根據原時間數列通過對同期數據求簡單平均的方法來分離出季節變動因素，計算季節比率S（或稱為季節指數）。也可稱為同期平均法。原資料平均法計算季節比率的步驟：1.計算同期平均數

=各年（或各季節周期）第期數據的平均；2.計算全部數據的總平均數（相當于a）；3.計算各期（季節）的季節比率：(季節比率計算表)年份社會商品零售額(億元)一季度二季度三季度四季度12345662.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3合計456.5644.3582.4439.82123.0同季平均76.08107.3897.0773.3088.46全年合計293.7324.0346.0347.5388.5423.32123.088.46季節比率(%)86