試題PAGE1試題2024北京延慶高一（下）期中數(shù)學(xué)2024.05本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.下列與角的終邊關(guān)于y軸對稱的角是（）A. B. C. D.2.下列各式的值等于的是（）A. B.C. D.3.若，，且，則x的值為（）A.1 B. C.或0 D.或14.下列四個函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.5.A是的內(nèi)角，則“”是“A為銳角”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)圖象的對稱軸方程可能是（）A. B.C. D.7.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.8.若函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到一個奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.9.關(guān)于函數(shù)，給出下列三個命題：①是周期函數(shù)；②曲線關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上恰有1個零點(diǎn)．其中正確的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.對于函數(shù)，其定義域均為D，若存在，使得，則稱與在D上具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)．若與在上具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則________．12.計(jì)算：________．13.已知函數(shù)．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個取值可以為_________．14.如圖，在的方格中，已知向量，，的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且滿足．求________；________．15.已知函數(shù)，．給出下列四個結(jié)論：①存在m，使得沒有最值；②不存在m，使得有單調(diào)減區(qū)間；③當(dāng)時，函數(shù)只有兩個零點(diǎn)；④當(dāng)時，若a，b，c互不相等，且，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是________．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知，．（1）求；（2）求和；（3）求．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，且，P是線段AB上的動點(diǎn)．（1）用，表示和；（2）當(dāng)P是線段AB上的中點(diǎn)時，求，的坐標(biāo)和；（3）設(shè)，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的最大值和最小值及相應(yīng)x的值；（3）①將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的圖像；②將函數(shù)的圖像上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖像；③將函數(shù)的圖像向下平移個單位，得到的圖像；從上述①②③中選擇一個變換，求出的解析式，使得在上有兩個零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．注：如果選擇的條件不符合要求，第（3）中求零點(diǎn)得0分．19.在圖1中，已知圓心角為的扇形AOB的半徑為1，C是AB弧上一定點(diǎn)，，P是AB弧上一動點(diǎn)，作矩形MNPQ，如圖2所示．（1）求AB弧的長及扇形AOB的面積；（2）若，求、和；（3）在圖2中，求矩形MNPQ面積的最大值？這時等于多少度？20.已知函數(shù)的部分圖象如下圖，，．（1）若已知圖中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．（?。┣螅慕馕鍪剑唬áⅲ┤簦髕的取值范圍；（2）求的值．21.對于集合和常數(shù)，定義：為集合相對于的“正弦方差”．（1）若集合，，求集合相對于的“正弦方差”；（2）若集合，寫出一個的值，使得集合相對于任何常數(shù)的“正弦方差”是一個常數(shù)，求出這個常數(shù)，并說明理由；（3）若集合，相對于任何常數(shù)的“正弦方差”是一個常數(shù)，求出，的值．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】B【分析】由對稱性求解即可.【詳解】與角的終邊關(guān)于y軸對稱的角是.故選：B.2.【答案】D【分析】運(yùn)用二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值判斷即可.【詳解】對于A,,故A錯誤；對于B,由特殊角的三角函數(shù)值可知,故B錯誤;對于C,由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知,故C錯誤；對于D,,故D正確.故選：D.3.【答案】C【分析】由向量垂直可以得到數(shù)量積為0，進(jìn)而列出方程求解.【詳解】由題設(shè)，由題，得，解得x=0或x=?1.故選：C.4.【答案】A【分析】逐個函數(shù)分析，利用三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得出結(jié)論．【詳解】對于A，為偶函數(shù)，對，且，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以，故在上為增函數(shù)，故A正確；對于B，為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，為偶函數(shù)，但取，，，則，故D錯誤.故選：A.5.【答案】C【分析】先化簡，再根據(jù)充分必要條件的知識判斷即可.【詳解】因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以，又因?yàn)?，所以因?yàn)榻菫殇J角，所以.所以“”是“為銳角”的充分必要條件.故選：C.6.【答案】B【分析】易知正弦函數(shù)的對稱軸，因此用整體的思想可以列出方程求解.【詳解】令,解得,所以的對稱軸方程為當(dāng)時，其對稱軸方程為，故B正確；因?yàn)锳，C，D均不滿足對稱軸方程，所以A，C，D錯誤.故選：B.7.【答案】A【分析】首先判斷，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義和單調(diào)性判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)槭氢g角，所以，，，因?yàn)?，?,π上是減函數(shù)，所以，而在上是增函數(shù)，可得，所以，所以，故選：A.8.【答案】D【分析】先將平移變換后的函數(shù)圖象求出來，再由奇函數(shù)列出等式求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，因?yàn)槠揭坪蟮暮瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時，.故選：D.9.【答案】A【分析】選項(xiàng)①，根據(jù)條件得到，即可判斷出①的正誤；選項(xiàng)②，根據(jù)條件得出，根據(jù)對稱軸的定義，即可得出②的正誤；選項(xiàng)③，令，直接求出的值，即可得出③的正誤，從而得出結(jié)果.【詳解】對于①，因?yàn)?，所以，故，所以選項(xiàng)①正確，對于②，因?yàn)?，由對稱軸的定義知，為函數(shù)的一條對稱軸，所以選項(xiàng)②正確，對于③，因?yàn)?，令，得到，解得或，又，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上有2個零點(diǎn)．選項(xiàng)③錯誤，故選：A.10.【答案】D【分析】先求出，在上的值域，再根據(jù)“關(guān)聯(lián)”的定義求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值0，所以的值域?yàn)椋渲?，，，可得，，所以的值域?yàn)?，由題意，與在上具有“關(guān)聯(lián)”的性質(zhì)，所以，即得取值范圍是.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過某一點(diǎn)的正弦、余弦、正切值求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),則,所以,所以.故答案為：.12.【答案】0【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.【詳解】，故答案為：0.13.【答案】（不唯一）【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以有，因此的一個取值可以為，故答案為：14.【答案】①.②.0【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，然后進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)方格的邊長為1，則所以,所以;因?yàn)?所以,所以，解得，所以.故答案為：15.【答案】①③④【分析】對于①，取畫出函數(shù)圖象可以判斷；對于②，當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減；對于③，當(dāng)時，畫出函數(shù)圖象，判斷其與有多少個交點(diǎn)即可；對于④，當(dāng)時畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解范圍即可.【詳解】對于①，取時，圖象如圖所示：此時函數(shù)不存在最值，故①正確；對于②，當(dāng)時，的圖象大致如下：函數(shù)在上單調(diào)遞減，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，圖象如圖所示：此函數(shù)y=f(x)的圖象與只有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)只有兩個零點(diǎn)，故③正確；對于④，當(dāng)時，圖象如圖所示：因?yàn)?不妨設(shè),則有,又因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以,所以,故④正確.故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.【答案】（1）（2），（3）【分析】（1）用兩角和的正弦公式展開并代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及二倍角公式計(jì)算即可；（3）先平方，利用降冪公式進(jìn)行化簡并求值，再開方即可.【小問1詳解】因?yàn)?所以,所以;【小問2詳解】;;【小問3詳解】因?yàn)?因?yàn)?，所以，所?17.【答案】（1），.（2）（3）不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算表示即可；（2）根據(jù)題意求出及P的坐標(biāo)，再求，的坐標(biāo)，利用夾角公式求解即可；（3）假設(shè)存在滿足題意的,根據(jù)列出方程，看方程是否有解即可.【小問1詳解】因?yàn)?且,所以,即,,所以【小問2詳解】當(dāng)為線段AB的中點(diǎn)時，，所以,所以所以.【小問3詳解】假設(shè)存在滿足題意的,則則所以,，所以,故,整理得,,方程顯然無根,即不存在實(shí)數(shù)使得.18.【答案】（1）,,.（2）當(dāng)x=0時,函數(shù)的最小值為;當(dāng)時,函數(shù)的最大值為.（3）答案見解析【分析】（1）首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變換成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步求出函數(shù)的最大值和最小值;（3）利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換求出函數(shù)解析式，進(jìn)一步求出零點(diǎn)的個數(shù).【小問1詳解】函數(shù),故函數(shù)的最小正周期為,令，整理得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,.【小問2詳解】由于,故,故,所以函數(shù)的值域?yàn)?當(dāng)x=0時,函數(shù)的最小值為,當(dāng)時,函數(shù)的最大值為;【小問3詳解】選擇①：將函數(shù)的圖像向左平移個單位,得到的圖像;由于,故,當(dāng)時,，故函數(shù)在上有唯一個零點(diǎn).選擇②：將函數(shù)的圖像上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖像,由于,故,當(dāng)時,，故函數(shù)在上有唯一個零點(diǎn).選擇③：將函數(shù)的圖像向下平移3個單位,得到的圖像,令,整理得,當(dāng)或時函數(shù)的值為0，故函數(shù)在上有兩個零點(diǎn).故只有③滿足有兩個零點(diǎn).19.【答案】（1）;.（2）;；.（3）當(dāng)，矩形面積的最大值為.【分析】（1）先由公式求弧AB長，再由扇形的面積公式求出扇形AOB的面積；（2）由兩角差的正切公式可得的值，進(jìn)而求出的大小，再求出的大小，由兩角差的余弦公式可求出的值.（3）設(shè)，即可由三角函數(shù)表示出，即可得矩形MNPQ面積與的函數(shù)式，最后進(jìn)行變換得，即可討論最值最值成立的條件.【小問1詳解】解：AB弧的長為，根據(jù)扇形的面積公式可得.【小問2詳解】因?yàn)?，，所?因?yàn)椋?，?【小問3詳解】設(shè)，則，，所以，所以矩形的面積，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，矩形面積的最大值為.20.【答案】（1）（i），，;（ii）（2）【分析】（1）（i）由圖可知，求出T，再求出，將點(diǎn)A帶入即可求，進(jìn)而知道的解析式；（ii）結(jié)合正弦函數(shù)的圖象解不等式即可.（2）先由求出，再將點(diǎn)代入，求，再由列出等式，經(jīng)過變形求解即可.【小問1詳解】(i)圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo),，將點(diǎn)代入得：，所以,所以，因?yàn)椋詴r，..(ii)若,則,,解得，即的取值范圍為.【小問2詳解】由圖可知,,又,將點(diǎn)代入得：，所以,解得,因?yàn)?即,所以,所以當(dāng)時，，，，，，由圖可知，，，，.21.【答案】（1）（2），常數(shù)為12（3）或，【分析】（1）根據(jù)集合相對的“正弦方差”的定義及誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)集合相對的“正