一元二次方程根與系數的關系解一元二次方程學習目標1.探索一元二次方程的根與系數的關系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.3.讓學生體會從特殊到一般的科學探究過程.韋達，1540

年出生于法國的波亞圖，他把符號系統引入代數學，對數學的發展發揮了巨大的作用，人們為了紀念他在代數學上的功績，稱他為“代數學之父”．x+y=8x=7s=vta=b-10y=3x+4a+b=3a2+b2=c2導入新課創設情景格格和同學們打賭，她有一手絕活，只要同學給出兩個數，她就能馬上說出以這兩個數為根的一元二次方程，同學們表示不相信，菲菲首先發難，恨不得考倒格格，她報的數是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲驗證了一下正確，接著同學們紛紛報數，格格快速準確解答．同學想不不通為什么她能快速回答，聰明的同學，你知道“源頭”何在?1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？引入新課

同學們，我們來做一個游戲，看誰能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積？

（1）x2-2x+1=0（2）x2+3x-10=0（3）x2+5x+4=0填表，觀察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你發現什么規律？①用語言敘述你發現的規律；②

x2+px+q=0的兩根x1,,x2用式子表示你發現的規律.

根與系數的關系知識點1,1.212,-5.-3-10-1,-4.-54如果關于x的方程的兩根是x1

,x2

,則:如果方程二次項系數不為1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q.-4123-1

-3-456(1)x2+3x-4=0；(2)x2

-5x+6=0；算一算

解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？2x2+3x+1=0方程兩根x1x2一元二次方程x2+3x-4=0x2

-5x+6=0(3)2x2+3x+1=0.將二次項系數化為1

對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），是否有一樣的規律嗎？如何求出一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根之積、兩根之和？思考探究

有實數根的前提是什么呢？Δ=b2-4ac≥0一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2.那么x1+x2=x1x2=（韋達定理）【注意】能用根與系數的關系的前提條件為b2-4ac≥0.常數項一次項系數二次項系數注意系數符號.學生活動：請同學用求根公式證明.對于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，當Δ≥0時，設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2，此時x1+x2，x1·x2等于多少呢？探究結論如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為

x1，x2，那么.注意滿足上述關系的前提條件b2-4ac≥0.一元二次方程的根與系數的關系人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”．探究結論例不解方程，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2–6x–15=0；（2）5x–1=4x2（1）解：a=1，b=–6，

c=–15．（2）解：整理方程得：4x2-5x+1=0

Δ

=b2-4ac

=(–6)2–4×1×(–15)=96>0．∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，

x2.那么x1+x2=–(–6)=6.

x1x2=-15．先化為一般式定理應用a=4，b=–

5，

c=1．

Δ

=b2-4ac

=(–

5)2–4×(–5)×1=45>0．∴方程有兩個實數根．設方程的兩個實數根是x1，

x2.那么x1+x2=，

x1x2=．例利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.

（1）x2+7x+6=0;解：這里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個實數根.設方程的兩個實數根是x1,x2,那么.x1+x2=-7,x1x2=6.一元二次方程的根與系數的關系的應用考點（2）2x2-3x-2=0.解：這里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0

∴方程有兩個實數根.設方程的兩個實數根是

x1,x2,那么.

x1+x2=,x1x2=-1.不解方程，求方程兩根的和與兩根的積：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化為：二次項不是1，可以先把它化為1.例已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.解：設方程的兩個根分別是x1,x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一個根是

，k=－7.利用根與系數的關系求字母的值或取值范圍考點想一想，還有沒有別的做法？已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.解：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0.解這方程，得k=-2.由根與系數關系，得x1●2＝3k.

即2x1

＝－6.∴x1

＝－3.答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.例不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數和.解：根據根與系數的關系可知：

利用根與系數的關系求兩根的平方和、倒數和考點∴（1）x1+x2=

.(2)x1·x2=

.(3)

.

(4)

.411214設x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則:

例設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有兩個實數根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0.

即-8k+4≥0.∴

由根與系數的關系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4.

解得

k1=0,k2=4.經檢驗，k2=4不合題意，舍去.根與系數關系的綜合題目考點

歸納總結

求與方程的根有關的代數式的值時,一般先將所求的代數式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.解：設方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1.∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數的關系得x1+x2=,x1x2

=解得k1=9,k2=-3.當k=9或-3時，由于Δ＞0，∴k的值為9或-3.∴（）2-4×

=1.當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1.達標檢測利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：

（1）x(3x-1)-1=0；（2）(2x+5)(x+1)=x+7.解：（1）3x2-x-1=0.x1+x2=，x1x2=.（2）x2+3x-1=0.x1+x2=-3，x1x2=-1.2.解下列方程：

（1）12x2+7x+1=0；（2）0.8x2+x=0.3.（3）3x2+1=x；（4）(x+1)(x-3)=2x+5.解：（1）△>0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=（2）△>0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=2.解下列方程：

（1）12x2+7x+1=0；（2）0.8x2+x=0.3.（3）3x2+1=x；（4）(x+1)(x-3)=2x+5.△=0x1+x2=，x1x2=.x1=x2=（4）x2-4x-8=0△>0x1+x2=4，x1x2=-8.x1=x2=（3）3x2-x+1=03.已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根

及k

的值.x1+x2=x1x2=.