試題PAGE1試題2024北京牛欄山一中高一（下）期中數(shù)學(xué)（120分鐘）2024.05第一部分（填空題共65分）一、填空題共15小題，其中1-10題，每小題4分，11-15題，每小題5分，共65分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為______．2.已知平面向量與共線，則______．3.設(shè)為復(fù)數(shù)，且（為虛數(shù)單位），則______．4.已知平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，將繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度得到，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．5.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，，則的最小值為______．6.已知平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E為線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F．若，，則______，______（答案用含，的式子表示）．7.已知非零向量，，滿足：，，，，則______．8.已知正方體的棱長為2，過體對角線的平面分別交棱，于F，E（如下圖所示），則四邊形面積的最小值為______．9.已知平面向量，，滿足，，則與的夾角為______．10.設(shè)常數(shù)使方程在閉區(qū)間上恰有三個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值為___________.11.寫出一組使得不等式成立的，，其中______，______．12.若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的最小正周期為______．13.從正方體的12條面對角線中選出k條，使得這k條面對角線所在直線兩兩異面，則k的最大值為______．14.我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形，如圖1，在一個(gè)棱長為2r的立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋（如圖2），我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家祖暅基于“勢冪既同則積不容異”這一觀點(diǎn)和對牟合方蓋性質(zhì)的研究，推導(dǎo)出了球體體積公式．設(shè)平行于水平面且與水平面距離為的平面為，則平面截牟合方蓋所得截面的形狀為______（填“正方形”或“圓形”），設(shè)半徑為r的球體體積為，圖2所示牟合方蓋體積為，則______．15.在邊長為1的正六邊形中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，，，，，以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，，，，．記，為的兩個(gè)三元子集，則的最大值為______；的最小值為______．第二部分（簡答題共85分）二、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知三角形中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．（1）求證：角B為鈍角；（2）若，，求三角形的面積．17.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在上的值域?yàn)椋偃簦髆值；②若，求m的取值范圍．（①②兩問直接寫出答案）18.已知復(fù)數(shù)，，其中．（1）求的值；（2）求的最大值并說明取得最大值時(shí)的取值集合．19.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程．（1）求的值；（2）設(shè)與是方程組兩組不同的解，其中．求證：．20.已知，其中．（1）當(dāng)，時(shí)，①任意寫出的一條對稱軸；②求證：；（2）若對任意，，求所能取到的最小值和最大值，并說明理由．21.已知為實(shí)數(shù)集的一個(gè)非空子集，稱是一個(gè)加法群，如果連同其上的加法運(yùn)算滿足如下四條性質(zhì)：①，；②，；③，，使得；④，，使得．例如是一個(gè)無限元加法群，是一個(gè)單元素加法群．（1）令，，分別判斷，是否為加法群，并說明理由；（2）已知非空集合，并且，有，求證：是一個(gè)加法群；（3）已知非空集合，并且，有，求證：存在，使得．

參考答案第一部分（填空題共65分）一、填空題共15小題，其中1-10題，每小題4分，11-15題，每小題5分，共65分，把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．1.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法直接進(jìn)行計(jì)算結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)椋栽搹?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.2.【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄颗c共線，所以，即，故答案為：3.【答案】【分析】令，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等的條件求解即可.【詳解】令，則根據(jù)題意可得，所以，即，所以，解得，所以，故答案為：4.【答案】【分析】由題意先確定模長與x軸夾角，進(jìn)而確定模長與x軸夾角即可求解.【詳解】由題意，所以與x軸夾角正弦值為，故，所以由題意與x軸夾角為，又，所以.故答案為：.5.【答案】3【分析】通過圖象確定點(diǎn)與點(diǎn)相差,即可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴糠謭D象如圖所示，且，，又因?yàn)椋渣c(diǎn)與點(diǎn)相差,故,

所以,所以的最小值為3.故答案為：3.6.【答案】①.②.【分析】對于，在中運(yùn)用向量加法法則計(jì)算即可；對于，先利用共線定理確定與關(guān)系即可根據(jù)幾何圖形邊的關(guān)系即可求解.【詳解】由題；設(shè)，因?yàn)?因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.故答案為：；.7.【答案】【分析】由，不妨設(shè)，再由，求得的坐標(biāo)求解.【詳解】解：因?yàn)椋环猎O(shè)，，由，得；由，得；所以，故答案為：8.【答案】【分析】過點(diǎn)作交于，設(shè)，通過求解即可.【詳解】過點(diǎn)作交于，設(shè).由題意知正方體棱長為2，即得.因?yàn)檎襟w對面平行，所以截面為平行四邊形，則，當(dāng)取最小值時(shí)四邊形的面積最小.易知的最小值為直線與直線間的距離.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，,與取等，即,所以為等腰三角形，所以為中點(diǎn).即.取中點(diǎn),連接.所以，且,所以,所以四邊形為矩形.所以所以所以.取得最小值，，所以.故四邊形面積的最小值為.故答案為：.9.【答案】【分析】根據(jù)條件求出，接著根據(jù)條件以及向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】由題，且，所以，所以，又，所以，即與的夾角為.故答案為：.10.【答案】【分析】利用輔助角公式得到方程的解的個(gè)數(shù)即為在上直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，得到答案.【詳解】∵，∴方程的解即為在上直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵，∴，令，畫出函數(shù)在上的圖象，如下：由圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個(gè)交點(diǎn).故答案為：11.【答案】①.②.(答案不唯一)【分析】任取，驗(yàn)證是否滿足即可得到結(jié)果.【詳解】在區(qū)間內(nèi)，取.則.，故，符合要求故答案為：;(答案不唯一).12.【答案】##【分析】由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性確定的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，即可求最小正周期.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，所以，且，解得，所以，所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為：.13.【答案】4【分析】先依次選定第一條、第二條面對角線結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析即可求解.【詳解】如圖，在面中選定一條面對角線，由正方體結(jié)構(gòu)特征剩余五個(gè)面內(nèi)均只剩一條面對角線與異面，但當(dāng)繼續(xù)選定第二條面對角線時(shí)，面與面中與異面的直線均與面對角線相交，故不符合，所以最終只剩最后兩個(gè)面的對角線可以與和兩兩異面，故k的最大值為4.故答案為：4.14.【答案】①.正方形；②.##【分析】由牟盒方蓋的定義以及祖暅原理求出“牟合方蓋”體積即可得解.【詳解】牟盒方蓋是由兩個(gè)直徑相等且相互垂直的圓柱體相交得到的，那么只要用水平面去截它們，所得的截面均為正方形，根據(jù)祖暅原理，圖2中正方體與“牟合方蓋”的八分之一之間空隙的截面面積與圖3中正四棱錐中陰影部分的面積相等，所以正方體與牟合方蓋的八分之一之間空隙的體積與正四棱錐體的體積相等，而正四棱錐體的體積，則圖1中的八分之一牟合方蓋的體積等于正方體的體積減去正四棱錐的體積所以個(gè)牟合方蓋的體積，則整個(gè)牟合方蓋的體積為，又半徑為的球體體積為，所以，故答案為：正方形；.15.【答案】①.5②.【分析】由“兩個(gè)向量模長越大、夾角越小則兩個(gè)向量的和向量的模長越大”結(jié)合可知正六邊形結(jié)構(gòu)特征可知的最大值為；由空1以及數(shù)量積概念可知對于，當(dāng)與達(dá)到最大時(shí)與此時(shí)方向相反，故此時(shí)達(dá)到最小值.【詳解】根據(jù)向量加法平行四邊形法則以及幾何意義可知：當(dāng)兩個(gè)向量夾角為銳角時(shí)，兩個(gè)向量模長越大、夾角越小則兩個(gè)向量的和向量的模長越大.所以由正六邊形結(jié)構(gòu)特征可知的最大值為，連接正六邊形交于點(diǎn)G，則由正六邊形結(jié)構(gòu)特征可知為正三角形，為其邊上的中線，且由正六邊形結(jié)構(gòu)特征，，，所以由題意以及余弦定理得：即，所以，，，所以，故由向量加法法則；由空1可知當(dāng)時(shí)最大，同理時(shí)最大，與此時(shí)方向相反，故此時(shí)達(dá)到最小值為.故答案為：5；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于明確的最大值為和的最大值為.第二部分（簡答題共85分）二、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．16.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由余弦定理以及三角形中角的范圍為即可證明.（2）根據(jù)已知條件依次求出角A、B、C，接著由正弦定理面積公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫郑越荁為鈍角.【小問2詳解】若，則由（1）可知，故，又，則由正弦定理得，又由（1）可知，故，所以，所以.故三角形的面積為.17.【答案】（1）（2）①；②【分析】（1）利用倍角公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化簡可得解析式：，利用周期公式即可得解；（2）由已知的范圍可得，，結(jié)合已知函數(shù)值域，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可分別求解①②.【小問1詳解】，.【小問2詳解】①時(shí)，由，可得，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t，即；②若函數(shù)值域?yàn)椋瑒t解得：，故m的范圍為.18.【答案】（1）3（2）；【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念以及復(fù)數(shù)乘法規(guī)則運(yùn)算即可.（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合降冪公式即可求解.【小問1詳解】由題；，所以.【小問2詳解】由題得，又，所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值為，故最大值為，此時(shí)的取值構(gòu)成的集合為.19.【答案】（1）2.（2）證明見解析.【分析】（1）利用已知條件化簡可得.(2)兩方程聯(lián)立進(jìn)行兩次消元得到一個(gè)關(guān)于的方程，一個(gè)關(guān)于的方程，利用韋達(dá)定理求證.【小問1詳解】【小問2詳解】由得：代入方程可得：，整理得：，有韋達(dá)定理可得：；由得：代入方程可得：，整理得：，由韋達(dá)定理可得：.所以，因?yàn)椋缘米C.20.【答案】（1）①一條對稱軸為（答案不唯一），②證明見解析.（2）最小值，最大值2.【分析】（1）利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題，判斷函數(shù)的對稱性和周期即可.（2）根據(jù)（1）所得周期和對稱性，令，則且，求對應(yīng)范圍，討論的范圍，結(jié)合，及（1）結(jié)論確定最值.【小問1詳解】①由，則，顯然，且，，所以為偶函數(shù)且關(guān)于對稱，周期為，所以一條對稱軸為（答案不唯一，）.②令，則，故，所以，則得證.【小問2詳解】由題設(shè)，同（1）作換元，則，則，故，當(dāng)，則在上恒成立，故，即，此時(shí)；當(dāng)，令，則，而，，若，必有，不合題設(shè)；若，必有，不合題設(shè)；結(jié)合（1）結(jié)論時(shí)，故最大值為2，再由時(shí)，故最小值為1.綜上，所能取到的最小值和最大值2.21.【答案】（1）是加法群，不是加法群（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合表示所有偶數(shù)，集合表示所有奇數(shù)，結(jié)合群的定義，判斷是否滿足條件即可；（2）取時(shí)，，進(jìn)而判斷①④即可；（3）根據(jù)性質(zhì)①和已知可得，設(shè)，且不能被整除，利用反證法證明即可.【小問1詳解】集合表示所有偶數(shù)，滿足①任意兩個(gè)偶數(shù)相加仍是偶數(shù)，②加法結(jié)合律，③，④偶數(shù)的相反數(shù)仍是偶數(shù)，所以是加法群；集合表示所有奇數(shù)，滿足②加法結(jié)合律，④奇數(shù)的相反數(shù)仍是奇數(shù)，不滿足①任意兩個(gè)奇數(shù)相加仍是奇數(shù)，②，所以不是加法群.【小問2詳解】因?yàn)榉强占希詽M足②結(jié)合律，根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)，，滿足條件③，則，有，滿足④，所以有，滿足①，綜上滿足①②③④，是一個(gè)加法群.【小問3詳解】由（2）可是是一個(gè)加法群，證明存在