第06講向量法求空間角（含探索性問題）

目錄

第一部分：知識點必背................................................1

第二部分：高考真題回歸..............................................2

第三部分：高頻考點一遍過............................................7

高頻考點一：異面直線所成的角.....................................7

角度1：求異面直線所成角.......................................7

角度2：根據異面直線所成角求參數..............................13

高頻考點二：直線與平面所成的角..................................24

角度1：求直線與平面所成角（定值問題）........................24

角度2：求直線與平面所成角（最值，范圍問題）..................30

角度3：已知線面角求其他參數（探索性問題）...................38

高頻考點三：二面角..............................................60

角度1：求平面與平面所成角（定值問題）........................60

角度2：求平面與平面所成角（最值問題）........................69

角度3：已知二面角求其他參數（探索性問題）...................77

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第一部分：知識點必背

知識點一：異面直線所成角

設異面直線4和所成角為6,其方向向量分別為1，k則異面直線所成角向量求法:

?—U-V

①cos<u,v>=———

②cos，=|cos<u,v>\

知識點二：直線和平面所成角

設直線/的方向向量為Z，平面a的一個法向量為直線/與平面a所成的角為。，則①

一一a,n

cos<a.n>-―—―；

l?hI

②sin，=|cos<a,n>\-

知識點三：平面與平面所成角（二面角）

（1）如圖①，AB,CD是二面角a-/的兩個面內與棱/垂直的直線，則二面角的大小6=<五瓦麗〉.

（2）如圖②③，后分別是二面角a-/-￡的兩個半平面見夕的法向量，則二面角的大小。滿足:

nx-n2

?cos<n^n2>=

I?1ll?2I

②cos0=+cos<n2>

若二面角為銳二面角（取正）,貝!]cos￡=|cosV弭,〃2>1;

若二面角為頓二面角（取負），貝h05夕=一|85<〃1，%>|；

（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是

鈍二面角.）

第二部分：高考真題回歸

1.（2023?全國（新高考n卷）?統考高考真題）如圖，三棱錐/-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

NADB=ZADC=60°,E為BC的中點.

AF

(1)證明：BC±DA；

(2)點尸滿足麗=方，求二面角。-48-尸的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；

(2的

3

【詳解】(1)連接/瓦?！?因為￡為3c中點，DB=DC,所以DEL8C①，

因為。/ZADB=ZADC=60°,所以A/CD與△48。均為等邊三角形,

:.AC=AB,從而NE_L3C②，由①②，AEClDE=E,u平面4DE,

所以，3cl平面4DE,而/Ou平面NDE,所以3C_LZX4.

(2)不妨設DA=DB=DC=2,■：BD1CD,BC=272,DE=AE=72.

AE2+DE2=4=AD2，AEA.DE,又；4E工BC,DEC\BC=E,u平面BCD/E_L平面3co.

以點E為原點，E。即，功所在直線分別為x,八z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設D(C,0,0),Z(0,0,V2),5(0,V2,0),￡(0,0,0),

設平面Z)4B與平面NB尸的一個法向量分別為4=a，x，zj,%=(%,%,z?),

二面角D-N8-尸平面角為。，而48=(0,啦,-行)，

因為麗=刀=卜后,0,也)，所以尸卜后,0,后)，即有萬;=卜0,0,0卜

,+A/2Z.=0-

L，取無1=1,所以"1=(1,1,1)；

_J2Z|=O

--\/2z,=0一

,取%=1，所以％=(0,1,1),

,=0

所以，|cose\=Pip=r=r-2r-=,Affijsin0=J1--=—.

同同<3x723V93

所以二面角尸的正弦值為包.

3

2.(2023?全國(新高考I卷)?統考高考真題)如圖，在正四棱柱/BCD-45GA中，N8=2,44=4.點

/2,32?2，￡)2分另4在棱^4,8旦<。］,")］上，AA2-\,BB2-DD2-2,CC2-3.

⑴證明：B2C2//A2D2.

(2)點尸在棱AS1上，當二面角P-4c2-3為150。時，求星P.

【答案】(1)證明見解析；

(2)1

【詳解】(])以c為坐標原點，CD,CB,cq所在直線為x,%z軸建立空間直角坐標系，如圖,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B式0,2,2),D式2,0,2),4(2,2,1),

“=(0,-2,1),AJ)2=(0,-2,1),

B2C^,//A2D2,

又82c2,43不在同一條直線上，

:.B2C2//A2D2.

(2)設夕(022)(0<2<4),

則而二(—2,—2,2),阻=(0,—2,3—2),D^(-2,O,1)，

設平面■?4G的法向量〃=(XJ,Z),

現=-2x-2y+2z=0

、［H-PQ=-2y+(3-A)z=O,

令z=2,得y=3-4,x=X-l,

n—(4—1,3—2,2),

(Q,

設平面A2C2D2的法向量加=ac),

m?AC=-2a-2b+2c=0

則—上??，

mD2C2=-2a+c=0

令。=1,得6=l,c=2,

/.m=(1,1,2),

I/__In-m6G

1COS(n,m)\==ii=r=LI==|cosl50°|=-—,

\八n||m網4+(f+(3f112

化簡可得，A2-42+3=0，

解得X=1或幾=3,

.?.尸(0,2,1)或尸(0,2,3),

3.(2022?天津?統考高考真題)直三棱柱ABC~431G中，AA{=ABAC^2,AA,1AB,AC工AB,D為

的中點，E為的中點，F為C。的中點.

(1)求證：〃平面/3C；

(2)求直線BE與平面CQD所成角的正弦值;

⑶求平面4CD與平面CCQ夾角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)t

(3)f

【詳解】（1）證明：在直三棱柱ABC-44G中，AAtl平面,且NC，N8,則4。14￡

以點4為坐標原點，"/、4鳥、4G所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則/（2,0,0）、3（2,2,0）、C（2,0,2）、4（0,0,0）、耳（0,2,0）、￡（0,0,2）、。（0,1,0）、￡（1,0,0）、尸卜

則麗

易知平面48c的一個法向量為帚=（1,0,0）,則而晶=0，故方_1_記，

斯（Z平面4BC,故EF〃平面48c.

（2）解：*=（2,0,0）,電=（0,1,-2）,麗=（1,2,0）,

設平面CG。的法向量為■=(%，九%)，則,裊一?二n

\uCXD=%一2馬=0

—?EB,u4

取弘=2,可得￡=(0,2,1),cos<^,W>=^?=-.

4

因此，直線BE與平面CC|D夾角的正弦值為

（3）解：京=（2,0,2）,1^=（0,1,0）,

設平面A.CD的法向量為3=（%,力，4），則黃=2%+產2=0,

、）[v-A1D=y2=0

——-u,v1Jl0

?。?1,可得v=（l,。,-1）,則c°s<“，>葉一無五=-記

因此，平面4。與平面CQ。夾角的余弦值為畫.

10

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：異面直線所成的角

角度1:求異面直線所成角

典型例題

例題1.（2023?河南洛陽?洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）如圖四棱錐P-4BCD中，底面48CD

為正方形，且各棱長均相等，E是心的中點，則異面直線ZE與尸C所成角的余弦值為（）

A.5B."C.-D.y

6332

【答案】A

【詳解】連接ZC與8。交于點。，連接尸。，

由題意得，AC1BD,且尸。工平面4BCD,

以。點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

可得N（"0,0）,￡,外一也0,0）尸（）,0,也）,

貝I」次=「在乎與,小卜在o,甫,

I22J

設異面直線AE與尸。所成角為。,

^AE-PC

則cos0=|cos(^E,PC)|

I^IIPC!6

故選：A.

例題2.(2023?全國?模擬預測)如圖，在直三棱柱48C-44。中，AA,=AC=AB=2,BC=2也，Q

為4月的中點，E為/。的中點，尸為8G的中點，則異面直線3E與NF所成角的余弦值為()

4^39RA/39rV3n

A?-----D.----L.----U,

39393

【答案】B

【詳解】在直三棱柱/BC-44cl中N4=/C=/B=2,8c=2四，

所以/C2+Ag2=5c2,即/C_LA8,

又//1■1~平面/BC，NB,/Cu平面/8C,所以AAX±AB,

如圖建立空間直角坐標系，則4(0,0,0),5(2,0,0),G(0,2,2),0(1,0,2),“；,()“，尸(1,1,1),

所以#=(1,1,1),麗

/~7T,~^D\4F,EBy/39

所以8sMm=阿閩二方，

即異面直線BE與AF所成角的余弦值為叵.

39

故選：B

例題3.（2023?廣東?統考模擬預測）已知正四棱錐P-/8CD的側棱長為2,底面邊長為幾，點￡在

射線尸。上，F,G分別是8C,尸。的中點，則異面直線ZE與/G所成角的余弦值的最大值為（）

AV6RV?rVTon2A/5

3455

【答案】C

【詳解】如圖，連接NC、BD交于O,連接尸O.

因為尸，G分別是2C,PC的中點，所以FG/IPB,

則AE與FG所成的角即是NE與PB所成的角，設4E與PB所成的角為6.

由題意知，OA,OB,。尸兩兩互相垂直，

分別以ON，OB,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則尸（0,0,1）,。（0,_后0）,5（0,73.0）,/（百,0,0）,

由法=力防得網0,一6九1一河（八0），

所以冠=卜鳳⑨1,1_孫麗=（0,后-1）,

AEPB|22+1|

所以COS。=

阿H麗|2亞以2一;1+2

4萬+42+1-3(22+1)(22-3)

令〃彳）=,則/'(")=

2A2-2+2

a

當0＜幾＜：時，r（2）＞o,/'（彳）單調遞增，

a

當力〉;時，/'（4＜0,/P）單調遞減，

所以當4=1時，/（彳）取得最大值，此時cos。也取得最大值乎.

故選：C.

例題4.(2023?江西鷹潭?貴溪市實驗中學?？寄M預測)如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面4BC。是

菱形，平面4BCD,ZBAD=12Q°,PA=AB,點M是8C的中點，點N是PD上不與端點重合的動

點，則異面直線與CN所成角的正切值最小為()

A.—B."C.—D."

2369

【答案】C

【詳解】如圖所示，連接/C.由題得/4BC=60°,所以“3C是等邊三角形，所以//_L3C.

因為P/工平面/BCD,所以尸/，/民尸以A為空間直角坐標系的原點，建立如圖所示的空間直角坐標

系.設尸/=/8=2.

則〃(省,0,0),/(0,0,0),.?.亞=(60,0).

由題得C(6,1,0),0(0,2,0),;.E=(-81,0),

0(0,2,0),P(0,0,2),.-.DP=(0,-2,2).

設麗=2麗=2(0,-2,2)=(0,-22,22).(0<A<l)

所以函=函+麗=(=/^,1-2九22).

設異面直線AM與CN所成角為。,

|4M-CN|3

則cos。=

\AM^CN\省.j3+(l-2Zy+4萬2V222-A+l-

當彳=，時，cos。最大為，正，此時。最小，tan。最小值為逅

476

故選：C

AZ

例題5.(2023?遼寧丹東?統考二模)如圖，平行六面體48co-4用G。的所有棱長都相等，平面，

平面48CD,二面角ND-C的大小為120。，E為棱G2的中點.

(2)點E在棱CG上，AE//平面BDF,求直線ZE與DE所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

【詳解】(1)(1)因為平面CD3G，平面43cD,且兩平面交線為DC,ADLOC,ADu平面/8。,

所以平面CD。?,所以/DQC是二面角。一/。一C的平面角，故

ZDtDC=120,

連接。E,￡為棱GA的中點，則。￡，G2，CQ"/CZ),從而DEICD.

又/￡>_LCD,DEcAD=D,。及4Du平面/￡￡),所以CD_L平面NED,u平面/項)，因此CO_L4E.

(2)解法1：設/B=2,則。E==6所以CE=AE=dAD?+DE。=V7?

連/C交8。于點。，連接CE交。尸于點G,連OG.因為/E〃平面ADF,4Eu平面NEC,平面/EC。平

面BDF=OG

所以/E〃OG,因為。為/C中點，

所以G為CE中點，故OG=」/E=O.且直線0G與。尸所成角等于直線/E與。歹所成角.

22

所以cos/OGD=3

7

3

因此直線AE與DF所成角的余弦值為1.

解法2；設/8=2,貝/CG所以C￡=<￡=,如+。爐="

取。C中點為G,連接EG交。廠于點“，則EG=DD[=2.

連接/G交于點/,連印，因為/E〃平面8D尸，NEu平面NGE,平面平面汨，所以

AE//IH.

HI與DH所成角等于直線AE與DF所成角.

正方形NBCD中，GI=-AG,—,所以G〃=』EG,故HI，AE=五.

333333

12

在△OHG中，GH=-EG=~,GD=1,NEGD=60°,

33

由余弦定理。H=

FT-在皿利

3

因此直線AE與DF所成角的余弦值為1.

解法3:由（1）知平面4BC。，以。為坐標原點，方為x軸正方向，|法|為2個單位長，建立如圖所

示的空間直角坐標系。-孫2.

由(1)知DE=M，得/(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,6),G(O,l,g).

則&1=(0,-1,石)，祝=(0,2,0),ZE=(-2,0,73),麗=(2,2,0).

由而=/西(OVfVl),^DF=DC+CF=(0,2-t,y/3t).

因為/￡//平面3。尸，所以存在唯一的2,MeR,

使得4E-ADB+jLiDF—A(2,2,0)+/z(0,2-t,)=(2A,2Z+2/7—Z〃,~^jut),

2

故22=—2,22+2/z—z/z=0,^4Z/=6,解得，=§,

AE-DF3

所以直線ZE與。尸所成角的余弦值為|cos尸|=

ME尸|7

角度2：根據異面直線所成角求參數

典型例題

例題1.(2023?云南保山?統考二模)已知正方體/3。0-44。12，。為上底面44GA所在平面內的

動點，當直線。。與的所成角為45°時，點。的軌跡為()

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

【答案】C

【詳解】以點。為原點，DA，DC，西為x,修Z的正方向，建立空間直角坐標系，

設正方體棱長為L則0(0,0,0),4(1,0,1),設0(x,y,l),

可得加=(陽%1),西=(1,0,1),

因為直線。。與的所成角為45。，

EACOD。?DA[X+1J2

貝1]cos45—?—uI—?!—=萬-,化簡可得/=2x,

\DQI\DA]Jx?+y2+1xsf2

所以點Q的軌跡為拋物線.

故選：c.

例題2.（2023春?高二課時練習）如圖，在四棱錐尸-48C。中，底面/8C。，底面為矩形,

尸。=DC=3,4D=4,M是線段力的中點，N是線段尸C上一點（不與RC兩點重合），且麗=2斤.若

直線,與皿所成角的余弦值是等'則人（）

【答案】B

【詳解】因為PD_L平面/BCD,DCu平面/BCD,4Du平面/BCD,

所以尸。_LOC,PDLAD.

因為底面48。為矩形，所以。CL4D.

所以￡）尸，DC,D4兩兩互相垂直.

以。為原點，DA、DC、。產所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系。-孫z,

則。(0,0,0),8(4,3,0),尸(0,0,3),N(4,0,0),C(0,3,0),“卜,。弓

所以PC=(0,3,-3),2。=(-4,-3,0).

因為麗=APC=(0,32,-32)(Ae(0,1)),

所以N（0,32,3-32）,貝I]荻=（一2,3/1,：—3/1

設直線及W與2。所成角為0,則

-2,32,1-32l-(-4,-3,0)2

麻.麗IL8U-1442+64

COS0=5?s

\MN\-\BD\1822-9A+—,

4

1l8U2-1442+64_2681萬-144彳+64_100

因/iy一寸，則"^一五

1719

化簡得99%+21242-719=0,即(32-1)(332+719)=0,解得彳=W或2=一薪(舍去).

故選：B

例題3.（2023春?高二課時練習）如圖，在正三棱柱NBC-44G中，4B=AA[=2.E、尸分別是3C、

4。的中點.設。是線段與G上的（包括兩個端點）動點，當直線8D與EF所成角的余弦值為巫，則線

段8。的長為.

【答案】2&

【詳解】解：如圖以￡為坐標原點建立空間直角坐標系:

（/71、

則E（0,0,0）,尸^,-,2,8（0,-1,0）,設。（0/,2）（-”區1）,

I22J

_,（八\）—?

則或=5_,于2,AD=（O/+l,2）,設直線與庭所成角為6

\7

Z+1）

---??------F4/—

所以加"EFBD_2_V10,即23f2+14"37=0,

\EF\\BD\V5-7（f+l）2+44

解得f=l或，=-五(舍去)，所以=J。?+2。+2?=2板,

故答案為：2vl.

例題4.(2023春?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習)已知正方體/BCD-HB'C'D'的棱長為1.

(1)△B4C'的平面截正方體為兩個部分，求體積大的部分幾何體的體積；

(2)動點￡,尸在線段AD,DC,1.,ADE=D'F=a,M為4B的中點，異面直線E尸與DM所成的角的

余弦值為包，求實數”的值.

10

【答案】⑴之;

6

⑵。邛

【詳解】（1）因為正方體力BCD-HB'C'D的棱長為1,

所以正方體的體積為/=1,^B-A'B'C=:義葭1*1=）,

326

所以的平面截正方體為兩個部分，體積大的部分幾何體的體積為

5

V—VB_A'BC=1----

66

（2）如圖，以。為坐標原點，0/為x軸，。。為歹軸，。。為z軸建立如圖坐標系,

則D（0,0,0）,E（a,0,0）,尸（0,M:0

所以跖,DM=H,pOj,

解得a=

考點一練透核心考點

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中?？寄M預測）如圖，四棱錐P-48CD中，底面為正方形，APAD

是正三角形，AB=2,平面平面/BCD,則尸C與8。所成角的余弦值為（）

【答案】A

【詳解】取的中點O,3C的中點E,連接尸。、OE,

因為△尸4D是正三角形，所以尸O_L4D,平面尸4D_L平面48cD,

平面尸40c平面4BCD=/Z>,POu平面尸40,

所以尸07.平面/BCD,

如圖建立空間直角坐標系，則P（O,O,G）,C（2,l,0）,D（0,1,0）,5（2,-1,0）,

所以無=（2,1,-75）,麗=（2,-2,0）,

/—?一-\PC-DB11

所以cos（PC,=-,所以PC與BD所成角的余弦值為:.

2.（2023?河南鄭州?洛寧縣第一高級中學校聯考模擬預測）如圖，在三棱柱48C-44G中，底面邊長和側

棱長均相等，〃Z4=NCN4=60P,則異面直線/4與8G所成角的余弦值為（）

DT

【答案】A

【詳解】設方=",AS=a,AC=b,棱長均為1,

由題意，(2-6=1x1xcos60°=—,b'C=—,a-c=-

2229

,/AB、=a+c9BC]=b-a+c,

A.By,BC1—(Q+c)*(b-Q+C)—~-1~h^——+1=1,

2一一一2

+2a-c+c=J+1+1=或

=Vi+1+1-1+1-1=￡,

V6

6

故選：A.

3.（2023?全國?高三專題練習）已知矩形Z5CQ,CD=44D=4G，過作平面使得平面

JT

點尸在a內，且4P與C。所成的角為:，則點尸的軌跡為,3P長度的最小值為

如圖，以。為原點，。。所在直線為無軸，平面a內過。且與CD垂直的直線為了軸，ZX4所在直線為z軸,

建立空間直角坐標系，

則由己知，￡＞（0,0,0）,4（0,0,石），C（4V3,0,0）,

:點P在平面a內，.?.設尸（xj,0）,則后=卜,外一。），DC=（473,0,0）,

..?直線AP與直線CD所成的角為三,

兩邊同時平方，化簡得尸點軌跡方程為/-亡=1,

3

...點尸的軌跡為雙曲線.

8y^x+51+y~

■尸點軌跡方程為、一《=1,）=3*2-3,且工?-00,-1]31，+°°），

網=&-8岳+51+34-3=V4X2-8/3X+481qxd號+3（,

，當x=6時，忸尸|的最小值為忸兒m=A=6.

故答案為：雙曲線，6

4.(2023春?江蘇常州?高二校聯考階段練習)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面

互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點.設異面直線EM與AF所成的角為d,則cos6

的最大值為一

【答案、】|2

―?11——?1

【詳解】建立坐標系如圖所示.設/5=1,則4尸=(1，5,0),頤5,0,0).設刊(0/,1)(0?3^1),則￡可=(-5/,1),

由于異面直線所成角的范圍為(og],

當y=0時，取得最大值.

5.(2023?浙江寧波?鎮海中學校考模擬預測)在直角梯形/BCD中，CDLAD,AB=BC=2CD=2,AD=5

jr

現將A/C。沿著對角線NC折起，使點。到達點P位置，此時二面角尸-/C-D為

⑴求異面直線尸/,8c所成角的余弦值；

(2)求點/到平面P3C的距離.

【答案】⑴述

8

(2)酒

7

【詳解】(1)過點。做。OL/C交/C于。，連接OP,

以。點為原點，以。/為x軸，在平面4BCD內，過點。垂直于ZC的線為y軸,

過點。垂直于平面/BCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

因為DO_L/C,所以尸O_L/C,

jr

所以N。。尸為二面角尸一ZC-D的平面角.所以/DOP=§,

又因為OD=O尸=火，所以點尸0,-V3[

2I7力

又因為c",0,0),/||，0,0)，由等邊三角形”8C可得唱,?o

所以於=［一|,一字

,5C=(-1-^,0),

33

—+—

APBC3百

所以COS(力尸,5。)=24

AP\\BC\3—.28

41616

所以4尸與3C夾角的余弦值為空.

8

(1百3、

(2)PC=,sc=(-l-V3,o),

(244

7

設A=(x,y,z)為平面P8C的一個法向量,

1G3

萬?尸C=(x,y,z)j、L+與」=0

則5'~T~4I244

令x=G，貝*Jy=_1,2=_VJ

AP-n\2G2庖

所以點/到平面PBC的距離為d=

6.(2023秋?湖南岳陽?高二統考期末)如圖，在三棱錐尸-N3C中，尸/，底面/BC,NBAC=90,點D，

E,N分別為棱P/,PC,BC的中點，M是線段的中點，PA=AC=4,AB=2.

⑴求證：MN〃平面BDE.

⑵已知點〃在棱尸4上，且直線與直線班所成角的余弦值為立，求線段4〃的長.

9

【答案】⑴證明見解析

⑵；或2

48為X軸，/C為y軸，AP為Z軸，建立空間直角坐標系,

則"(0,0,1),5(2,0,0),C(0,4,0),Ml,2,0),。(0,0,2),￡(0,2,2),

疝=(1,2,-1),55=(2,0,-2),瓦=(0,2,0),

設平面瓦比的法向量萬=(xJ,z),

n-DB=2x-2z=0

則一取x=l,得力=(l,0,D,

n'DE=2y=0

■MN-n=0>河/平面也乃，，皿//平面8￡>￡.

(2)設且fe[0,4],則砥0,0/),W=(-l,-2,0,而=(-2,2,2),

?—NHBE

則cos(的,困卜JW，整理得4d-%+2=0

1\71\NH\-\BE\V5+f2-V129

解得"J或"2,所以線段4/的長為1或2.

44

7.(2023秋?福建福州?高二校聯考期末)已知直三棱柱NBC/K/中，側面44/用為正方形，AB=BC=2,

且481BC,E,尸分別為/C和CQ的中點，。為棱4月上的點.

(1)證明：BFIDE；

(2)在棱出5上是否存在一點使得異面直線兒不與NC所成的角為30。？若存在，指出"的位置；若不

存在，說明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在；〃是42/中點

【詳解】(1)證明：由直三棱柱48C-//2/C/可得，平面48C,且4BJ.BC,故以3為原點，

BA,BC,所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則2(0,0,0),尸(0,2,1),￡(1,1,0),4(2,0,0),C(0,2,0),設=且me[0,2],

則。(加,0,2),AfiF=(0,2,1),DE=(l-m,l,-2),由於.瓦=2-2=0，BF1DE

(2)可設4Mi,且〃e[0,2],則M(〃,0⑵,MF=(-n,2,-V),AC=(-2,2,0),

由異面直線九田與NC所成的角為30。可得cos(加，/)曰//"+4=g,

'/+5x2722

整理得〃2一8〃+7=0,即〃=1或〃=7(舍)，

所以存在點〃是48/中點.

高頻考點二：直線與平面所成的角

角度1：求直線與平面所成角（定值問題）

典型例題

例題1.（2023?河北石家莊?統考三模）如圖，在。08中，ZAOB=^,OB=^,OA=1,C為03的中

點，將^AOB繞OB所在的直線逆時針旋轉至ABOD形成如圖所示的幾何體r,NAOD=-.

（1）求幾何體「的體積；

（2）求直線AB與平面ACD所成角的正弦值.

【答案】（1）3兀

9

【詳解】（1）根據圓錐的定義易知，幾何體「為圓錐的一部分，且03為圓錐的高,

所以憶=gxS扇照8X°B=gx；xgxl2xg=噂7i;

（2）過。點作分別以O4（W,OB所在的直線為x,%z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，貝！J：

Z八

1n

-------jV

227

則就

設平面/CD的法向量為〃=(x,y,z),

_x+-_0

n-AC=O2

則—，所以

n-AD=O3拒n

122,

令V=3,得〃=（省,3,2b

設直線AB與平面ACD所成角為3,

I一?I\AB-n\百百

則sin6=cos/5,司==S=

1?網同2.48

所以直線與平面/CD所成角正弦值為也.

8

例題2.(2023?寧夏銀川?銀川一中?？既?如圖所示，在四棱錐9-/8c。中,P/_L平面45c

AD//BC,AB1BC,^.AB=AP=BC=1,40=2.

(1)求證：。。，平面以。；

(2)若E為PC的中點，求PD與平面所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

(2)巫

10

【詳解】（1）作C尸，/D,垂足為尸，易證，四邊形/3CF為正方形.

所以尸=。尸=1，CD^ylCF2+DF2=也.又4C=個AB?BC?=拒,

因為NC2+C02=32,所以4CJ.CD.

因為尸/_L平面4BCD,CDu平面/BCD,所以尸/_LCD.

又4CcP4=4,/Cu平面融C,P/u平面上4C,所以CD_L平面上4c.

（2）以點A為坐標原點，以尸所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

則/(0,0,0),尸(0,0,1),C(l,l,0),￡>(0,2,0),石匕

則而=(0,2,0),PD=(0,2-1),荏=(；,；,；).

設平面AED的法向量為〃=(x,y,z),

r—?fl11

?n-AE=0-x+—y-\——z=0

由〈_,得1222,

〔展30[y=0

令z=l,可得平面/ED的一個法向量為3=(-1,0,1).

設尸。與平面/ED所成角為。，

則sin0=cos(n,PD)\=卜馬=」-廠=—.

?\A剛尸。-VJ2xV510

例題3.（2023?山東聊城?統考三模）如圖，三棱臺ABC-DE尸中，AB=IDE,M是E尸的中點，點N

在線段48上，AB=4AN,平面「九Wc平面NDbC=/.

FME

（1）證明：MN〃l；

（2）若平面CBE尸，平面4BC,AC1AB,4C=CF=FE=EB,求直線/B與平面。血W所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

（2）*

【詳解】（1）證明：取ED的中點G,連接GW,AG,

因為M是E廳的中點，所以GM〃OE,GM=-DE,

2

因為三棱臺NBC-DE尸中，DE//AB,DE=-AB,AB=4AN,

2

所以GM〃/N,GM=AN,即四邊形㈤WG為平行四邊形，所以跖V〃G/,

因為平面加用C,G/u平面/DEC,所以MV//平面/DRC,

因為MMu平面DMN,平面。兒Wc平面4D尸C=/,所以MN〃I.

（2）因為平面CBEF1平面ABC,所以過點尸作尸0，CB于點O,則F0±平面48C,又由題意知C3=2EE,

AC=CF=FE=EB,所以CO='。尸=,

22

因為“3C中，AC=-CB,ACLAB,所以//CB=60。，

2

3

連接ZO,在AACO中由余弦定理得0/2=CO2+AC2-2CO-ACCOS600=-AC2,

4

所以CO2+OT=NC?,得CU_LCO.

所以以。為原點，以。4,OB,。尸所在直線分別為x軸，V軸，z軸，建立如圖空間直角坐標系，

令/C=2,則0(0,0,0),4(省,0,0),8(0,3,0),C(0,-l,0),F(0,0訴,M(0,l,V3),3=(73,1,0),

A8=(-V3,3,0),OD=OF+^CA=

DN=Dd+OA+l-AB=UiL^

設平面DMN的法向量為為=(x,y,z),

令x=2,貝l]y=2百，z=l,所以平面。MV的一個法向量為=(2,2百』),

設直線A8與平面DMN所成的角為6,

??.八\AB-n\4732V17

貝ljsm6=---L

\AB\-\n\73+9x74+12+117

所以直線與平面DMN所成角的正弦值為其立.

17

例題4.(2023?安徽亳州?蒙城第一中學校聯考模擬預測)已知棱長為2的正方體48CD-44G。中，￡,

廠分別是棱5C,CG的中點.

(1)求多面體CUDR的體積;

(2)求直線5。和平面AEFD,所成角的正弦值.

【答案】⑴(7

(2也

9

【詳解】⑴：.EFUBG，BCJ/ADX,：.EFHADX,：.A,E,F,□四點共面,

易知多面體CE兄是一個三棱臺,