第八章假設檢驗

?前面我們討論了在總體分布族已知的情況下，如

何根據樣本去得到參數的優良估計.但有時,我們并

不需要估計某個參數的具體值而只需驗證它是否滿

足某個條件,這就是統計假設檢驗問題.

假設檢驗是對總體的分布函數的形式或分布中某

些參數做出某種假設,然后通過抽取樣本,構造適

當的統計量,對假設的正確性進行判斷的過程.

在本章中，我們將討論不同于參數估計

的另一類重要的統計推斷問題.這就是根據

樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否

正確.這類問題稱作假設檢驗問題.

參數假設檢驗

假設檢驗

非參數假設檢驗

HgyIQgj

豐

豐

這一講我們討論對參數的假設檢驗.

H

+

讓我們先看一個例子.

H

+

T

H

+

H

+

H

+

H

例：某工廠生產10歐姆的電阻.根據以往生產

的電阻實際情況,可以認為其電阻值

X?N（|LL,。2）,標準差。=0.L現在隨機抽取

10個電阻,測得它們的電阻值為：

9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,

10.5,10.1,10.2.

試問:從這些樣本,我們能否認為該廠生

產的電阻的平均值U為10歐姆？

壬問題怎么建立:

確定總體:記X為該廠生產的電阻的測量值.

根據假設,X?N（|LL,。2）,這里

明確任務：通過樣本推斷X的均值口是否等

于10歐姆.

假設:上面的任務就是要通過樣本去檢驗

“X的均值口=10”這樣一個假設是否成

立.（在數理統計中把“X的均值口=10”這樣

一個待檢驗的假設記作"為:口=10”稱為

“原假設”或“零假設”

原假設的對立面是“X的均值u#10”

記作"％:uW10”稱為“對立假設”或

“備擇假設”.把它們合寫在一起就是:

Ho:u=10Hp11/10

士解決問題的思路分析:

???樣本均值是口的一個良好估計.

???如果u=10,即原假設成立時,那么：

K-10I應該比較小.反之，如果它過于大，那么想

必是原假設不成立.

區-1。1的大小可以用來檢驗原假設是否成立.

豐

豐合理的思路是找出一個界限K,

當I又-101<K時,我們就接受原假設Ho.

H

+

當|招-104K時,我們就拒絕原假設Ho.

H

+

這里的問題是,我們如何確定常數K呢

T

H

細致的分析：

+

H

+

H

+

H

豐

于是,當原假設H:u=10成立時，有：

豐o

[/=）二=?N（O,1）

H

0.1/V10

+

為確定常數K,現在我們考慮一個相當小的正

H

數a（理由下面講）.例如a=0.05.

+

于是,當原假設H:u=10成立時,有：

0

H

+

。X-101_

a/

H

IIOJTVWT^

+

P^x-io|>〃a/2?0.1/癡）=a

H

+

T

取K=%/2?0.l/歷

H

1^3

豐

豐現在我們就得到檢驗準則如下：

當盧—10卜K時

H

+

我們就拒絕原假設%:II=10.

H

+

當號—10|<K時

T

H

+

我們就接受原假設H:u=10.

0

H

+

屈

?0.l/

其中K=u0/2

H

+

H

豐

豐

F面我們指出這很符合人們的邏輯,實際上這

豐種思維也叫：帶概率性質的反證法

豐通常的反證法設定一個假設以后,如果出現

的事實與之矛盾，（即如果這個假設是正確的話,

出現一個概率等于o的事件）則絕對地否定假設.

帶概率性質的反證法的邏輯是：

如果假設%是正確的話,出現一個概率很小

的事件,則以很大的把握否定假設”.

豐

豐例：用精確方法測量某化工廠排放的氣體中有害

氣體的含量服從正態分布X?N(23,4),現用一簡便,

H

方法測量6次得一組數據23,21,19,24,18,18(單位：,

+

H

十萬分之一)，問用簡便方法測得的有害氣體含量

+

是否有系統偏差？

T

H

分析：用簡便方法測得有害氣體含量妥N4,今

+

為了判斷用簡便方法測得的有害氣體含量是否有

H

系統偏差，提出兩個相互對立的假設

+

H

Ho：Lt=uo=23,Hi：口W23

+

H

若Ho成立,則U=又二%?N(0J)

若取Q=0.05,則

P{|U|>Ua/2}=ci,即P{|U|>1.96}=0.05

一般認為:小概率事件在一次實驗中是不會發生的

x-23

將樣本觀測值代入U得"=17?"3.06

小概率事件在一次實驗中發生了，故假設不合情理,

即：否定原假設,簡便方法測得均值有系統偏差.

§1假設檢驗的概念與步驟

?定義:任何一個關于總體分布的假設稱為統計假設,

簡稱假設.

?若總體的分布類型已知,只要對一個或幾個未知參

數作出假設,就可以完全確定總體的分布.

?定義:只涉及到總體分布的未知參數的統計假設稱

為參數假設.

?在實際問題中，我們有時不知總體分布的類型,需

要對未知分布函數或者它的某些特征提出假設.

?定義:對總體的未知分布函數或者它的某些特征提

出的統計假設，稱為非參數假設.

§1.1假設檢驗的基本思想

?檢驗法則的建立原則上依賴于小概率事件.其思

想是先假設%是正確的,在％正確的假設下構造一

個事件A,使A在％正確的條件下發生的概率很小，

即P{A|%}很小,而一般認為“一個概率很小的事

件在一次試驗中是幾乎不可能發生的”，進行一次

試驗,若A竟然發生,則％的正確性值得懷疑,因而

決定拒絕原假設%.

?統計假設檢驗問題的一般提法是:在給定備擇假

設片下對原假設%作出判斷,若拒絕原假設％,則接

受備擇假設,否則就接受原假設%.

?在/對Hi的檢驗問題中要作出某種判斷，必須從樣

本（Xp'，…，X，出發制定一個法貝I一旦樣本觀察

值（修多，…冊）確定,可利用所構造的法則作出判斷：

拒絕”還是拒絕％.這種法則稱為％對％的一個檢驗

法則,簡稱為一個檢驗法則,或一個檢驗.

?檢驗法則本質上就是把樣本空間劃分為兩個互不相

交的子集C和C*，使得當樣本（X1X，…,X）的觀察值

（小巧，…，/）￡C時,將拒絕原假設Ho,若（//2…eC*，

則接受原假設.這樣的劃分構成一個準則，稱樣本空間

的子集C為檢驗的臨界域（或拒絕域）.

豐

豐§1.2假設檢驗中的二類錯誤

?根據檢驗法貝加若A發生則拒絕％,否則接受％.

H

這不免要犯二類錯誤.

+

H

?一類錯誤是，當從為真時，因為盡管事件｛A|H。｝是

+

小概率事件,但仍有可能發生,即樣本觀察值

T

（1X2,…，%n）￡C時，按檢驗法則將拒絕原假設”,這

H

種錯誤稱為第一類錯誤.犯第一類錯誤的概率即為

+

我們選定的小概率事件的概率P｛A|%｝二Q,稱為犯

H

第一類錯誤的概率或拒真概率.即

+

P｛拒絕Ho|H0為真戶P｛A|H。｝

H

+

=P｛（X1，X2,…,Xn）￡C|Ho為真｝=a

H

豐

H

-

■另一類錯誤是，當原假設Ho不真，即Hi為真