(兩個重要極限)教案?一、教學目標1.知識與技能目標學生能夠理解兩個重要極限的概念、證明過程及幾何意義。熟練掌握兩個重要極限的形式，并能運用它們求解相關函數的極限。2.過程與方法目標通過對兩個重要極限的推導過程，培養學生的邏輯推理能力和數學思維能力。引導學生運用極限的思想方法解決實際問題，提高學生分析問題和解決問題的能力。3.情感態度與價值觀目標讓學生體會數學的嚴謹性和科學性，感受數學的魅力，激發學生學習數學的興趣。培養學生勇于探索、敢于創新的精神，增強學生的學習自信心。二、教學重難點1.教學重點兩個重要極限的概念、形式及應用。利用兩個重要極限求解函數的極限。2.教學難點兩個重要極限的證明思路及推導過程。如何引導學生正確運用兩個重要極限解決復雜的極限問題。三、教學方法1.講授法：講解兩個重要極限的概念、證明過程和應用方法，使學生系統地掌握知識。2.演示法：通過多媒體演示兩個重要極限的幾何意義和推導過程，幫助學生直觀地理解抽象的概念。3.討論法：組織學生討論兩個重要極限的應用實例，激發學生的思維，培養學生的合作學習能力和創新思維。4.練習法：布置適量的練習題，讓學生通過練習鞏固所學知識，提高運用能力。四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）通過一個有趣的實際問題引入：假設你有一張足夠大的紙，厚度為0.1毫米，將它對折30次后，你能想象它有多厚嗎？讓學生思考并嘗試回答，然后引導學生發現這與指數增長有關，從而引出本節課要學習的兩個重要極限，激發學生的學習興趣和好奇心。（二）講解新課（30分鐘）1.重要極限一：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)概念引入利用多媒體展示單位圓，設圓心角\(\angleAOB=x\)（弧度），\(0<x<\frac{\pi}{2}\)。過點\(A\)作圓的切線與\(OB\)的延長線相交于點\(C\)，過點\(B\)作\(BD\perpOA\)，垂足為\(D\)。引導學生觀察：\(\sinx=BD\)，\(x=\overset{\frown}{AB}\)，\(\tanx=AC\)。從圖形中可以看出\(S_{\triangleAOB}<S_{扇形AOB}<S_{\triangleAOC}\)，即\(\frac{1}{2}\sinx<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tanx\)。同除以\(\frac{1}{2}\sinx\)，得到\(1<\frac{x}{\sinx}<\frac{1}{\cosx}\)，即\(\cosx<\frac{\sinx}{x}<1\)。當\(x\to0\)時，\(\cosx\to1\)，根據夾逼準則可得\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。幾何意義通過動畫演示，讓學生直觀感受當\(x\)趨近于\(0\)時，\(\frac{\sinx}{x}\)的變化趨勢，理解其幾何意義：在單位圓中，當圓心角趨近于\(0\)時，弦長與弧長的比趨近于\(1\)。應用舉例例1：求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)解：令\(t=3x\)，則當\(x\to0\)時，\(t\to0\)。\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{\frac{t}{3}}=3\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{t}=3\times1=3\)例2：求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)解：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{\cosx}=1\times1=1\)2.重要極限二：\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\)概念引入首先給出一個數列\(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\)，計算\(n\)取不同值時\(a_n\)的值：當\(n=1\)時，\(a_1=(1+1)^1=2\)；當\(n=2\)時，\(a_2=(1+\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}=2.25\)；當\(n=3\)時，\(a_3=(1+\frac{1}{3})^3=(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}\approx2.37\)；......通過計算可以發現，隨著\(n\)的增大，\(a_n\)的值逐漸增大，但增加的速度越來越慢，并且趨近于一個常數\(e\)（\(e\approx2.71828\)）。然后利用二項式定理展開\((1+\frac{1}{n})^n\)：\((1+\frac{1}{n})^n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n1)}{2!}\cdot(\frac{1}{n})^2+\frac{n(n1)(n2)}{3!}\cdot(\frac{1}{n})^3+\cdots+(\frac{1}{n})^n\)\(=1+1+\frac{1}{2!}(1\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1\frac{1}{n})(1\frac{2}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1\frac{1}{n})(1\frac{2}{n})\cdots(1\frac{n1}{n})\)當\(n\to\infty\)時，\((1\frac{k}{n})\to1\)（\(k=1,2,\cdots,n1\)），所以\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=e\)。推廣形式\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)應用舉例例3：求\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x\)解：令\(t=\frac{x}{2}\)，則當\(x\to\infty\)時，\(t\to\infty\)。\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{t\to\infty}[(1+\frac{1}{t})^{t}]^2=e^2\)例4：求\(\lim\limits_{x\to0}(13x)^{\frac{1}{x}}\)解：令\(t=3x\)，則當\(x\to0\)時，\(t\to0\)。\(\lim\limits_{x\to0}(13x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{t\to0}[(1+t)^{\frac{1}{t}}]^{3}=e^{3}\)（三）課堂練習（15分鐘）1.求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}\)2.求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan4x}{3x}\)3.求\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^{2x}\)4.求\(\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}\)讓學生在練習本上完成，然后請幾位同學上臺展示解題過程，教師進行點評和講解，及時糾正學生出現的錯誤。（四）課堂小結（5分鐘）1.請學生回顧兩個重要極限的概念、形式、證明思路和幾何意義。2.總結利用兩個重要極限求解函數極限的方法和技巧。3.強調在運用兩個重要極限時需要注意的問題，如變量代換、等價變形等。（五）布置作業（5分鐘）1.書面作業：教材課后習題中與兩個重要極限相關的題目。2.拓展作業：思考兩個重要極限在其他學科或實際生活中的應用，并寫一篇簡短的報告。五、教學反思通過本節課的教學，學生對兩個重要極限