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2025屆云南省玉溪市元江一中高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題高三期末試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.2.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R,駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個(gè)不同的路口站崗,每個(gè)路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種3.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為()A. B. C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.7.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點(diǎn),則的最大值是()A. B.1 C. D.28.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.129.如圖,正方體的棱長為1,動(dòng)點(diǎn)在線段上,、分別是、的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A., B.存在點(diǎn),使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值10.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,又稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的,如圖(1)),類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖(2)所示的圖形,它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形,設(shè),若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為()A. B.C. D.11.已知是定義是上的奇函數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.3 B.5 C.7 D.912.已知l,m是兩條不同的直線,m⊥平面α,則“”是“l(fā)⊥m”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長是______.14.在矩形ABCD中,,,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為BC,CD邊上動(dòng)點(diǎn),且滿足,則的最大值為________.15.對任意正整數(shù),函數(shù),若,則的取值范圍是_________;若不等式恒成立,則的最大值為_________.16.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的最小值18.(12分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(shè)(1)求的值;(2)若,且,求的值.19.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求20.(12分)已知橢圓()的半焦距為,原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點(diǎn),求橢圓的方程.21.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),證明:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導(dǎo)公式,意在考查平移變換,屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】
先將甲、乙兩人看作一個(gè)整體,當(dāng)作一個(gè)元素,再將這四個(gè)元素分成3個(gè)部分,每一個(gè)部分至少一個(gè),再將這3部分分配到3個(gè)不同的路口,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得選項(xiàng).【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個(gè)整體,個(gè)人變成了4個(gè)元素,再把這4個(gè)元素分成3部分,每部分至少有1個(gè)人,共有種方法,再把這3部分分到3個(gè)不同的路口,有種方法,由分步計(jì)數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列與組合,常常運(yùn)用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題,屬于中檔題.3、C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價(jià)條件為,再利用大角對大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定,同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.4、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡,求得對應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等,求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6、D【解析】
由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.7、D【解析】
如圖所示建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則.當(dāng),即時(shí)等號成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算,建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.8、B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B9、B【解析】
根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故B錯(cuò)誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.10、D【解析】
設(shè),則,小正六邊形的邊長為,利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為,再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè),則,即小正六邊形的邊長為,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六邊形的邊長為,所以,小正六邊形的面積為,大正六邊形的面積為,所以,此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)是定義是上的奇函數(shù),滿足,可得函數(shù)的周期為3,再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得,利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù),滿足,,可得,
函數(shù)的周期為3,
∵當(dāng)時(shí),,
令,則,解得或1,
又∵函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),
∴在區(qū)間上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù),
∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個(gè),
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)充分條件和必要條件的定義,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r,若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立,即充分性成立,若l⊥m,則l∥α或l?α,即必要性不成立,則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.14、【解析】
利用平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)E,F(xiàn)的坐標(biāo),由可得,利用數(shù)量積運(yùn)算求得,再利用線性規(guī)劃的知識求出的最大值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(1)所示:設(shè),,,即,又,令,其中,畫出圖形,如圖(2)所示:當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、簡單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
將代入求解即可;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值;同理,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1);(2)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.16、27【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由得,兩式相減可得是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當(dāng)時(shí),,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因?yàn)椋瑑墒较鄿p得:,即,是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),設(shè)遞增,,所以實(shí)數(shù)的最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因?yàn)椋瑒t,因?yàn)椋剩剩獾茫剩瑒t.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計(jì)算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當(dāng)x≤a時(shí),f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當(dāng)a<x<時(shí),f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當(dāng)x時(shí),f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域?yàn)閇﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點(diǎn):1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)依題意,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,又有,聯(lián)立可求離心率;(2)由(1)設(shè)橢圓方程,再設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求得,令,可得,即得橢圓方程.試題解析:(Ⅰ)過點(diǎn)的直線方程為,則原點(diǎn)到直線的距離,由,得,解得離心率.(Ⅱ)由(1)知,橢圓的方程為.依題意,圓心是線段的中點(diǎn),且.易知,不與軸垂直.設(shè)其直線方程為,代入(1)得.設(shè),則,.由,得,解得.從而.于是.由,得,解得.故橢圓的方程為.21、(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯(cuò)位相減,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用,此類題目是數(shù)列問題中的常見題型,解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵,易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí),弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.22、(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)解析式,先求得導(dǎo)函數(shù),由是函數(shù)的極值點(diǎn)可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域,并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí),.代入函數(shù)解析式放縮為,代入證明的不等式
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