試題PAGE1試題2024北京廣渠門中學高一（下）期中數學本試卷共2頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.在復平面內，復數對應的點的坐標是，則的共軛復數（）A. B.C. D.3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.44.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括（）A.一個圓臺、兩個圓錐 B.兩個圓柱、一個圓錐C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐5.在中，“”是“為等腰三角形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.若某圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，則它的表面積為（）A. B. C. D.7.函數是（）A.奇函數，且最小值為 B.奇函數，且最大值為C.偶函數，且最小值為 D.偶函數，且最大值為8.如圖所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長的線段是()A.AB B.AD C.BC D.AC9.已知，是單位向量，＝＋2，若⊥，則||＝（）A.3 B. C. D.10.已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內部的點構成的集合．設集合，則T表示的區域的面積為（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知復數滿足，則的虛部為______.12.已知函數，則______；若將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則函數的圖象的一個對稱中心為______.13.已知函數．若在區間上單調遞減，則的一個取值可以為_________．14.在中，，，．（1）若，則________；（2）當________（寫出一個可能的值）時，滿足條件的有兩個．15.如圖，在直三棱柱中，，，，，點在棱上，點在棱上，給出下列三個結論：①四棱錐的體積為定值；②三棱錐的體積的最大值為；③的最小值為.請寫出所有正確結論的序號______三、解答題共6小題，共85分.16.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求a的取值范圍．17.如圖，已知函數（）在一個周期內的圖象經過，，三點.（1）寫出，，的值；（2）若，且，求的值.18.已知滿足___________，且，，求的值及面積.從①②③這三個條件中選一個，補充上面的問題中，并完成解答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19.已知是邊長為2的等邊所在平面內一點，是的中點，是的中點.（1）當時，用，表示，，并求的值；（2）若時，求的取值范圍.20.某自然保護區為研究動物種群的生活習性，設立了兩個相距的觀測站A和B，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，，經過一段時間后，該動物種群出現在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，．（注：點A，B，C，D在同一平面內）（1）求的面積；（2）求點之間的距離．21.已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當時，設，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數k，使得方程至少有三組不同的解.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】D【分析】利用補集的定義可得正確的選項．【詳解】由補集定義可知：或，即，故選：D．2.【答案】D【分析】根據復數的幾何意義先求出復數，然后利用共軛復數的定義計算.【詳解】在復平面對應的點是，根據復數的幾何意義，，由共軛復數的定義可知，.故選：D3.【答案】A【分析】根據平面向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：A4.【答案】D【分析】根據旋轉體的概念，作出直觀圖，可得答案.【詳解】圖①是一個等腰梯形，為較長的底邊，以邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐，故選：D5.【答案】D【分析】根據得到或，充分性不成立，必要性可舉出反例，從而得到結論.【詳解】，則或，故或，故為等腰三角形或直角三角形，為等腰三角形，不一定推出，比如，此時不能得到，故“”是“為等腰三角形”的既不充分也不必要條件.故選：D6.【答案】C【分析】根據軸截面求出圓錐的底面半徑和母線，即可求出表面積.【詳解】因為圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，所以圓錐的底面半徑，且圓錐的母線，故它的表面積為.故選：C7.【答案】C【分析】根據題意可知定義域關于原點對稱，再利用同角三角函數之間的基本關系化簡可得，由三角函數值域即可得，即可得出結果.【詳解】由題可知，的定義域為，關于原點對稱，且，而，即函數為偶函數；所以，又，即，可得函數最小值為0，無最大值.故選：C8.【答案】D【詳解】因為A′B′與y′軸重合，B′C′與x′軸重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC為斜邊，故AB<AD<AC，BC<AC.故選D.9.【答案】C【分析】由⊥求得，再由求向量模的公式即可得解.【詳解】因，是單位向量，＝＋2，⊥，則，所以.故選：C10.【答案】B【分析】求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區域的面積.【詳解】設頂點在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因為，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內部，故其面積為故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，再判斷其虛部即可.【詳解】因為，所以，所以的虛部為.故答案為：12.【答案】①.②.（答案不唯一）【分析】用輔助角公式化簡得，代入即可求；由三角函數圖象的平移變換可得，再由三角函數的圖象性質可求得的圖象的一個對稱中心.【詳解】因為，所以；依題意，，令，得，所以的圖象的對稱中心為，令，得的圖象的一個對稱中心為.故答案為：；13.【答案】（不唯一）【分析】根據正弦型函數的單調性進行求解即可.【詳解】由，因為在區間上單調遞減，且，所以有，因此的一個取值可以為，故答案為：14.【答案】①.②.（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根據已知兩邊及一邊的對角求三角形解得情況，建立不等式求出的范圍即可得解.【詳解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因為,,所以當時，方程有兩解，即，取即可滿足條件（答案不唯一）故答案為：；6.15.【答案】①②【分析】對于①：根據∥平面可知四棱錐的高為定值，進而可得結果；對于②：分析可知的面積最大值為，三棱錐的最大值為2，即可得體積最大值；對于③：將翻折到與矩形共面，結合平面幾何性質分析最值.【詳解】對于①：因為∥平面，且，可知點到平面的距離相等，即四棱錐的高為定值，且底面為面積為定值，所以四棱錐的體積為定值，故①正確；對于②：因為點在棱上，且，可知當且僅當點與點重合時，的面積取到最大值，又因為點在棱上，且平面，可知當且僅當點與點重合時，三棱錐的高取到最大值2，所以三棱錐的體積的最大值為，故②正確；對于③：如圖將翻折到與矩形共面，連接交于點，此時取得最小值，因為，，則，可得，所以的最小值為，故③錯誤；故答案為：①②.三、解答題共6小題，共85分.16.【答案】（1）或（2）【分析】（1）首先得到集合，再根據補集、并集的定義計算可得；（2）依題意可得，分與兩種情況討論，分別得到不等式，解得即可；【小問1詳解】解：由題意當時得，因為，所以或，所以或．【小問2詳解】解：因為，所以，①當時，，解得，符合題意；．②當時，，解得．故的取值范圍為．17.【答案】（1），，（2）【分析】(1)結合已知條件和圖像的對稱關系可求，最小正周期，然后利用周期公式即可求，最后點代入求；(2)首先結合已知條件求出，然后結合的范圍求出的值即可求解.【小問1詳解】由已知條件及圖像可知，，，故，即，從而，由，故，，又因為，所以.【小問2詳解】由(1)中知，，故，因為，故，所以，即，故.18.【答案】選①，，；選②，不存在，故無解；選③，，.【分析】若選①，首先根據得到，利用正弦定理得到，再利用面積公式求解面積即可；若選②，根據，，，即可判斷此時不存在，故無解；若選③，首先根據，從而得到，根據得到，利用正弦定理得到，再利用面積公式求解面積即可.【詳解】若選①，，因為，所以.若選②，因為，，，所以，此時，不存在，故無解.若選③，，因為，所以，即.所以，因為，所以.19.【答案】（1），，（2）【分析】（1）根據平面向量線性運算法則表示出，，再由數量積的運算律計算可得；（2）建立平面直角坐標系，設，利用平面向量數量積的坐標表示、三角恒等變換公式及正弦函數的性質計算可得.【小問1詳解】依題意，，所以.【小問2詳解】如圖以為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，，設，所以，，所以，因為，所以，即.20.【答案】（1）;（2）．【分析】（1）由正弦定理求得的長，利用三角形面積公式，即可求得答案；（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.【小問1詳解】在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面積為．【小問2詳解】由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即點C，D之間的距離為．21.【答案】（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【分析】（1）①根據兩個元素之差為3，結合集合的元素，即可求得；②根據題意要求，寫出集合X中從小到大8個數中所有的差值（限定為正數）的可能，計算每個差值出現的次數，即可求得；（2）采用反證法，假設不存在滿足條件的k，根據差數的范圍推出矛盾即可.【詳解】（1）①方程的解有：.②以下規定兩數的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數中相鄰兩數的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數的兩數差（即上一列差數中相鄰兩數和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數的兩數差：6,9,8,9,6；中間相隔三數的兩數差：10,11,11,10；中間相隔四數的兩數差：12,14,12；中間相隔五數的兩