交大線性代數試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.設矩陣A是一個n階可逆矩陣，下列命題正確的是：

A.A的行列式值不為0

B.A的逆矩陣存在

C.A的轉置矩陣是可逆的

D.A的伴隨矩陣是可逆的

2.設向量組α1，α2，α3線性無關，則下列向量組也線性無關的是：

A.α1，α2，α3，2α1

B.α1，α2，α3，α1+α2

C.α1，α2，α3，2α1+α2

D.α1，α2，α3，α1-α2

3.設A是一個n階矩陣，且滿足A^2=A，則下列命題正確的是：

A.A是可逆矩陣

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值為1

D.A的行列式值為0

4.設矩陣A的秩為r，則下列命題正確的是：

A.A的零空間的維數是n-r

B.A的列空間的維數是r

C.A的行空間的維數是r

D.A的行空間的維數是n-r

5.設A是一個m×n矩陣，B是一個n×p矩陣，C是A與B的乘積矩陣，則下列命題正確的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩與B的秩之和

D.C的秩等于A的秩與B的秩之差

6.設向量組α1，α2，α3線性相關，則下列命題正確的是：

A.α1，α2，α3中至少有一個向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有兩個向量線性相關

C.α1，α2，α3中至少有一個向量是線性無關的

D.α1，α2，α3中至少有一個向量與其它向量線性相關

7.設A是一個n階矩陣，且A的行列式值不為0，則下列命題正確的是：

A.A的逆矩陣存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的轉置矩陣是可逆的

D.A的伴隨矩陣是可逆的

8.設向量組α1，α2，α3線性相關，則下列命題正確的是：

A.α1，α2，α3中至少有一個向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有兩個向量線性相關

C.α1，α2，α3中至少有一個向量是線性無關的

D.α1，α2，α3中至少有一個向量與其它向量線性相關

9.設A是一個m×n矩陣，B是一個n×p矩陣，C是A與B的乘積矩陣，則下列命題正確的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩與B的秩之和

D.C的秩等于A的秩與B的秩之差

10.設A是一個n階矩陣，且滿足A^2=A，則下列命題正確的是：

A.A是可逆矩陣

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值為1

D.A的行列式值為0

11.設A是一個n階矩陣，且A的行列式值不為0，則下列命題正確的是：

A.A的逆矩陣存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的轉置矩陣是可逆的

D.A的伴隨矩陣是可逆的

12.設向量組α1，α2，α3線性相關，則下列命題正確的是：

A.α1，α2，α3中至少有一個向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有兩個向量線性相關

C.α1，α2，α3中至少有一個向量是線性無關的

D.α1，α2，α3中至少有一個向量與其它向量線性相關

13.設A是一個m×n矩陣，B是一個n×p矩陣，C是A與B的乘積矩陣，則下列命題正確的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩與B的秩之和

D.C的秩等于A的秩與B的秩之差

14.設A是一個n階矩陣，且滿足A^2=A，則下列命題正確的是：

A.A是可逆矩陣

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值為1

D.A的行列式值為0

15.設A是一個n階矩陣，且A的行列式值不為0，則下列命題正確的是：

A.A的逆矩陣存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的轉置矩陣是可逆的

D.A的伴隨矩陣是可逆的

16.設向量組α1，α2，α3線性相關，則下列命題正確的是：

A.α1，α2，α3中至少有一個向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有兩個向量線性相關

C.α1，α2，α3中至少有一個向量是線性無關的

D.α1，α2，α3中至少有一個向量與其它向量線性相關

17.設A是一個m×n矩陣，B是一個n×p矩陣，C是A與B的乘積矩陣，則下列命題正確的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩與B的秩之和

D.C的秩等于A的秩與B的秩之差

18.設A是一個n階矩陣，且滿足A^2=A，則下列命題正確的是：

A.A是可逆矩陣

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值為1

D.A的行列式值為0

19.設A是一個n階矩陣，且A的行列式值不為0，則下列命題正確的是：

A.A的逆矩陣存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的轉置矩陣是可逆的

D.A的伴隨矩陣是可逆的

20.設向量組α1，α2，α3線性相關，則下列命題正確的是：

A.α1，α2，α3中至少有一個向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有兩個向量線性相關

C.α1，α2，α3中至少有一個向量是線性無關的

D.α1，α2，α3中至少有一個向量與其它向量線性相關

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.矩陣的秩等于其行數（×）

2.兩個矩陣的乘積的行列式等于它們行列式的乘積（√）

3.任何矩陣都可以通過初等行變換化為行階梯形矩陣（√）

4.一個矩陣的逆矩陣存在當且僅當該矩陣是可逆的（√）

5.向量組的秩等于該向量組中線性無關向量的個數（√）

6.兩個線性無關的向量組，其并集也一定是線性無關的（×）

7.兩個矩陣的秩相等，則它們等價（√）

8.一個矩陣的轉置矩陣的行列式等于原矩陣的行列式（√）

9.兩個矩陣的乘積的逆矩陣等于它們的逆矩陣的乘積（×）

10.一個矩陣的伴隨矩陣的行列式等于原矩陣的行列式的平方（×）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述矩陣的初等行變換及其作用。

2.如何判斷一個向量是否屬于一個矩陣的列空間？

3.簡述矩陣的秩的定義及其性質。

4.解釋什么是矩陣的等價關系，并給出兩個矩陣等價的充要條件。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的秩與矩陣的行空間和列空間的關系，并解釋為什么一個矩陣的秩等于其行空間的維數。

2.論述矩陣的伴隨矩陣在求解線性方程組中的作用，并說明為什么矩陣的伴隨矩陣與逆矩陣之間存在著特定的關系。

試卷答案如下

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.A,B,C,D

解析思路：根據可逆矩陣的定義，A正確；逆矩陣存在是可逆矩陣的充分必要條件，B正確；轉置矩陣與原矩陣可逆性相同，C正確；伴隨矩陣是可逆的當且僅當原矩陣是可逆的，D正確。

2.A,B

解析思路：線性無關的定義是任意向量不能由其它向量線性表示，因此只有選項A和B滿足條件。

3.B

解析思路：由A^2=A知，A是投影矩陣，其特征值只能是0或1。

4.A,B

解析思路：矩陣的秩等于其列空間的維數，而列空間的維數等于零空間的維數。

5.A,B

解析思路：矩陣乘積的秩小于等于參與乘積的矩陣的秩。

6.A,B

解析思路：線性相關的定義是至少有一個向量可以被其它向量線性表示。

7.A,B,D

解析思路：可逆矩陣的定義是存在逆矩陣，且行列式不為0。

8.A,B

解析思路：與第6題相同，線性相關的定義是至少有一個向量可以被其它向量線性表示。

9.A,B

解析思路：與第5題相同，矩陣乘積的秩小于等于參與乘積的矩陣的秩。

10.B

解析思路：由A^2=A知，A是投影矩陣，其特征值只能是0或1。

11.A,B,D

解析思路：與第7題相同，可逆矩陣的定義是存在逆矩陣，且行列式不為0。

12.A,B

解析思路：與第6題相同，線性相關的定義是至少有一個向量可以被其它向量線性表示。

13.A,B

解析思路：與第5題相同，矩陣乘積的秩小于等于參與乘積的矩陣的秩。

14.B

解析思路：與第10題相同，由A^2=A知，A是投影矩陣，其特征值只能是0或1。

15.A,B,D

解析思路：與第11題相同，可逆矩陣的定義是存在逆矩陣，且行列式不為0。

16.A,B

解析思路：與第6題相同，線性相關的定義是至少有一個向量可以被其它向量線性表示。

17.A,B

解析思路：與第5題相同，矩陣乘積的秩小于等于參與乘積的矩陣的秩。

18.B

解析思路：與第14題相同，由A^2=A知，A是投影矩陣，其特征值只能是0或1。

19.A,B,D

解析思路：與第15題相同，可逆矩陣的定義是存在逆矩陣，且行列式不為0。

20.A,B

解析思路：與第6題相同，線性相關的定義是至少有一個向量可以被其它向量線性表示。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：矩陣的秩等于其行數或列數，而不是行數。

2.√

解析思路：兩個矩陣的乘積的行列式等于它們行列式的乘積，這是行列式的乘法性質。

3.√

解析思路：初等行變換是改變矩陣的行，但不會改變矩陣的秩。

4.√

解析思路：逆矩陣存在是可逆矩陣的充分必要條件。

5.√

解析思路：向量組的秩等于該向量組中線性無關向量的個數。

6.×

解析思路：兩個線性無關的向量組，其并集可能是線性相關的。

7.√

解析思路：兩個矩陣等價意味著它們有相同的秩。

8.√

解析思路：矩陣的轉置矩陣的行列式等于原矩陣的行列式。

9.×

解析思路：兩個矩陣的乘積的逆矩陣不等于它們的逆矩陣的乘積。

10.×

解析思路：矩陣的伴隨矩陣的行列式等于原矩陣的行列式的n-1次方，而不是平方。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.矩陣的初等行變換及其作用：

解析思路：初等行變換包括交換兩行、某行乘以非零常數、某行加上另一行的倍數。作用是簡化矩陣，例如化為行階梯形矩陣，便于求解線性方程組。

2.如何判斷一個向量是否屬于一個矩陣的列空間：

解析思路：一個向量屬于一個矩陣的列空間，當且僅當該向量可以表示為該矩陣列向量的線性組合。

3.簡述矩陣的秩的定義及其性質：

解析思路：矩陣的秩是矩陣的行空間或列空間的維數。性質包括：秩不超過矩陣的行數和列數；矩陣的秩等于其轉置矩陣的秩；兩個矩陣的乘積的秩小于等于各矩陣的秩。

4.解釋什么是矩陣的等價關系，并給出兩個矩陣等價的充要條件：

解析思路：矩陣的等價關系是指兩個矩陣可以通過一系列的初等行變換相互轉化。充要條件是兩個矩陣的秩相等。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的秩與矩陣的行空間和列空間的關系，并解釋為什么一個矩陣的秩等于其行空間的維數：

解析思路：矩陣的秩是矩陣的行空間或列空間的維數。一個矩陣的秩等于其行空間的維數，因為行空間中的向量可以由矩