吉林省重點(diǎn)高中2025屆高三下學(xué)期第四次質(zhì)量考評數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

吉林省重點(diǎn)高中2025屆高三下學(xué)期第四次質(zhì)量考評數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實(shí)源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.2.i是虛數(shù)單位,若,則乘積的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.153.的展開式中含的項的系數(shù)為()A. B.60 C.70 D.804.一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.5.已知集合的所有三個元素的子集記為.記為集合中的最大元素,則()A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.7.將函數(shù)的圖象向右平移個周期后,所得圖象關(guān)于軸對稱,則的最小正值是()A. B. C. D.8.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,,,為切點(diǎn),當(dāng)直線,關(guān)于直線對稱時,()A. B. C. D.9.如圖,平面四邊形中,,,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折,使點(diǎn)移動至點(diǎn),且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.10.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的-一個公共點(diǎn),且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.11.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q12.若復(fù)數(shù),,其中是虛數(shù)單位,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)是_____,_____.14.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.15.已知函數(shù)對于都有,且周期為2,當(dāng)時,,則________________________.16.已知等比數(shù)列滿足公比,為其前項和,,,構(gòu)成等差數(shù)列,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值以及此時的直角坐標(biāo).18.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).(1).求證:平面平面;(2).若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.20.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點(diǎn)為1;(2)若函數(shù)在有兩個零點(diǎn),證明:.22.(10分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).2.B【解析】,∴,選B.3.B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到,由二項式的通項,可得解【詳解】由題意,展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數(shù)項和項相乘得到,所以的展開式中含的項的系數(shù)為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了二項式系數(shù)的求解,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項.【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框為跳出循環(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計算,直到達(dá)到輸出條件即可.5.B【解析】

分類討論,分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數(shù),即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素為的集合有個;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;最大元素為的集合有;所以.故選:.【點(diǎn)睛】此題考查集合相關(guān)的新定義問題,其本質(zhì)在于弄清計數(shù)原理,分類討論,分別求解.6.A【解析】

由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問題,一般求橢圓離心率的問題時,通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.7.D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程,對賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為,因為函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,所以,即,所以當(dāng)時,有最小正值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.8.C【解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點(diǎn)不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.9.A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,在中,計算半徑即可.【詳解】由,,可知平面.將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同.由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,記的外心為,由為等邊三角形,可得.又,故在中,,此即為外接球半徑,從而外接球表面積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.10.A【解析】

設(shè)橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.11.B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計算公式的運(yùn)用等知識與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問題解決問題的能力。12.C【解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù),對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離,由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為,所以,其中,故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義,由復(fù)數(shù)的幾何意義,將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡,從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,且.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)的計算題.14.2【解析】

由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點(diǎn),即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn)∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點(diǎn),∴,∵PQ垂直l于點(diǎn)Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點(diǎn),∴,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

利用,且周期為2,可得,得.【詳解】∵,且周期為2,∴,又當(dāng)時,,∴,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.16.0【解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數(shù)列可知因為,所以,故答案為:0【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn):坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎR姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎ǎ患訙p消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確保互化前后方程的等價性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.18.(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)根據(jù)平面有,利用勾股定理可證明,故平面,再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論;(2)在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的余弦值為建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)平面平面因為,所以,所以,所以,又,所以平面.因為平面,所以平面平面.(Ⅱ)如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為軸、軸、軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè),則取,則為面法向量.設(shè)為面的法向量,則,即,取,則依題意,則.于是.設(shè)直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.19.(1);(2).【解析】

(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),可得出直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,結(jié)合求出正實(shí)數(shù)的值,進(jìn)而可得出拋物線的方程;(2)設(shè)點(diǎn),,設(shè)的方程為,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,結(jié)合求得的值,可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo),由此可得出點(diǎn)到直線的最大距離.【詳解】(1)易知點(diǎn),又,所以點(diǎn),則直線的方程為.聯(lián)立,解得或,所以.故拋物線的方程為;(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立有,設(shè)點(diǎn),,則,所以.所以,解得.所以直線的方程為,恒過點(diǎn).又點(diǎn),故當(dāng)直線與軸垂直時,點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解,同時也考查了拋物線中最值問題的求解,涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.20.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設(shè),求,令,故在單調(diào)遞增,存在使得,,計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當(dāng)時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調(diào)遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴

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