江蘇省宿遷市沭陽中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)試題_第1頁
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文檔簡介

江蘇省宿遷市沭陽中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.2.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.3.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A. B. C. D.4.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位5.已知集合,,則的真子集個(gè)數(shù)為()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c7.我國南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問各得金幾何?”則在該問題中,等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤8.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.10.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.311.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.12.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_____14.已知向量,,若,則______.15.正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)弦的長度最大時(shí),的取值范圍是______.16.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機(jī)選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),,總有成立.18.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.20.(12分)如圖所示,在三棱錐中,,,,點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若點(diǎn)為中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖,平面四邊形中,,是上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)證明:當(dāng)時(shí),.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)椋杂校菏欠匠痰亩?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.2、D【解析】

設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.3、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解:因?yàn)椋傻炔顢?shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項(xiàng)和,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用,如.4、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求出的元素,再確定其真子集個(gè)數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個(gè)元素,因此它的真子集有3個(gè).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題,解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù),解題關(guān)鍵是對(duì)集合元素的認(rèn)識(shí),本題中集合都是曲線上的點(diǎn)集.6、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C8、D【解析】

利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.10、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問題.11、B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查對(duì)數(shù)式比較大小,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2(1)=2(1).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.14、1【解析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運(yùn)用表示出,即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接,如下圖所示:設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長度最大時(shí),為球的直徑,由向量線性運(yùn)算可知正方體的棱長為2,則球的半徑為1,,所以,而所以,即故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算,正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計(jì)算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)事件的概率,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得在上恒成立,參變分離得在上恒成立.設(shè),求出即可得到參數(shù)的取值范圍;(2)不妨設(shè),,,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù),即可得證;【詳解】解:(1)∵∴,且函數(shù)在上為減函數(shù),即在上恒成立,∴在上恒成立.設(shè),∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,∴,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)不妨設(shè),,,則,∴.∵,∴,又,令,∴,∴在上為減函數(shù),∴,∴,即,∴在上是減函數(shù),∴,即,∴,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.18、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點(diǎn),連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點(diǎn),連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)椋匀∶娴姆ㄏ蛄咳。瑒t,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,判斷出的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)由(1)知,結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,由此化簡的表達(dá)式為,通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得,由此證得成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)榈茫╥)當(dāng)時(shí);,因?yàn)闀r(shí),時(shí),,所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn);(ii)若時(shí),若,即時(shí),,在是減函數(shù),無極值點(diǎn).若,即時(shí),有兩根,不妨設(shè)當(dāng)和時(shí),,當(dāng)時(shí),,是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),綜上所述時(shí),僅有一個(gè)極值點(diǎn);時(shí),無極值點(diǎn);時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn).(2)由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),且是方程的兩根,,則所以設(shè),則,又,即,所以所以是上的單調(diào)減函數(shù),有兩個(gè)極值點(diǎn),則【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)答案見解析.(2)【解析】

(1)通過證明平面,證得,證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫裕驗(yàn)椋c(diǎn)為中點(diǎn),所以.因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,軸,過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即取,則,,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即取,則,,所以,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)【解析】

(1)要證平面平面,只需證平面,而,所以只需證,而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形,又由于是的中點(diǎn),所以,從而可證得結(jié)論;(2)由于在中,,而平面平面,所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn),所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解.【詳解】(1)由,所以平面四邊形為直角梯形,設(shè),因?yàn)?所以在中,,則,又,所以,由,所以為等邊三角形,又是的中點(diǎn),所以,又平面,則有平面,而平面,故平面平面.(2)解法一:在中,,取中點(diǎn),所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),方向?yàn)檩S方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的法向量,由得取,則設(shè)直線與平面所成角大小為,則,故直線與平面所成角的正弦值為.解法二:在中,,取中點(diǎn),所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,過作于,連,則由平面平面,所以,又,則平面,又平面所以,在中,,所以,設(shè)到平面的距離為,由,即,即,可得,設(shè)直線與平面所成角大小為,則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.22、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)求出,分別以當(dāng),,時(shí),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點(diǎn)的

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