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文檔簡介
江西省豐城市第九中學(xué)2025屆高三1月階段測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知為一條直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則2.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.3.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.4.已知若在定義域上恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.6.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明,此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承,普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治,經(jīng)濟,文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名,隨機抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明,能說出兩種發(fā)明的有45人,能說出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中,對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人7.在中,是的中點,,點在上且滿足,則等于()A. B. C. D.8.設(shè),,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.1410.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣8511.已知函數(shù)在區(qū)間有三個零點,,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.12.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.13二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知滿足且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7,最小值為1,則___________.14.函數(shù)的極大值為________.15.記為等比數(shù)列的前n項和,已知,,則_______.16.的展開式中的常數(shù)項為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知x,y,z均為正數(shù).(1)若xy<1,證明:|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy?2yz?2xz的最小值.18.(12分)在四棱錐中,底面是邊長為2的菱形,是的中點.(1)證明:平面;(2)設(shè)是直線上的動點,當(dāng)點到平面距離最大時,求面與面所成二面角的正弦值.19.(12分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于,兩點,為坐標(biāo)原點.(1)若直線過橢圓的上頂點,求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點,直線,,的斜率分別為,,,求的值.20.(12分)為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求,某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況.現(xiàn)分別從、、三塊試驗田中各隨機抽取株植物測量高度,數(shù)據(jù)如下表(單位:厘米):組組組假設(shè)所有植株的生長情況相互獨立.從、、三組各隨機選株,組選出的植株記為甲,組選出的植株記為乙,組選出的植株記為丙.(1)求丙的高度小于厘米的概率;(2)求甲的高度大于乙的高度的概率;(3)表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為.從、、三塊試驗田中分別再隨機抽取株該種植物,它們的高度依次是、、(單位:厘米).這個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,試比較和的大小.(結(jié)論不要求證明)21.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin22.(10分)已知函數(shù),其中為實常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時,設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點,,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】A.若,則或,故A錯誤;B.若,則或故B錯誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.2、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.3、C【解析】
先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函數(shù)的值域,由題意可知,不等式在定義域上恒成立,可得出關(guān)于的不等式,即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】,先解不等式.①當(dāng)時,由,得,解得,此時;②當(dāng)時,由,得.所以,不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時,,則,此時;當(dāng)時,,此時.綜上所述,函數(shù)的值域為,由于在定義域上恒成立,則不等式在定義域上恒成立,所以,,解得.因此,實數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù),同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.5、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點睛:本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.6、D【解析】
先求得名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的有人,設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人,則,解得人.故選:D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M是BC的中點,知AM是BC邊上的中線,又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點.②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點坐標(biāo)是三個頂點坐標(biāo)的平均數(shù).8、A【解析】
根據(jù)對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.9、A【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時,,由對稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個零點,,,當(dāng)時,,∴由對稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查計算能力.12、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再利用幾何意義求最值,表示直線在軸上的截距,只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可.【詳解】由題意得:目標(biāo)函數(shù)在點B取得最大值為7,在點A處取得最小值為1,∴,,∴直線AB的方程是:,∴則,故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值的方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意,得.所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以當(dāng)時,函數(shù)有極大值.故答案為:.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題.15、【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的基本量運算,屬于基礎(chǔ)題.16、160【解析】
先求的展開式中通項,令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解:因為的展開式的通項公式為:;令,可得;的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:160.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是熟記二項展開式的通項,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)最小值為1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根據(jù)0<xy<1時,即可證明|x+z|?|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】(1)證明:∵x,y,z均為正數(shù),∴|x+z|?|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時取等號.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|?|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時取等號,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy?2yz?2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy?2yz?2xz的最小值為1.【點睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點,連接,根據(jù)菱形的性質(zhì),結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進行證明即可;(2)根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離,結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標(biāo)原點,直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角公式,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.【詳解】(1)證明:取中點,連接,因為四邊形為菱形且.所以,因為,所以,又,所以平面,因為平面,所以.同理可證,因為,所以平面.(2)解:由(1)得平面,所以平面平面,平面平面.所以點到直線的距離即為點到平面的距離.過作的垂線段,在所有的垂線段中長度最大的為,此時必過的中點,因為為中點,所以此時,點到平面的距離最大,最大值為1.以為坐標(biāo)原點,直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以平面的一個法向量為,設(shè)平面的法向量為,則即取,則,,所以,所以面與面所成二面角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用,考查了二面角的向量求法,考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運算能力.19、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點求得橢圓的焦點,由此求得,結(jié)合橢圓離心率求得,進而求得,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得橢圓上頂點的坐標(biāo),由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得兩點的縱坐標(biāo),由此求得的面積.(2)求得兩點的坐標(biāo),設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達定理,由此求得的值,根據(jù)在橢圓上求得的值,由此求得的值.【詳解】(1)因為拋物線的焦點坐標(biāo)為,所以橢圓的右焦點的坐標(biāo)為,所以,因為橢圓的離心率為,所以,解得,所以,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點為,所以直線:,聯(lián)立,消去整理得,解得,,所以的面積.(2)由題知,,,設(shè),.由題還可知,直線的斜率不為0,故可設(shè):.由,消去,得,所以所以,又因為點在橢圓上,所以,所以.【點睛】本小題主要考查拋物線的焦點,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓,三角形的面積等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.20、(1);(2);(3).【解析】
設(shè)事件為“甲是組的第株植物”,事件為“乙是組的第株植物”,事件為“丙是組的第株植物”,、、、,可得出.(1)設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”,可得,且、互斥,利用互斥事件的概率公式可求得結(jié)果;(2)設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”,列舉出符合題意的基本事件,利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率;(3)根據(jù)題意直接判斷和的大小即可.【詳解】設(shè)事件為“甲是組的第株植物”,事件為“乙是組的第株植物”,事件為“丙是組的第株植物”,、、、.由題意可知,、、、.(1)設(shè)事件為“丙的高度小于厘米”,由題意知,又與互斥,所以事件的概率;(2)設(shè)事件為“甲的高度大于乙的高度”.由題意知.所以事件的概率;(3).【點睛】本題考查概率的求法,考查互斥事件加法公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中等題.21、(1)b=32【解析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定
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