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試題PAGE1試題2024北京廣渠門中學高一(下)期中數學本試卷共2頁,150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上,在試卷上作答無效.第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.已知全集,集合,則()A. B. C. D.2.在復平面內,復數對應的點的坐標是,則的共軛復數()A. B.C. D.3.已知向量,,若,則()A. B. C. D.44.將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周,所得的幾何體包括()A.一個圓臺、兩個圓錐 B.兩個圓柱、一個圓錐C.兩個圓臺、一個圓柱 D.一個圓柱、兩個圓錐5.在中,“”是“為等腰三角形”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.若某圓錐的軸截面是邊長為的正三角形,則它的表面積為()A. B. C. D.7.函數是()A.奇函數,且最小值為 B.奇函數,且最大值為C.偶函數,且最小值為 D.偶函數,且最大值為8.如圖所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖,則在△ABC的三邊及中線AD中,最長的線段是()A.AB B.AD C.BC D.AC9.已知,是單位向量,=+2,若⊥,則||=()A.3 B. C. D.10.已知正三棱錐的六條棱長均為6,S是及其內部的點構成的集合.設集合,則T表示的區域的面積為()A. B. C. D.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.已知復數滿足,則的虛部為______.12.已知函數,則______;若將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象,則函數的圖象的一個對稱中心為______.13.已知函數.若在區間上單調遞減,則的一個取值可以為_________.14.在中,,,.(1)若,則________;(2)當________(寫出一個可能的值)時,滿足條件的有兩個.15.如圖,在直三棱柱中,,,,,點在棱上,點在棱上,給出下列三個結論:①四棱錐的體積為定值;②三棱錐的體積的最大值為;③的最小值為.請寫出所有正確結論的序號______三、解答題共6小題,共85分.16.已知集合,.(1)若,求;(2)若,求a的取值范圍.17.如圖,已知函數()在一個周期內的圖象經過,,三點.(1)寫出,,的值;(2)若,且,求的值.18.已知滿足___________,且,,求的值及面積.從①②③這三個條件中選一個,補充上面的問題中,并完成解答.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.19.已知是邊長為2的等邊所在平面內一點,是的中點,是的中點.(1)當時,用,表示,,并求的值;(2)若時,求的取值范圍.20.某自然保護區為研究動物種群的生活習性,設立了兩個相距的觀測站A和B,觀測人員分別在A,B處觀測該動物種群.如圖,某一時刻,該動物種群出現在點C處,觀測人員從兩個觀測站分別測得,,經過一段時間后,該動物種群出現在點D處,觀測人員從兩個觀測站分別測得,.(注:點A,B,C,D在同一平面內)(1)求的面積;(2)求點之間的距離.21.已知集合,集合是集合S的一個含有8個元素的子集.(1)當時,設,①寫出方程的解();②若方程至少有三組不同的解,寫出k的所有可能取值;(2)證明:對任意一個X,存在正整數k,使得方程至少有三組不同的解.
參考答案第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.【答案】D【分析】利用補集的定義可得正確的選項.【詳解】由補集定義可知:或,即,故選:D.2.【答案】D【分析】根據復數的幾何意義先求出復數,然后利用共軛復數的定義計算.【詳解】在復平面對應的點是,根據復數的幾何意義,,由共軛復數的定義可知,.故選:D3.【答案】A【分析】根據平面向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】因為,且,所以,解得.故選:A4.【答案】D【分析】根據旋轉體的概念,作出直觀圖,可得答案.【詳解】圖①是一個等腰梯形,為較長的底邊,以邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得幾何體為一個組合體,如圖②,包括一個圓柱、兩個圓錐,故選:D5.【答案】D【分析】根據得到或,充分性不成立,必要性可舉出反例,從而得到結論.【詳解】,則或,故或,故為等腰三角形或直角三角形,為等腰三角形,不一定推出,比如,此時不能得到,故“”是“為等腰三角形”的既不充分也不必要條件.故選:D6.【答案】C【分析】根據軸截面求出圓錐的底面半徑和母線,即可求出表面積.【詳解】因為圓錐的軸截面是邊長為的正三角形,所以圓錐的底面半徑,且圓錐的母線,故它的表面積為.故選:C7.【答案】C【分析】根據題意可知定義域關于原點對稱,再利用同角三角函數之間的基本關系化簡可得,由三角函數值域即可得,即可得出結果.【詳解】由題可知,的定義域為,關于原點對稱,且,而,即函數為偶函數;所以,又,即,可得函數最小值為0,無最大值.故選:C8.【答案】D【詳解】因為A′B′與y′軸重合,B′C′與x′軸重合,所以AB⊥BC,AB=2A′B′,BC=B′C′.所以在直角△ABC中,AC為斜邊,故AB<AD<AC,BC<AC.故選D.9.【答案】C【分析】由⊥求得,再由求向量模的公式即可得解.【詳解】因,是單位向量,=+2,⊥,則,所以.故選:C10.【答案】B【分析】求出以為球心,5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區域的面積.【詳解】設頂點在底面上的投影為,連接,則為三角形的中心,且,故.因為,故,故的軌跡為以為圓心,1為半徑的圓,而三角形內切圓的圓心為,半徑為,故的軌跡圓在三角形內部,故其面積為故選:B第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.【答案】【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡,再判斷其虛部即可.【詳解】因為,所以,所以的虛部為.故答案為:12.【答案】①.②.(答案不唯一)【分析】用輔助角公式化簡得,代入即可求;由三角函數圖象的平移變換可得,再由三角函數的圖象性質可求得的圖象的一個對稱中心.【詳解】因為,所以;依題意,,令,得,所以的圖象的對稱中心為,令,得的圖象的一個對稱中心為.故答案為:;13.【答案】(不唯一)【分析】根據正弦型函數的單調性進行求解即可.【詳解】由,因為在區間上單調遞減,且,所以有,因此的一個取值可以為,故答案為:14.【答案】①.②.(答案不唯一)【分析】(1)求出,再由余弦定理求解即可;(2)根據已知兩邊及一邊的對角求三角形解得情況,建立不等式求出的范圍即可得解.【詳解】(1),,,,由余弦定理,,即,解得.(2)因為,,所以當時,方程有兩解,即,取即可滿足條件(答案不唯一)故答案為:;6.15.【答案】①②【分析】對于①:根據∥平面可知四棱錐的高為定值,進而可得結果;對于②:分析可知的面積最大值為,三棱錐的最大值為2,即可得體積最大值;對于③:將翻折到與矩形共面,結合平面幾何性質分析最值.【詳解】對于①:因為∥平面,且,可知點到平面的距離相等,即四棱錐的高為定值,且底面為面積為定值,所以四棱錐的體積為定值,故①正確;對于②:因為點在棱上,且,可知當且僅當點與點重合時,的面積取到最大值,又因為點在棱上,且平面,可知當且僅當點與點重合時,三棱錐的高取到最大值2,所以三棱錐的體積的最大值為,故②正確;對于③:如圖將翻折到與矩形共面,連接交于點,此時取得最小值,因為,,則,可得,所以的最小值為,故③錯誤;故答案為:①②.三、解答題共6小題,共85分.16.【答案】(1)或(2)【分析】(1)首先得到集合,再根據補集、并集的定義計算可得;(2)依題意可得,分與兩種情況討論,分別得到不等式,解得即可;【小問1詳解】解:由題意當時得,因為,所以或,所以或.【小問2詳解】解:因為,所以,①當時,,解得,符合題意;.②當時,,解得.故的取值范圍為.17.【答案】(1),,(2)【分析】(1)結合已知條件和圖像的對稱關系可求,最小正周期,然后利用周期公式即可求,最后點代入求;(2)首先結合已知條件求出,然后結合的范圍求出的值即可求解.【小問1詳解】由已知條件及圖像可知,,,故,即,從而,由,故,,又因為,所以.【小問2詳解】由(1)中知,,故,因為,故,所以,即,故.18.【答案】選①,,;選②,不存在,故無解;選③,,.【分析】若選①,首先根據得到,利用正弦定理得到,再利用面積公式求解面積即可;若選②,根據,,,即可判斷此時不存在,故無解;若選③,首先根據,從而得到,根據得到,利用正弦定理得到,再利用面積公式求解面積即可.【詳解】若選①,,因為,所以.若選②,因為,,,所以,此時,不存在,故無解.若選③,,因為,所以,即.所以,因為,所以.19.【答案】(1),,(2)【分析】(1)根據平面向量線性運算法則表示出,,再由數量積的運算律計算可得;(2)建立平面直角坐標系,設,利用平面向量數量積的坐標表示、三角恒等變換公式及正弦函數的性質計算可得.【小問1詳解】依題意,,所以.【小問2詳解】如圖以為坐標原點,建立平面直角坐標系,則,,,設,所以,,所以,因為,所以,即.20.【答案】(1);(2).【分析】(1)由正弦定理求得的長,利用三角形面積公式,即可求得答案;(2)求出和,由余弦定理即可求得答案.【小問1詳解】在中,,,所以.由正弦定理:,得,所以,,所以的面積為.【小問2詳解】由,,得,且,.在中由余弦定理,得,所以.即點C,D之間的距離為.21.【答案】(1)①②4,6.(2)證明見詳解.【分析】(1)①根據兩個元素之差為3,結合集合的元素,即可求得;②根據題意要求,寫出集合X中從小到大8個數中所有的差值(限定為正數)的可能,計算每個差值出現的次數,即可求得;(2)采用反證法,假設不存在滿足條件的k,根據差數的范圍推出矛盾即可.【詳解】(1)①方程的解有:.②以下規定兩數的差均為正,則:列出集合X的從小到大8個數中相鄰兩數的差:1,3,2,4,2,3,1;中間隔一數的兩數差(即上一列差數中相鄰兩數和):4,5,6,6,5,4;中間相隔二數的兩數差:6,9,8,9,6;中間相隔三數的兩數差:10,11,11,10;中間相隔四數的兩數差:12,14,12;中間相隔五數的兩
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