試題PAGE1試題2024北京三十五中高一（下）期中數(shù)學一．選擇題（共10個小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個正確選項，請選擇正確答案填在答題卡相應的題號處）1．（4分）下列各角中，與27°角終邊相同的是（）A．63° B．153° C．207° D．387°2．（4分）向量，與的夾角為，則等于（）A． B． C．﹣2 D．43．（4分）已知，且sinα＜0，則tanα＝（）A． B． C． D．4．（4分）下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)為（）A．y＝sin4x B．y＝cos2x C．y＝tan4x D．y＝sin22x5．（4分）設向量＝（1，0），＝（，），則下列結論中正確的是（）A． B． C．與垂直 D．6．（4分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，那么tan（α+）等于（）A． B． C． D．7．（4分）設函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．f（x）的最小正周期為2π B．f（x）的圖像關于直線對稱 C．的一個零點為 D．f（x）的圖像可以由圖像左移得到8．（4分）在平面直角坐標系xOy中，角α以Ox為始邊，終邊在第三象限．則（）A．sinα﹣cosα≤tanα B．sinα﹣cosα≥tanα C．sinα?cosα＜tanα D．sinα?cosα＞tanα9．（4分）如圖所示，某風車的半徑為2m，每12s旋轉一周，它的最低點O距離地面0.5m．風車圓周上一點A從最低點O開始，運動t（s）后與地面的距離為h（m）．則h與t滿足的函數(shù)關系為（）A． B． C． D．10．（4分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點（不與C，D重合），DE與AF交于G，則的取值范圍是（）A． B． C．（0，2） D．（0，3）二．填空題（共5個小題，每題5分，共25分.請將正確答案填在答題卡相應的題號處）11．（5分）＝．12．（5分）已知，均為單位向量，且＝﹣，那么|+2|＝．13．（5分）已知f（x）＝2cos2x﹣sinx，則＝，f（x）的最小值為．14．（5分）在近期學校組織的論文展示大賽中，同學們發(fā)現(xiàn)數(shù)學在音樂欣賞中起著重要的作用．純音的數(shù)學模型是三角函數(shù)．如音叉發(fā)出的純音振動可表示為y＝Asinωx，其中x表示時間，y表示純音振動時音叉的位移．我們聽到的每個音是由純音合成的，若某合音的數(shù)學模型為函數(shù)，且聲音的質感與y＝f（x）的參數(shù)有關，比如：音調與聲波的振動頻率有關，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．（1）當n＝1時，函數(shù)f（x）的對稱中心坐標為；（2）當n＝50時，合音f（x）的音調比純音（填寫“高”或“低”）．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，），，恒成立，且f（x）在區(qū)間上單調，給出下列命題：①f（x）是偶函數(shù)；②；③ω是奇數(shù)；④ω的最大值為3．其中正確的命題有．三．解答題（共6個小題，共85分。請將解題過程和答案寫在答題卡相應的題號處）16．（13分）已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點．（Ⅰ）求sin（α+π）與cos2α的值；（Ⅱ）若角β滿足，且角β為第三象限角，求cos（α+β）的值．17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝+cos2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．18．（15分）某同學用“五點法”作函數(shù)在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）00﹣2（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若x∈（0，π），且f（x）＞﹣1，求x的取值范圍．19．（15分）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)f（x）的解析式的兩個作為已知．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]（t＞0）上有且僅有1個零點，求t的取值范圍．條件①：函數(shù)f（x）的最小正周期為π；條件②：函數(shù)f（x）的圖象經過點；條件③：函數(shù)f（x）的最大值為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組符合要求得條件分別解答，按第一組解答計分．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的圖象如圖所示，點B，D，F(xiàn)為f（x）與x軸的交點，點C，E分別為f（x）的最高點和最低點，而函數(shù)f（x）的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2，且其在處取得最小值．（1）求參數(shù)ω和φ的值；（2）若A＝1，求向量與向量夾角的余弦值；（3）若點P為函數(shù)f（x）圖象上的動點，當點P在C，E之間運動時，?≥1恒成立，求A的取值范圍．21．（15分）對于數(shù)集X＝{﹣1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定義向量集Y＝{|＝（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意∈Y，存在∈Y，使得?＝0，則稱X具有性質P．（Ⅰ）判斷{﹣1，1，2}是否具有性質P；（Ⅱ）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性質P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性質P，求證：1∈X，且當xn＞1時，x1＝1

參考答案一．選擇題（共10個小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個正確選項，請選擇正確答案填在答題卡相應的題號處）1．【解答】解：與27°角終邊相同的角的集合為{α|α＝27°+k?360°，k∈Z}，取k＝1，可得α＝387°．∴與27°角終邊相同的是387°．故選：D．2．【解答】解：∵，與的夾角為，∴．故選：A．3．【解答】解：因為，且sinα＜0，所以sinα＝﹣＝﹣，則tanα＝＝．故選：A．4．【解答】解：對于A，，由題意可知，y＝sin4x的定義域為R，f（﹣x）＝sin4（﹣x）＝﹣sin4x＝﹣f（x），所以y＝sin4x為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，，由題意可知，的定義域為R，f（﹣x）＝sin22（﹣x）＝sin22x＝f（x），所以y＝sin22x為偶函數(shù)，故D正確．故選：D．5．【解答】解：∵，∴＝1，＝，故不正確，即A錯誤∵?＝≠，故B錯誤；∵﹣＝（，﹣），∴（﹣）?＝0，∴與垂直，故C正確；∵，易得不成立，故D錯誤．故選：C．6．【解答】解：∵已知，∴＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝，故選：C．7．【解答】解：對于函數(shù)，由于它的最小正周期為＝π，故A錯誤．令x＝，求得f（x）＝0，可得f（x）的圖像關于點（，0）對稱，故B錯誤．令x＝﹣，求得f（x）＝1，為最大值，可得f（x）的圖像關于直線x＝﹣對稱，故C錯誤．把由圖像左移個單位，可得y＝sin（2x++）＝cos（2x+）＝f（x）的圖象，故D正確．故選：D．8．【解答】解：對于A，當α＝181°時，sinα﹣cosα的值趨近于1，tanα的值趨近于0，故A錯誤；當α＝240°時，，＞0，故B錯誤；sinα?cosα﹣tanα＝＝，則sinα?cosα＜tanα，故C正確，D錯誤．故選：C．9．【解答】解：設h與t滿足的函數(shù)關系為h＝Asin（ωt+φ）+b（ω＞0），由題意最大值為4.5m，最小值為0.5m，所以A＝＝2，b＝＝2.5，由題意知，某風車每12s旋轉一周，所以T＝12，所以，又風車從最低點開始運動，所以函數(shù)過點，則，不妨設，所以h與t滿足的函數(shù)關系為．故選：C．10．【解答】解：作出示意圖形，如下圖所示，根據(jù)題意，可得，在點F從D到C的運動過程中，與變大，且它們的夾角變小，可知變大，若F與C重合，則，，可得＝，由于點F在C、D之間，且不與C，D重合，所以∠AGD為銳角，當F與D無限接近時，趨近于0；當F與C無限接近時，趨近于，因此可得0＜＜，即的取值范圍是．故選：B．二．填空題（共5個小題，每題5分，共25分.請將正確答案填在答題卡相應的題號處）11．【解答】解：cos＝cos（π+）＝﹣cos＝﹣，故答案為﹣．12．【解答】解：向量均為單位向量，且＝﹣，那么．故答案為：．13．【解答】解：f（x）＝2cos2x﹣sinx，則＝×2﹣＝1；又﹣1≤sinx≤1，∴f（x）＝﹣2sin2x﹣sinx+2＝﹣2（sinx+）2+，當sinx＝1時，f（x）取得最小值，為﹣1．故答案為：1；﹣1．14．【解答】解：（1）n＝1時，函數(shù)f（x）＝sinx，對稱中心坐標為（kπ，0），k∈Z；（2）當n＝50時，f（x）＝sinnx＝sinx+sin2x+sin3x+...+sin50x，因為sinx的最小正周期為2π，sin2x的最小正周期為π，sin3x的最小正周期為，…，sin50x的最小正周期為，所以f（x）的最小正周期為2π，頻率為，的周期為，頻率為，所以f（x）比φ（x）的頻率低，故音調低．故答案為：（1）（kπ，0），k∈Z；（2）低．15．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，），，恒成立，∴可得sin（﹣+φ）＝0，﹣+φ＝k1π，k1∈Z，解得φ＝ω+k1π（k1∈Z）…（1）．由題意，可得f（）＝±1，即sin（+φ）＝±1，∴可得φ＝﹣+k2π+（k2∈Z）…（2）．由（1）、（2）可得，ω＝1+2（k2﹣k1），即ω＝2n+1，n∈Z，∴ω＝1，3，5，7．若ω＝1時，φ＝，f（x）＝sin（x+），滿足條件．若ω＝3時，φ＝，f（x）＝sin（3x+），滿足條件．若ω＝5時，φ＝﹣，f（x）＝sin（5x﹣），在區(qū)間（﹣，）上不單調，不滿足條件．當ω＝7時，φ＝﹣，且f（x）＝sin（7x﹣）區(qū)間（﹣，）上不單調，不滿足條件．綜上，f（x）＝sin（x+）或f（x）＝sin（3x+）．故選項①錯誤．由于x＝為函數(shù)的對稱軸，所以應有f（0）＝f（），故選項②正確．根據(jù)ω＝2n+1，n∈Z，可得選項③正確．由解答過程可得，ω＝1或ω＝3，故選項④正確．故答案為：②③④．三．解答題（共6個小題，共85分。請將解題過程和答案寫在答題卡相應的題號處）16．【解答】解：由題意得sinα＝，cosα＝，（I）所以sin（α+π）＝﹣sinα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣；（Ⅱ）若角β滿足，且角β為第三象限角，則sinβ＝﹣，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝﹣＝．17．【解答】解：函數(shù)f（x）＝+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x），（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T＝＝π；（2）令2k≤2x+≤2k，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，則函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．18．【解答】解：（1）由表格可知A＝2，T＝2×＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），因為f（）＝2sin（+φ）＝2，所以+φ＝+2kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）當x∈上時，t＝2x+∈[，]，因為y＝sint在[，]上單調遞減，在[，]上遞增，所以f（x）的最大值為2×sin＝2，又2sin＝，2sin＝﹣，所以f（x）的最小值為2sin＝﹣．（3）由x∈（0，π），得2x+∈（，），由f（x）＝2sin（2x+）＞﹣1，得sin（2x+）＞，所以2x+∈（，）∪（，），解得：x∈（0，）∪（，π）．19．【解答】解：（I）由題可知，f（x）＝＝，選擇①②：（1）因為，所以ω＝1，又因為，所以，；若選①③：因為，所以ω＝1，因為f（x）的最大值為m+＝，即m＝0，所以f（x）＝sin（2x+）+；若選②③：因為，所以，因為f（x）的最大值為m+＝，即m＝0，此時m不存在；（2）若選①②，令，則，所以，k∈Z，當k＝1，k＝2時，函數(shù)f（x）的零點為，因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上有且僅有1個零點，所以，所以t的取值范圍是；選擇①③：，令，則，k∈Z，或，k∈Z，所以，k∈Z，或，k∈Z，當k＝0時，函數(shù)f（x）的零點分別為，因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，t]上有且僅有1個零點，所以{t|}．20．【解答】解：（1）因為f（x）的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2，所以T＝4∴，∴，又時，g（x）取最小值，則，k∈Z，∴，k∈Z，又∵|φ|＜π，則，即，φ＝；（2）因為A＝1，所以，則，，，則，則，即向量與向量夾角的余弦值為；（3）因為P是f（x）上動點，，，，又∵恒成立，設，則，，則＝，易知在或處有最小值，在或處有最大值，所以當或時，有最小值，即當P在C或E時，有最小值，此時或，當P為時，，，，得，又A＞0，則，當P為時，，，∴，解得，綜上，，即A的取值范圍為．21．【解答】解：（Ⅰ）{﹣1，1，2}