試題PAGE1試題2024北京北師大燕化附中高一（下）期中數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷自行保留，答題卡上交．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.2.向量，，若⊥，則（）A. B. C. D.3.如果，那么與角終邊相同的角的集合可以表示為（）A. B.C. D.4.下列函數(shù)在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.5.要得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位6.《九章算術(shù)》是我國(guó)算術(shù)名著，其中有這樣的一個(gè)問(wèn)題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步．問(wèn)為田幾何？”意思是說(shuō)：“現(xiàn)有扇形田，弧長(zhǎng)30步，直徑16步，問(wèn)面積是多少？”在此問(wèn)題中，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.1207.若非零向量滿足，則必有（）A. B. C. D.8.在△ABC中，若，則△ABC為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10.如圖，在四邊形中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.若為線段的中點(diǎn)，則C.的最小值為D.的最大值比最小值大第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．12.已知向量，，那么______.13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明p為假命題的一組的值為_(kāi)_________，_________．14.記函數(shù)的最小正周期為T(mén)，若，為的零點(diǎn)，則T的最大值為_(kāi)_____.15.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如，.已知函數(shù)，函數(shù)，則下列4個(gè)命題中①函數(shù)不是周期函數(shù)；②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；④方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是______.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.已知，與的夾角是.（1）求的值及的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，？17.已知，．（1）求的值；（2）求的值．18.設(shè)函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.19.已知函數(shù)．（1）求的值；（2）已知．（ⅰ）求的最值及相應(yīng)的值；（ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，圓心O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在距地面最近處.（1）已知在時(shí)點(diǎn)距離地面的高度為.求時(shí)，點(diǎn)距離地面的高度；（2）當(dāng)離地面m以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)處有多少時(shí)間可以看到公園的全貌.21.已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖谡龜?shù)，使得，都有恒成立，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)T.（Ⅰ）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)T？并說(shuō)明理由;①；②.（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)T，求的最小值;（Ⅲ）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)T，且存在，使得，都有成立，求證：是周期函數(shù).

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】A【分析】求出到原點(diǎn)的距離，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得答案.【詳解】由題意角的終邊過(guò)點(diǎn)，則,故，故選：C2.【答案】D【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，解得.故選：D3.【答案】A【分析】根據(jù)角終邊相同的角的集合為即可得答案.【詳解】因?yàn)榕c角終邊相同的角的集合為，故當(dāng)時(shí)，角終邊相同的角的集合可以表示為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：角終邊相同的角的集合為4.【答案】A【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可求解.【詳解】對(duì)于A，為奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增的冪函數(shù)，故A正確，對(duì)于B，為非奇非偶函數(shù)，故不符合，對(duì)于C，為反比例函數(shù)，在和均為單調(diào)遞增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，故不符合，對(duì)于D，在單調(diào)遞增，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，故不符合，故選：A5.【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移的原則即可得到答案.【詳解】，則把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位即可.故選：D6.【答案】A【分析】根據(jù)扇形面積公式得到面積為120步，設(shè)出扇形圓心角，根據(jù)求出扇形圓心角.【詳解】因?yàn)橹睆?6步，故半徑為步，（平方步），設(shè)扇形的圓心角為，則，即．故選：A7.【答案】B【分析】由可得，即可判斷ACD選項(xiàng)；由于即可判斷B選項(xiàng)【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕实貌坏剑停蔄CD錯(cuò)誤，因?yàn)椋裕蔅正確，故選：B8.【答案】D【分析】利用和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，可得，討論、情況下，判斷△ABC對(duì)應(yīng)形狀.【詳解】由題意，，又，∴，即，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，則；∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選：D9.【答案】D【分析】分討論，求出的范圍，根據(jù)在范圍內(nèi)建立不等式求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由題意知，，即，當(dāng)時(shí)，，由題意知，，即，的取值范圍是，故選：D10.【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作出輔助線，利用相似求出邊長(zhǎng)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量解決四個(gè)選項(xiàng).【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CH交HC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則，因?yàn)椋裕O(shè)，則，則，，則，即，解得：或（舍去），則，，，A說(shuō)法正確；若為線段的中點(diǎn)，則，所以，則，解得：，則，B說(shuō)法正確；設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，故最小值為，C選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；，則，因?yàn)椋瑒t，所以，解得：，，所以的最大值比最小值大，D說(shuō)法正確.故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】定義域滿足.【詳解】的定義域滿足，即.故答案為：.12.【答案】【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋裕?故答案為：13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)椋瑒t，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.14.【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的最小值，從而得的最大值；【詳解】因?yàn)椋宰钚≌芷冢驗(yàn)椋郑裕矗譃榈牧泓c(diǎn)，所以，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：15.【答案】②④【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷①②的正確性，由特值判斷③的正確性，再分類(lèi)討論判斷方程的根的個(gè)數(shù)得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如下圖所示由可知，在內(nèi)，，當(dāng)，Z時(shí)，，當(dāng)，且，Z時(shí)，，當(dāng)或，Z時(shí)，，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，則函數(shù)的圖象如下圖所示：由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)①不正確；所以函數(shù)的值域是，故選項(xiàng)②正確；由，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)③不正確；對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故④正確.故答案為：②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而利用高斯函數(shù)的定義可得函數(shù)的性質(zhì)即得.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）由定義求出數(shù)量積，再利用模長(zhǎng)公式及向量數(shù)量積的運(yùn)算律即得；（2）由于，可得，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解．【小問(wèn)1詳解】∵，與的夾角是，∴，；【小問(wèn)2詳解】由題意，，即，解得，即時(shí)，.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）先求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式求解；（2）先求出，再根據(jù)兩角差的正切公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕裕弧拘?wèn)2詳解】因?yàn)椋裕?18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)周期公式計(jì)算即得；（2）將看成整體，利用正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出不等式組，求解即得.【小問(wèn)1詳解】由可得，故函數(shù)的最小正周期為；【小問(wèn)2詳解】由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.19.【答案】（1）（2）（ⅰ），最大值，，最小值0；（ⅱ）【分析】（1）將直接代入表達(dá)式即可求解；（2）利用二倍角公式化簡(jiǎn)得，（ⅰ）由，則，利用整體代換法從而可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可得，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】，（ⅰ）由，得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，（ⅱ）由（ⅰ）結(jié)論可得，所以，所以，即的取值范圍是．20.【答案】（1）（2）轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)處有的時(shí)間可以看到公園的全貌.【分析】（1）根據(jù)題意，確定的表達(dá)式，代入運(yùn)算即可；（2）要求，即，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】依題意知，，，，由，解得，所以，因?yàn)椋裕郑裕裕裕磿r(shí)點(diǎn)距離地面的高度為；【小問(wèn)2詳解】令，即，解得，即，又，所以轉(zhuǎn)一圈中在點(diǎn)處有的時(shí)間可以看到公園的全貌.21.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）利用反證法和函數(shù)的周期性的定義，即可作出結(jié)論.（Ⅱ）由函數(shù)具有性質(zhì)T，轉(zhuǎn)化為存在正數(shù)，使得，都有恒成立.利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.（Ⅲ）由題意得出存在正數(shù)，使得，恒成立，即，以此類(lèi)推可得.利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)不具有性質(zhì)T，函數(shù)具有性質(zhì)T.理由如下：①假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)T，即存在正數(shù)，使得恒成立.則對(duì)恒成立.所以此方程組無(wú)解，與存在正數(shù)矛盾.所以函數(shù)不具有性質(zhì)T.②取，則，即對(duì)恒成立.所以函數(shù)具有性質(zhì)T.（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)T，所以存在正數(shù)，使得，都有恒成立.令，則對(duì)恒成立.若，取，則，矛盾；若，取，則，即，矛盾；所以.則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)具有性質(zhì)T.所以的最小值是.（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)T，所以存在正數(shù)，使得，恒成立.所以，以此類(lèi)