2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第四單元：長方體和正方體的表面積增減變化問題“提高型”一、填空題。1．將4個大小相同的正方體粘成一個長方體后，表面積減少54平方厘米，那么這個長方體的表面積是()，體積是()。2．把一根長5米的長方體木料橫截成兩段，表面積增加0.08平方米，原來這根木料的體積是()立方米。3．一根8米長的方鋼，把它截成3段時，表面積增加了64平方厘米，原來方鋼的體積是()立方厘米。4．用棱長2cm的小正方體。拼成一個更大一些的正方體，拼成的大正方體的棱長總和最小是()cm，表面積最小是()，體積最小是()。5．一個表面積是60cm2的長方體按下圖所示切三刀，分割成()個小長方體，這些小長方體的表面積之和比原來的長方體增加()cm2。

6．從一個大正方體木塊上截下三個小正方體（如圖），剩下立體圖形的表面積比原來大正方體減少了8cm2，照這樣大正方體共可以截出27個小正方體。原來大正方體的體積是()cm3。

7．一個長方體，它的高減少4分米，就成為一個正方體，這時表面積比原來減少9600平方厘米。原來的長方體的體積是()立方分米。8．一段長方體木材長4分米，把它橫截成4段后，表面積增加了6平方分米，這段木材原來的體積是()立方分米。9．將一個長7厘米，寬5厘米，高6厘米的長方體截成一個最大的正方體，這個正方體的體積是()立方厘米。10．一塊長方體木塊，從下部和上部分別截去高為1厘米和3厘米的長方體后，變成一個正方體，表面積減少了80平方厘米，原來長方體木塊的體積是()立方厘米。二、解答題。11．把一根長60厘米的長方體木料鋸成大小一樣的3段，表面積比原來增加了100平方厘米。這根木料原來的體積是多少立方厘米？12．一根25米的長方體木料，把它平均鋸成4段，表面積增加了48平方分米。這根木料的體積是多少立方米？13．用4個完全一樣的小正方體積木拼成一個長方體（如下圖所示），表面積減少了32平方厘米，每個小正方體的體積是多少？拼成的這個長方體的底面積是多少？14．一個長方體木料的長是5厘米，寬是4厘米，高是3厘米。把它鋸成一個最大的正方體后，剩下木料的體積（不計損耗）是多少立方厘米？15．一個長方體按以下方法分別割成了兩個長方體，得到兩個長方體的表面積之和比原來長方體的表面積分別增加了16平方厘米，24平方厘米，32平方厘米，原來長方體的表面積是多少平方厘米？16．網(wǎng)購已經(jīng)成為人們生活中一種十分普遍的現(xiàn)象，淘寶店鋪也相應(yīng)的增加。有人在張叔叔店鋪下單3本書，他要將這3本書包裝在一起寄給買家，怎樣包才能節(jié)約包裝紙？至少需要多大面積的包裝紙？（接口處不計）17．一個長方體，用與底面平行的方式從上部截取一部分后變成了一個正方體，這時表面積減少了336平方厘米，原來的長方體體積是多少？18．一套《中華德育故事》共8本，每本的長、寬、高分別是22厘米，16厘米和0.8厘米。鈞鈞買了一套《中華德育故事》要寄給希望小學(xué)。包裝這套書，至少需要多少包裝紙？19．有一個長方體，先后沿不同方向切了三刀（如圖），切完第一刀后得到的2個小長方體的表面積之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4個小長方體表面積之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8個小長方體的表面積之和是752平方厘米。那么，原來長方體六個面中面積最小的是多少平方厘米？20．把一個長方體的高截去2厘米，表面積就減少24平方厘米，剩下的部分是一個正方體，原來長方體的體積是多少立方厘米？2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第四單元：長方體和正方體的表面積增減變化問題“提高型”一、填空題。1．將4個大小相同的正方體粘成一個長方體后，表面積減少54平方厘米，那么這個長方體的表面積是()，體積是()。【答案】162平方厘米108立方厘米【分析】如圖：，表面積減少的部分為6個正方形面的面積，用54÷6，求出1個小正方形的面積，再根據(jù)正方形面積公式：面積＝棱長×棱長，進(jìn)而推出小正方體的棱長；這個長方體的長是正方體棱長的4倍，寬和高與正方體棱長相等，根據(jù)長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，體積公式：體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】54÷6＝9（平方厘米）3×3＝9，正方體棱長為3厘米；長方體的長是3×4＝12（厘米），寬是3厘米，高是3厘米。表面積：（12×3＋12×3＋3×3）×2＝（36＋36＋9）×2＝（72＋9）×2＝81×2＝162（平方厘米）體積：12×3×3＝36×3＝108（立方厘米）將4個大小相同的正方體粘成一個長方體后，表面積減少54平方厘米，那么這個長方體的表面積是162平方厘米，體積是108立方厘米。2．把一根長5米的長方體木料橫截成兩段，表面積增加0.08平方米，原來這根木料的體積是()立方米。【答案】0.2【分析】長方體木料沿橫截面截成2段，表面積增加了2個橫截面，已知表面積增加0.08平方米，用0.08÷2即可求出1個橫截面的面積，再根據(jù)長方體的體積＝橫截面積×長，用0.08÷2×5即可求出長方體木料的體積。據(jù)此解答。【詳解】0.08÷2×5＝0.2（立方米）這根木料原來的體積是0.2立方米。【點睛】本題主要考查了長方體體積公式的靈活應(yīng)用，要注意表面積增加了哪些面。3．一根8米長的方鋼，把它截成3段時，表面積增加了64平方厘米，原來方鋼的體積是()立方厘米。【答案】12800【分析】把長方體方鋼截成3段后，表面積比原來增加了64平方厘米，增加的是這個長方體方鋼4個橫截面的面積，用64除以4，即可求出長方體橫截面的面積，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝Sh，進(jìn)行解答即可。【詳解】8米＝800厘米64÷4×800＝16×800＝12800（立方厘米）即原來方鋼的體積是是12800立方厘米。【點睛】此題考查長方體的體積公式的計算應(yīng)用，抓住長方體的切割特點，求出長方體的底面積是解決本題的關(guān)鍵。4．用棱長2cm的小正方體。拼成一個更大一些的正方體，拼成的大正方體的棱長總和最小是()cm，表面積最小是()，體積最小是()。【答案】489664【分析】如果正方體棱長為1，13＝1，則最小的正方體只含有1個棱長為1的小正方體；棱長為2，23＝8，則1個大正方體至少含有8個棱長為1的小正方體；因為每條棱上有2個小正方體，且小正方體的棱長為2cm，則拼成的大正方體棱長為2×2＝4（cm）；據(jù)此根據(jù)正方體棱長公式：12a、表面積公式：6a2、體積公式：a3，分別求得拼成的大正方體棱長總和最小是多少，表面積最小是多少，體積最小是多少。【詳解】2×2＝4（cm）4×12＝48（cm）42×6＝96（cm2）43＝64（cm3）用棱長2cm的小正方體。拼成一個更大一些的正方體，拼成的大正方體的棱長總和最小是（48）cm，表面積最小是（96），體積最小是（64）。【點睛】考查了正方體的棱長的應(yīng)用、表面積及體積的計算；需要熟悉正方體的特征，且注意題目里小正方體棱長不是1cm，是2cm。5．一個表面積是60cm2的長方體按下圖所示切三刀，分割成()個小長方體，這些小長方體的表面積之和比原來的長方體增加()cm2。

【答案】860【分析】觀察可知，如圖所示切三刀，將長方體分割成了2層，每層4個，共8個小長方體；每切一刀增加2個面，即增加了前后左右上下共6個面，增加的部分是一個完整大長方體的表面積，據(jù)此分析。【詳解】一個表面積是60cm2的長方體如圖所示切三刀，分割成8個小長方體，這些小長方體的表面積之和比原來的長方體增加60cm2。【點睛】關(guān)鍵是看懂圖示，具有一定的空間想象能力。6．從一個大正方體木塊上截下三個小正方體（如圖），剩下立體圖形的表面積比原來大正方體減少了8cm2，照這樣大正方體共可以截出27個小正方體。原來大正方體的體積是()cm3。

【答案】216【分析】通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)：減少的面積是小正方體的2個面的面積，用8÷2求出小正方體1個面的面積是4cm2；根據(jù)正方形的面積＝邊長×邊長，即4＝2×2，可以求出小正方體的棱長是2cm；再根據(jù)正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，用2×2×2求出1個小正方體的體積是8cm3，用8×27求出原來大正方體的體積。【詳解】8÷2＝4（cm2）4＝2×22×2×2＝8（cm3）8×27＝216（cm3）所以原來大正方體的體積是216cm3。【點睛】解決此題關(guān)鍵是通過觀察圖形明確減少的面積是哪些面的面積。7．一個長方體，它的高減少4分米，就成為一個正方體，這時表面積比原來減少9600平方厘米。原來的長方體的體積是()立方分米。【答案】360【分析】9600平方厘米＝96平方分米，如果長方體的高減少4分米，則長方體的側(cè)面積減少，根據(jù)側(cè)面積＝底面周長×高，據(jù)此可知側(cè)面減少的面積除以減少的高度，即可求出長方體的底面周長，因為高減少4分米，就成為一個正方體，說明長方體的底面是一個正方形，根據(jù)正方形的周長公式，用底面周長除以4即可求出底面的長和寬，再加上4即可求出長方體原來的高，最后根據(jù)長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)即可求出原來長方體的體積。【詳解】9600平方厘米＝96平方分米96÷4＝24（分米）24÷4＝6（分米）6＋4＝10（分米）6×6×10＝360（立方分米）原來的長方體的體積是360立方分米。【點睛】本題主要考查了長方體表面積公式和體積公式的靈活應(yīng)用，要注意表面積減少了哪些面是解答本題的關(guān)鍵。8．一段長方體木材長4分米，把它橫截成4段后，表面積增加了6平方分米，這段木材原來的體積是()立方分米。【答案】4【分析】長方體木材沿橫截面截成4段，表面積增加了6個橫截面，已知表面積增加6平方分米，用6÷6即可求出1個橫截面的面積，再根據(jù)長方體的體積＝橫截面積×長，用6÷6×4即可求出長方體木材的體積。據(jù)此解答。【詳解】6÷6×4＝4（立方分米）原來長方體木材的體積是4立方分米。【點睛】本題主要考查了長方體體積公式的靈活應(yīng)用，要注意表面積增加了哪些面。9．將一個長7厘米，寬5厘米，高6厘米的長方體截成一個最大的正方體，這個正方體的體積是()立方厘米。【答案】125【分析】長方體截成一個最大的正方體，正方體的棱長等于長方體的寬，即正方體棱長是5厘米，根據(jù)正方體的體積公式：體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】5×5×5＝25×5＝125（立方厘米）將一個長7厘米，寬5厘米，高6厘米的長方體截成一個最大的正方體，這個正方體的體積是125立方厘米。【點睛】明確正方體的棱長等于長方體最短的那條邊是解答本題的關(guān)鍵。10．一塊長方體木塊，從下部和上部分別截去高為1厘米和3厘米的長方體后，變成一個正方體，表面積減少了80平方厘米，原來長方體木塊的體積是()立方厘米。【答案】225【分析】這個長方體木塊，從下部和上部分別截去1厘米和3厘米長方體后，便成為一個正方體，可知這個長方體的底面是一個正方形，這個長方體上、下部減少的面展開再拼在一起是一個寬為1＋3＝4（厘米）的長方形，用減少的面積除以4就是這個長方形的長，再除以4就是這個長方形底面邊長，底邊長加上4，即可求出長方體的高，再根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，可求出原長方體的體積。【詳解】80÷（3＋1）÷4＝80÷4÷4＝20÷4＝5（厘米）5×5×（5＋3＋1）＝25×9＝225（立方厘米）即原來長方體的體積是225立方厘米。【點睛】本題是考查圖形的切拼問題、長方體、正方體周長與體積的計算。這個長方體上、下部減少的面展開再拼在一起是一個長方形。二、解答題。11．把一根長60厘米的長方體木料鋸成大小一樣的3段，表面積比原來增加了100平方厘米。這根木料原來的體積是多少立方厘米？【答案】1500立方厘米【分析】把長方體木料鋸成大小一樣的3段，鋸了（3－1）＝2次，增加了2×2＝4個截面，即增加的表面積相當(dāng)于這根長方體木料的4個底面積，用增加的面積除以4，可得長方體木料的底面積。根據(jù)長方體體積公式：V＝Sh，將數(shù)據(jù)代入即可求出木料原來的體積。【詳解】由分析可得：（3－1）×2＝2×2＝4（個）100÷4×60＝25×60＝1500（立方厘米）答：這根木料原來的體積是1500立方厘米。【點睛】本題考查了長方體體積的計算，關(guān)鍵明白100平方厘米是4個底面積的和，從而求出一個截面的面積，再計算該長方體木料的體積。12．一根25米的長方體木料，把它平均鋸成4段，表面積增加了48平方分米。這根木料的體積是多少立方米？【答案】2立方米【分析】把一根木料鋸成4段，要鋸3次，每鋸一次增加兩個面的面積，所以共增加6個面的面積，已知表面積增加了48平方分米，除以6求出一個面的面積，即這根木料的底面積，根據(jù)長方體的體積公式，用底面積乘25，即可求出這根木料的體積。【詳解】（4－1）×2＝3×2＝6（個）48平方分米＝0.48平方米0.48÷6×25＝0.08×25＝2（立方米）答：這根木料的體積是2立方米。【點睛】此題主要考查立體圖形切割的特點以及長方體的體積的計算方法，關(guān)鍵是弄清增加了幾個面的面積。13．用4個完全一樣的小正方體積木拼成一個長方體（如下圖所示），表面積減少了32平方厘米，每個小正方體的體積是多少？拼成的這個長方體的底面積是多少？【答案】8立方厘米；16平方厘米【分析】如圖，拼成一個長方體后，表面積減少了8個小正方形的面積，用32除以8可求出其中一個小正方形的面積為4平方厘米，所以小正方形的邊長為2厘米，即小正方體的棱長為2厘米，根據(jù)正方體的體積公式即可求出每個小正方體的體積；長方體的長和寬都為（2＋2）厘米，利用長乘寬即可求出拼成的這個長方體的底面積。【詳解】32÷8＝4（平方厘米）因為2×2＝4（平方厘米）所以小正方體的棱長是2厘米。2×2×2＝8（立方厘米）（2＋2）×（2＋2）＝4×4＝16（平方厘米）答：每個小正方體的體積是8立方厘米，拼成的這個長方體的底面積是16平方厘米。【點睛】此題主要考查立體圖形的拼接，熟練運用正方體的體積和長方體的底面積公式，弄清減少的是幾個面的面積是解題的關(guān)鍵。14．一個長方體木料的長是5厘米，寬是4厘米，高是3厘米。把它鋸成一個最大的正方體后，剩下木料的體積（不計損耗）是多少立方厘米？【答案】33立方厘米【分析】由題意可知，把這個長方體鋸成一個最大的正方體，則該正方體的棱長為3厘米，根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此分別求出正方體和長方體的體積，然后用長方體的體積減去正方體的體積即可。【詳解】5×4×3－（3×3×3）＝20×3－27＝60－27＝33（立方厘米）答：剩下木料的體積（不計損耗）是33立方厘米。【點睛】本題考查長方體和正方體的體積，明確正方體的棱長相當(dāng)于長方體的高是解題的關(guān)鍵。15．一個長方體按以下方法分別割成了兩個長方體，得到兩個長方體的表面積之和比原來長方體的表面積分別增加了16平方厘米，24平方厘米，32平方厘米，原來長方體的表面積是多少平方厘米？【答案】72平方厘米【分析】觀察圖形可知，把這個長方體分別與左右面平行，上下面平行，前后面平行切，每切一次就增加兩個切面的面積，把增加的切面的面積相加，就是這個長方體的表面積，據(jù)此解答。【詳解】16＋24＋32＝40＋32＝72（平方厘米）答：原來長方體的表面積是72平方厘米。【點睛】本題考查長方體的切割方法，關(guān)鍵是明確增加了哪兩個切面的面積。16．網(wǎng)購已經(jīng)成為人們生活中一種十分普遍的現(xiàn)象，淘寶店鋪也相應(yīng)的增加。有人在張叔叔店鋪下單3本書，他要將這3本書包裝在一起寄給買家，怎樣包才能節(jié)約包裝紙？至少需要多大面積的包裝紙？（接口處不計）【答案】將3本書的40×20的這個面相粘合，得到的大長方體的表面積最小，這樣最節(jié)約包裝紙；5200平方厘米【分析】根據(jù)題意，要想最節(jié)約包裝紙，就是3本書的最大面積重合摞起來進(jìn)行包裝；摞起來后，長方體的長是40厘米，寬是20厘米，高是（10×3）厘米；根據(jù)長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)，即可求出至少需要多少面積的包裝紙。【詳解】將3本書的40×20的這個面相粘合，得到的大長方體的表面積最小，這樣最節(jié)約包裝紙。長：40厘米；寬：20厘米；高：10×3＝30（厘米）（40×20＋40×30＋20×30）×2＝（800＋1200＋600）×2＝（2000＋600）×2＝2600×2＝5200（平方厘米）答：至少需要5200平方厘米的包裝紙。【點睛】本題考查長方體表面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵明確書的最大面積摞起來最節(jié)省包裝紙。17．一個長方體，用與底面平行的方式從上部截取一部分后變成了一個正方體，這時表面積減少了336平方厘米，原來的長方體體積是多少？【答案】3920立方厘米【分析】長方體的高減少6厘米，后變成正方體，說明長方體的底面是個正方形，減少的表面積就是高為6厘米的長方體的四個側(cè)面的面積和，由于底面是正方形，高都是6厘米，所以這4個側(cè)面相等，一個側(cè)面積等于：336÷4＝84平方厘米；一個側(cè)面積＝底面邊長×6，底面的邊長等于：84÷6＝14厘米；底面是一個正方形，原來長方體的長和寬都等于14厘米。原來長方體的高等于14＋6＝20厘米，再根據(jù)長方體體積公式：體積＝長×寬×高；代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】原長方體的長、寬：336÷4÷6＝84÷6＝14（厘米）高：14＋6＝20（厘米）體積：14×14×20＝3920（立方厘米）答：原來的長方體體積是3920立方厘米。【點睛】本題考查長方體體積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出原長方體的長和寬。18．一套《中華德育故事》共8本，每本的長、寬、高分別是22厘米，16厘米和0.8厘米。鈞鈞買了一套《中華德育故事》要寄給希望小學(xué)。包裝這套書，至少需要多少包裝紙？【答案】1190.4平方厘米【分析】每本書的長為22厘米，寬為16厘米，高為0.8厘米，則長方體中長和寬所在的面面積最大，把8個長方體最大的面重合在一起需要的包裝紙面積最少，大長方體的長為22厘米，寬為16厘米，高為（0.8×8）厘米，最后利用“長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2”求出需要包裝紙的面積，據(jù)此解答。【詳解】（22×16＋22×0.8×8＋16×0.8×8）×2＝（352＋17.6×8＋12.8×8）×2＝（352＋140.8＋102.4）×2＝595.2×2＝1190.4（平方厘米）答：至少需要1190.4平方厘米包裝紙。【點睛】本題主要考查長方體表面積公式的應(yīng)用，掌握長方體的表面積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。19．有一個長方體，先后沿不同方向切了三刀（如圖），切完第一刀后得到的2個小長方體的表面積之和是4