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試題PAGE1試題2024北京北師大燕化附中高一(下)期中數(shù)學(xué)本試卷共5頁,150分,考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效.考試結(jié)束后,將本試卷自行保留,答題卡上交.一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.若角的終邊過點,則的值為()A. B. C. D.2.向量,,若⊥,則()A. B. C. D.3.如果,那么與角終邊相同的角的集合可以表示為()A. B.C. D.4.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A. B. C. D.5.要得到函數(shù)的圖象,只要把函數(shù)的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位6.《九章算術(shù)》是我國算術(shù)名著,其中有這樣的一個問題:“今有宛田,下周三十步,徑十六步.問為田幾何?”意思是說:“現(xiàn)有扇形田,弧長30步,直徑16步,問面積是多少?”在此問題中,扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A. B. C. D.1207.若非零向量滿足,則必有()A. B. C. D.8.在△ABC中,若,則△ABC為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,則的取值范圍是()A. B.C. D.10.如圖,在四邊形中,為線段的中點,為線段上一動點(包括端點),且,則下列說法錯誤的是()A.B.若為線段的中點,則C.的最小值為D.的最大值比最小值大第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.函數(shù)的定義域為______.12.已知向量,,那么______.13.已知命題若為第一象限角,且,則.能說明p為假命題的一組的值為__________,_________.14.記函數(shù)的最小正周期為T,若,為的零點,則T的最大值為______.15.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”稱號,他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過x的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù),例如,.已知函數(shù),函數(shù),則下列4個命題中①函數(shù)不是周期函數(shù);②函數(shù)的值域是;③函數(shù)的圖象關(guān)于對稱;④方程只有一個實數(shù)根;其中全部正確結(jié)論的序號是______.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.已知,與的夾角是.(1)求的值及的值;(2)當(dāng)為何值時,?17.已知,.(1)求的值;(2)求的值.18.設(shè)函數(shù),.(1)求的最小正周期;(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間.19.已知函數(shù).(1)求的值;(2)已知.(ⅰ)求的最值及相應(yīng)的值;(ⅱ)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.如圖,某公園摩天輪的半徑為40m,圓心O距地面的高度為50m,摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動,每轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上的點P的起始位置在距地面最近處.(1)已知在時點距離地面的高度為.求時,點距離地面的高度;(2)當(dāng)離地面m以上時,可以看到公園的全貌,求轉(zhuǎn)一圈中在點處有多少時間可以看到公園的全貌.21.已知非常數(shù)函數(shù)的定義域為,如果存在正數(shù),使得,都有恒成立,則稱函數(shù)具有性質(zhì)T.(Ⅰ)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)T?并說明理由;①;②.(Ⅱ)若函數(shù)具有性質(zhì)T,求的最小值;(Ⅲ)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)T,且存在,使得,都有成立,求證:是周期函數(shù).
參考答案一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【分析】求出到原點的距離,根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得答案.【詳解】由題意角的終邊過點,則,故,故選:C2.【答案】D【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到方程,求出答案.【詳解】由題意得,解得.故選:D3.【答案】A【分析】根據(jù)角終邊相同的角的集合為即可得答案.【詳解】因為與角終邊相同的角的集合為,故當(dāng)時,角終邊相同的角的集合可以表示為.故選:A【點睛】方法點睛:角終邊相同的角的集合為4.【答案】A【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可求解.【詳解】對于A,為奇函數(shù),且為單調(diào)遞增的冪函數(shù),故A正確,對于B,為非奇非偶函數(shù),故不符合,對于C,為反比例函數(shù),在和均為單調(diào)遞增函數(shù),但在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增,故不符合,對于D,在單調(diào)遞增,但在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增,故不符合,故選:A5.【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移的原則即可得到答案.【詳解】,則把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位即可.故選:D6.【答案】A【分析】根據(jù)扇形面積公式得到面積為120步,設(shè)出扇形圓心角,根據(jù)求出扇形圓心角.【詳解】因為直徑16步,故半徑為步,(平方步),設(shè)扇形的圓心角為,則,即.故選:A7.【答案】B【分析】由可得,即可判斷ACD選項;由于即可判斷B選項【詳解】因為,所以,因為,所以,故得不到,和,故ACD錯誤,因為,所以,故B正確,故選:B8.【答案】D【分析】利用和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì),可得,討論、情況下,判斷△ABC對應(yīng)形狀.【詳解】由題意,,又,∴,即,,∴當(dāng)時,;當(dāng)時,,又,則;∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選:D9.【答案】D【分析】分討論,求出的范圍,根據(jù)在范圍內(nèi)建立不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時,,由題意知,,即,當(dāng)時,,由題意知,,即,的取值范圍是,故選:D10.【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,作出輔助線,利用相似求出邊長,求出點的坐標(biāo),進(jìn)而利用向量解決四個選項.【詳解】以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,過點C作CG⊥x軸于點G,作CH⊥y軸于點H,過點B作BM⊥CH交HC的延長線于點M,則,因為,所以,設(shè),則,則,,則,即,解得:或(舍去),則,,,A說法正確;若為線段的中點,則,所以,則,解得:,則,B說法正確;設(shè),則,故當(dāng)時,取得最小值,故最小值為,C選項說法錯誤;,則,因為,則,所以,解得:,,所以的最大值比最小值大,D說法正確.故選:C第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分.11.【答案】【分析】定義域滿足.【詳解】的定義域滿足,即.故答案為:.12.【答案】【分析】首先求出的坐標(biāo),再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為,,所以,所以.故答案為:13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳解】因為在上單調(diào)遞增,若,則,取,則,即,令,則,因為,則,即,則.不妨取,即滿足題意.故答案為:.14.【答案】【分析】首先表示出,根據(jù)求出,再根據(jù)為函數(shù)的零點,即可求出的最小值,從而得的最大值;【詳解】因為,所以最小正周期,因為,又,所以,即,又為的零點,所以,解得,因為,所以當(dāng)時,,所以的最大值為.故答案為:15.【答案】②④【分析】先研究函數(shù)的奇偶性,作出函數(shù)的圖象,作出函數(shù)的圖象判斷①②的正確性,由特值判斷③的正確性,再分類討論判斷方程的根的個數(shù)得解.【詳解】函數(shù)的定義域為R,因為,所以為偶函數(shù),當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以函數(shù)的圖象如下圖所示由可知,在內(nèi),,當(dāng),Z時,,當(dāng),且,Z時,,當(dāng)或,Z時,,因為,所以為偶函數(shù),則函數(shù)的圖象如下圖所示:由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù),故選項①不正確;所以函數(shù)的值域是,故選項②正確;由,,所以函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱,故選項③不正確;對于方程,當(dāng)時,方程有一個實數(shù)根,當(dāng)時,,此時,方程沒有實數(shù)根,當(dāng)時,,此時,方程沒有實數(shù)根,所以方程只有一個實數(shù)根,故④正確.故答案為:②④【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的圖象和性質(zhì),進(jìn)而利用高斯函數(shù)的定義可得函數(shù)的性質(zhì)即得.三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.【答案】(1),;(2).【分析】(1)由定義求出數(shù)量積,再利用模長公式及向量數(shù)量積的運(yùn)算律即得;(2)由于,可得,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,即可求解.【小問1詳解】∵,與的夾角是,∴,;【小問2詳解】由題意,,即,解得,即時,.17.【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出,再根據(jù)兩角差的正弦公式求解;(2)先求出,再根據(jù)兩角差的正切公式求解.【小問1詳解】因為,,所以,所以;【小問2詳解】因為,,所以,所以.18.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)周期公式計算即得;(2)將看成整體,利用正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出不等式組,求解即得.【小問1詳解】由可得,故函數(shù)的最小正周期為;【小問2詳解】由,得,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.19.【答案】(1)(2)(?。?,最大值,,最小值0;(ⅱ)【分析】(1)將直接代入表達(dá)式即可求解;(2)利用二倍角公式化簡得,(?。┯桑瑒t,利用整體代換法從而可求解;(ⅱ)由(?。┛傻茫瑥亩汕蠼?【小問1詳解】.【小問2詳解】,(ⅰ)由,得,所以,所以,當(dāng)時,即時,,當(dāng)時,即時,,(ⅱ)由(ⅰ)結(jié)論可得,所以,所以,即的取值范圍是.20.【答案】(1)(2)轉(zhuǎn)一圈中在點處有的時間可以看到公園的全貌.【分析】(1)根據(jù)題意,確定的表達(dá)式,代入運(yùn)算即可;(2)要求,即,解不等式即可.【小問1詳解】依題意知,,,,由,解得,所以,因為,所以,又,所以,所以,所以,即時點距離地面的高度為;【小問2詳解】令,即,解得,即,又,所以轉(zhuǎn)一圈中在點處有的時間可以看到公園的全貌.21.【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【分析】(Ⅰ)利用反證法和函數(shù)的周期性的定義,即可作出結(jié)論.(Ⅱ)由函數(shù)具有性質(zhì)T,轉(zhuǎn)化為存在正數(shù),使得,都有恒成立.利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求解.(Ⅲ)由題意得出存在正數(shù),使得,恒成立,即,以此類推可得.利用函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】(Ⅰ)函數(shù)不具有性質(zhì)T,函數(shù)具有性質(zhì)T.理由如下:①假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)T,即存在正數(shù),使得恒成立.則對恒成立.所以此方程組無解,與存在正數(shù)矛盾.所以函數(shù)不具有性質(zhì)T.②取,則,即對恒成立.所以函數(shù)具有性質(zhì)T.(Ⅱ)因為函數(shù)具有性質(zhì)T,所以存在正數(shù),使得,都有恒成立.令,則對恒成立.若,取,則,矛盾;若,取,則,即,矛盾;所以.則當(dāng)且僅當(dāng)時,對恒成立.因為,所以.所以當(dāng)時,函數(shù)具有性質(zhì)T.所以的最小值是.(Ⅲ)因為函數(shù)具有性質(zhì)T,所以存在正數(shù),使得,恒成立.所以,以此類
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