第二章方程與不等式重難點02方程與不等式（組）有關的含參問題（2種命題預測+17種題型匯總+專題訓練）【題型匯總】類型一方程含參問題【命題預測】1).一次方程組的含參問題一是方程組與不等式的聯系時，產生的未知數的正數解或解的范圍，解決這類問題是把所給的參數作為常數，利用二元一次方程組的解法代入消元法、加減消元法，先求出二元一次方程組的解，再結合所給的條件轉化為對應的不等式問題;二是利用整體思想，求代數式的值，結合所給的已知條件和所求問題，找到兩者之間的聯系，利用整體思想和轉化思想加以解決2).分式方程的參數問題主要是分式方程無解、有正數解或負數解、整數解的問題，解決此類問題的關鍵是化分式方程為整式方程，在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.3).一元二次方程的參數問題主要是含有參數的一元二次方程的解一元二次方程的解的情況、一元二次方程的公共解，針對一元二次方程的參數，常利用韋達定理、根的判別式來解決，同時注意二次項系數不能為零.若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2，則x1+x2=注意運用根與系數關系的前提條件是，知一元二次方程，求關于方程兩根的代數式的值時，先把所求代數式變形為含有的式子，再運用根與系數的關系求解.題型01已知方程的解求參數1．（2021·重慶·中考真題）若關于x的方程4-x2+a=4的解是x=2，則a的值為【答案】3【分析】將x=2代入已知方程列出關于a的方程，通過解該方程來求a的值即可．【詳解】解：根據題意，知4-22解得a=3．故答案是：3．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解．2．（2024·四川涼山·中考真題）若關于x的一元二次方程a+2x2+x+a2-4=0的一個根是A．2 B．-2 C．2或-2 D．1【答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數不為0．由一元二次方程的定義，可知a+2≠0；一根是0，代入a+2x2+x+【詳解】解：a+2x2+x+∴a+2≠0，即a≠-2①由一個根x=0，代入a+2x可得a2-4=0，解之得a=±2；由①②得a=2；故選A3．（2021·浙江金華·中考真題）已知x=2y=m是方程3x+2y=10的一個解，則m的值是【答案】2【分析】把解代入方程,得6+2m=10，轉化為關于m的一元一次方程，求解即可．【詳解】∵x=2y=m是方程3x+2y=10∴6+2m=10，解得m=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運用方程的解的定義，轉化為一元一次方程求解是解題的關鍵．4．（2024·江西九江·模擬預測）已知x=2是分式方程mx-6=1x的解，則【答案】-2【分析】本題主要考查了分式方程的解，把x=2代入分式方程，即可得出關于m的方程，求解即可．【詳解】解：把x=2代入mx-6m2-6解得：m=-2，故答案為：-25．（2023·河北·中考真題）根據下表中的數據，寫出a的值為．b的值為．x結果代數式2n3x+17b2x+1a1【答案】52【分析】把x=2代入得2x+1x=a，可求得a的值；把x=n分別代入3x+1=b和【詳解】解：當x=n時，3x+1=b，即3n+1=b，當x=2時，2x+1x=a，即當x=n時，2x+1x=1，即解得n=-1，經檢驗，n=-1是分式方程的解，∴b=3×-1故答案為：52；【點睛】本題考查了求代數式的值，解分式方程，準確計算是解題的關鍵．6．（2024·湖北·模擬預測）若關于x的一元二次方程x2+bx-4=0有一個根是x=2，求【答案】b=0，方程的另一個根是x=-2【分析】本題主要考查了一元二次方程根的定義，解一元二次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定義．將x=2代入方程求得到b的值，然后解一元二次方程即可．【詳解】解：∵x=2是x2∴4+2b-4=0解得b=0，將b=0代入原方程得x2∴x解得x1=-2，∴b=0，方程的另一個根是x=-2．題型02已知方程的解求代數式的值7．（2024·云南怒江·一模）已知m是方程x2-3x+1=0的根，求代數式m3A．1 B．3 C．4 D．7【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，求代數式的值，由題意得出m2=3m-1，再整體代入【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m2∴m3故選：A．8．（2022·四川雅安·中考真題）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，則代數式2a+4b﹣5的值為【答案】1【分析】把{x=1y=2代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5【詳解】解：把{x=1y=2代入ax+by＝a+2b=3，∴2a+4b﹣5=2(a+2b)-5=2×3-5=1．故答案為：1【點睛】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數式的值，掌握“方程的解的含義及整體代入的方法”是解本題的關鍵．9．（2024·廣東中山·模擬預測）已知x=2y=-3是方程組ax+by=3bx+ay=-7的解，求代數式【答案】8【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，以及代數式求值，先根據二元一次方程組的解得出新的二元一次方程組，再根據加減消元法求出a，b的值，然后代入求值即可．【詳解】解：依題意得方程組2a-3b=3①①×3+②×2得-5b=-5，∴b=1，把b=1代入①得a=3；則a+ba-b10．（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知3a-b=2，求代數式6a-2b-1的值．”可以這樣解：6a-2b-1=23a-b-1=2×2-1=3．根據閱讀材料，解決問題：若x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數式4a【答案】14【分析】先根據x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代數式變形為2a+b2+22a+b【詳解】解：∵x=2是關于x的一元一次方程ax+b=3的解，∴2a+b=3，∴4===14．故答案為：14．【點睛】本題考查了代數式的整體代入求值及一元一次方程解的定義，把所求的代數式利用完全平方公式變形是解題的關鍵．11．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2-x-3=0的兩個實數根，多項式【答案】11【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1,x2，則x【詳解】解：由題意得：n2-n-3=0，m+n=1，∴n2∴2n故答案為：11．題型03同解方程12．（2024涼州區三模）已知關于x的方程x-m2=x+m3與3x-【答案】-【分析】先解3x-x-1=5求出x的值，然后代入x+m2=x+3【詳解】∵3x-∴3x-x+1=5∴2x=4∴x=2，把x=2代入x-m22-m2去分母，得32-m解得m=-6故答案為：-6【點睛】本題考查了一元一次方程解得定義及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元一次方程的解．13．（20241安順市模擬）關于x的兩個方程x2-x-6=0與2x+m=【答案】﹣8．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值，即用這個數代替未知數所得式子仍然成立；先解方程x2-x-6=0，將它的根分別代入方程2x+m=1【詳解】解：解方程x2-x-6=0得：x=﹣2或把x=﹣2或3分別代入方程2x+m=1x-3，當x=﹣2時，得到2-2+m故答案為﹣8．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義；本題注意分式方程中分母不為0．14．（2020·河北邢臺·二模）已知關于x的方程5x-2=3x+16的解與方程4a+1=4x+a-5a的解相同，則a=；若m表示不大于m的最大整數，那么[【答案】72【分析】求出第一個方程的解，因為兩個方程的解釋相同的，則把第一個方程的解代入第二個方程即可求出a；將a代入[a2-1]【詳解】解：5x-2=3x+165x-3x=2+162x=18x=9將x=9代入4a+1=4x+a4a+1=44a+1=36+4a-5a5a=36-1a=7∵a=7∴7故答案為：7；2．【點睛】本題考查了解一元一次方程和新定義下的實數運算，熟練應用等式的性質解方程及理解新定義是解題的關鍵．15．（2024·貴州畢節·三模）已知關于x，y的二元一次方程組x-3y=7k2x+3y=5k的解也是方程3x-y=26的解，則k的值為（

A．-4 B．-2 C．2 D．無法計算【答案】C【分析】此題考查了解二元一次方程組，二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．把k看作已知數求出x與y，代入已知方程計算即可求出k的值．【詳解】解：x-3y=7k由①+②得：3x=12k，解得：x=4k，把x=4k代入①得：4k-3y=7k，解得：y=-k，把x=4k，y=-k代入3x-y=26，得：3×4k--k解得：k=2，故選：C題型04根據方程解滿足的情況求解16．（2023·河北滄州·模擬預測）對于a、b定義a★b=1a-b2，已知分式方程x★-1=xA．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3【答案】D【分析】根據新定義的含義，轉化為分式方程，按照解分式方程的步驟求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．【詳解】解：根據新定義可得，1x--12去分母得：3=-x，解得x=-3，經檢驗x=-3是分式方程的解，把x=-3代入不等式可得，-32-a解得a>3．故選D．【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式，關鍵是理解新定義，并正確運算．17．（2023·江蘇無錫·二模）若關于x，y的二元一次方程組x-y=3m-2x+3y=-4的解滿足x+y>0，則m的取值范圍【答案】m>2【分析】兩方程相加可得2x+2y=3m-6，根據題意得出關于m的不等式，解之可得．【詳解】解：x-y=3m-2①①+②，得：∴x+y=3m-6∵x+y>0，∴3m-6解得m>2，故答案為：m>2．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，根據題意得出關于m的不等式是解答此題的關鍵．18．（2023金鄉縣一模）已知x1?、x2是方程x2【答案】-3【分析】根據一元二次方程中根與系數的關系可以表示出兩個根的和與積，代入x1-1x2-1=13【詳解】解：∵x1、x2是方程∴x1+x∵x1∴x1∴14解得：k=±3，當k=3時，方程為x2-3x+21當k=-3時，方程為x2+3x-3∴所求k的值為-3．故答案為：-3．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根，則19．（2023·四川眉山·中考真題）已知關于x,y的二元一次方程組3x-y=4m+1x+y=2m-5的解滿足x-y=4，則m的值為（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到x-y=m+3，代入x-y=4，即可解答．【詳解】解：3x-y=4m+1①①-②得∴x-y=m+3，代入x-y=4，可得m+3=4，解得m=1，故選：B．【點睛】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵．20．（2024·廣東汕頭·一模）若關于x，y的方程組2x-y=2m-1x-2y=n的解滿足x+y=-4，則4m÷A．8 B．18 C．6 D．【答案】B【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵，利用①-②得：x+y=2m-n-1，即可得到2m-n=-3，再將【詳解】解：2x-y=2m-1①-②得：∴x+y=-4，∴2m-n-1=-4，∴2m-n=-3，∴4m故選：B．題型05方程的整數解問題21．（2022·廣東揭陽·模擬預測）如果關于x，y的方程組4x-3y=66x+my=26的解是整數，那么整數mA．4，-4，-5，13 B．4，-4，-5，-13C．4，-4，5，13 D．-4，5，-5，13【答案】B【分析】先將m看作已知量，解二元一次方程組，用m表示出y，再結合x，y為整數，得出y的整數解，然后把y的整數解代入①，得出x的解，再把方程組的整數解代入②，即可得出m的值．【詳解】解：4x-3y=6①由②×2-①×3∵x，y為整數，∴當2m+9為-34，-17，∴把2m+9的值代入y=342m+9，可得：y=-1，y=-2，y=-17，y=-34，y=1，y=2，y=17，∴把y的整數解代入①，可得：x=34，x=0，x=-454，x=-24，x=94，∴方程組4x-3y=66x+my=26的整數解為x=0y=-2，x=-24y=-34，x=3把方程組的整數解代入②，可得：m=-13，m=-5，m=4，m=-4．故選：B【點睛】本題考查了二元一次方程組的解、解二元一次方程組，解本題的關鍵是用含m的代數式表示y．22．（19-20八年級上·重慶沙坪壩·期末）若二次根式2-m有意義，且關于x的分式方程m1-x+2=3A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【答案】D【分析】根據二次根式2-m有意義，可得m≤2，解出關于x的分式方程m1-x+2=3x-1的解為x=m+52，解為正數解，進而確定m【詳解】解：去分母得，-m+2（解得，x=m+5∵關于x的分式方程m1-x∴m+52＞∴m＞又∵x=1是增根，當x=1時，m+52=1，即∴m≠-3，∵2-m有意義，∴2-m≥0，∴m≤2，因此-5＜m≤2且∵m為整數，∴m可以為-4，-2，-1，0，1，2，其和為-4，故選：D．【點睛】考查二次根式的意義、分式方程的解法，以及分式方程產生增根的條件等知識，解題的關鍵是理解正數解，整數m的意義．23．（2024·河北保定·一模）若關于x的方程mx+x=4的解是整數，寫出一個滿足條件的正整數m的值：．【答案】3（答案不唯一）【分析】本題考查解一元一次方程，求出方程的解后，根據解為整數，寫出一個滿足條件的正整數m的值即可．【詳解】解：∵mx+x=4，解得：x=4∵方程的解為整數，∴m+1能被4整除，∴當m=3時，x=1滿足題意，∴正整數m的值可以為3；故答案為：3（答案不唯一）．24．（2024·遼寧·模擬預測）若關于x的一元二次方程k-2x2-2x+2=0無實數根，則整數k【答案】3【分析】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的構成條件、解一元一次不等式等知識，解題的關鍵是掌握根的判別式．要使一元二次方程沒有實根，只需二次項系數不等于0且根的判別式小于0，由此可求出k的范圍，再找出最小值即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程k-2x∴k-2≠0且Δ=解得k≠2，k>5∴k>5∴整數k的最小值是3，故答案為：3．題型06方程有解、無解問題25．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關于x的分式方程kxx-3-2=33-x無解，則A．k=2或k=-1 B．k=-2 C．k=2或k=1 D．k=-1【答案】A【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，kx-2(x-3)=-3，整理得，(k-2)x=-9，當k=2時，方程無解，當k≠2時，令x=3，解得k=-1，所以關于x的分式方程kxx-3-2=33-x無解時，故選：A．26．（2024·遼寧丹東·模擬預測）已知關于x的分式方程2a+1x+1=a有解，則a的取值范圍是【答案】a≠-12【分析】本題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個條件．分式方程去分母轉化為整式方程，表示出分式方程的解，確定出a的范圍即可．【詳解】解：分式方程去分母得：2a+1=ax+a，整理得：ax=a+1，當a=0時，方程無解，∵分式方程的增根是：x=-1，∴把x=-1代入ax=a+1，得-a=a+1，解得：a=-1所以a的范圍是a≠-12，且故答案為：a≠-12，且27．（2024·四川綿陽·二模）若關于x的分式方程m3-x=1有解，且關于y的方程y2-2y+m=0有實數根，則【答案】m≤1且m≠0【分析】本題考查了分式方程的解有意義的概念，一元二次方程實數根的判斷，掌握求解的方法是解題的關鍵．根據分式有意義的情況得到x≠3，化簡分式后代入即可得到m的取值，再根據一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：m3-x=1，化簡得：∵3-x≠0，即x≠3，∴3-m≠3，解得：m≠0，∵y2∴Δ=解得：m≤1，∴綜上m≤1且m≠0，故答案為：m≤1且m≠0．28．（2021·上海·中考真題）若一元二次方程2x2-3x+c=0無解，則c【答案】c>【分析】根據一元二次方程根的判別式的意義得到△=(-3)2-4×2c＜0【詳解】解：關于x的一元二次方程2x∵a=2，b=-3，c=c，∴△=b解得c>9∴c的取值范圍是c>9故答案為：c>9【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．29．（2024·安徽六安·模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2（1）當k=0時，方程的解為；（2）若m是該一元二次方程的一個根，令y=-m2+km+k2【答案】x1=3【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程、一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）當k=0時，則x2（2）根據原方程有解得出k2≤4，將m代入方程得出-m2+km=【詳解】解：（1）當k=0時，則x2解得x1=3故答案為：x1=3（2）∵關于x的一元二次方程x2∴k得k2若m是該一元二次方程的一個根，則m2得-m∴y=-m∵k2的最大值為∴當k2取最大值時，y取最大值，y的最大值為2×4-3=5∵y的最小值為-3，∴y的最大值和最小值的和為5+-3故答案為：2．30．（2024九年級下·全國·專題練習）小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“？”看不清楚：?x-2(1)她把這個數“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；(2)小華的媽媽說：“我看到標準答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”代表的數是多少？【答案】(1)x=0(2)-1【分析】本題考查了分式方程解法和增根的定義及應用.增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；

②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．（1）“？”當成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母時產生的，故先去分母，再將x=2代入即可解答．【詳解】（1）解：依題意，5方程兩邊同時乘以x-2得5+3解得x=0經檢驗，x=0是原分式方程的解；（2）解：設？為m，方程兩邊同時乘以x-2得m+3∵x=2是原分式方程的增根，∴把x=2代入上面的等式得m+3×m=-1∴，原分式方程中“？”代表的數是-1．題型07已知分式方程的增根求參數31．（2023·山東德州·模擬預測）已知關于x的分式方程2x-1+mxx-1x+2=A．-6 B．-3 C．-2 D．1【答案】A【分析】本題考查分式方程有增根的情況．先將分式方程去分母后化為整式方程m+1x=-5，根據原分式方程有增根得到m≠-1，x=-5m+1，進而當x=-【詳解】解：方程兩邊同乘x-1x+2，得2整理，得m+1x=-5∵分式方程有增根，∴m+1≠0，即m≠-1∴x=-5∵分式方程有增根∴當x=-5m+1時，即-5解得：m=-6或m=3經檢驗，m=-6或m=32都是方程∴m的值為-6或32故選：A32．（2023·四川巴中·中考真題）關于x的分式方程x+mx-2+12-x【答案】-1【分析】等式兩邊同時乘以公因式x-2，化簡分式方程，然后根據方程有增根，求出x的值，即可求出m．【詳解】x+mx-2解：方程兩邊同時乘以x-2，得x+m+-1∴m=2x-5，∵原方程有增根，∴x-2=0，∴x=2，∴m=2x-5=-1，故答案為：-1．【點睛】本題考查分式方程的知識，解題的關鍵是掌握分式方程的增根．33．（2023·四川樂山·模擬預測）已知關于x的分式方程x(1)當m=4時，解這個分式方程；(2)若方程有增根，求m的值．【答案】(1)x=4(2)m=-8【分析】本題考查了解分式方程，分式方程有增根的條件；（1）按步驟：去分母，解方程，檢驗，進行解答，即可求解；（2）化成整式方程，求出含有m的解，由方程有增根得x=±2，即可求解；掌握解分式方程的步驟及分式方程有增根的條件，并能將求出m的值進一步檢驗是解題的關鍵．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以x+2x-2xx-2解得x=4，檢驗：當x=4時，x+2==8≠0，∴x=4是原分式方程的解．（2）解：去分母得xx-2∴x=m+4∵方程有增根，∴x+2∴x=±2，∴x=m+4解得m=0或-8，當m=0時，xx+2整理得：2=0，矛盾；∴m=0舍去，∴m=-8．題型08利用方程解的范圍求參數的取值范圍34．（2022·四川德陽·中考真題）如果關于x的方程2x+mx-1=1的解是正數，那么m的取值范圍是（A．m>-1 B．m<-1且m≠-2 C．m<-1 D．m>-1且m≠0【答案】B【分析】此題主要考查了分式方程的解，解答此題的關鍵是要明確：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【詳解】解：∵2x+mx-1∴x-1≠0，則x≠1，2x+mx-1去分母，得，2x+m=x-1，移項合并，得，x=-1-m，∵方程2x+mx-1∴-1-m>0-1-m≠1解得：m<-1且m≠-2，故選：B．35．（2023·江蘇蘇州·三模）關于x的一元二次方程x2+a+4x+3a+3=0有一個大于-2的非正數根，那么實數【答案】-1≤a<1/1>a≥-1【分析】先計算Δ≥0，再利用因式分解法解方程得x1=-3，x2【詳解】解：根據題意，Δ=解方程x2+a+4x+3a+3=x+3∵該方程有一個大于-2的非正數根，-3<-2，∴-2<-a-1≤0，解得-1≤a<1，故答案為：-1≤a<1．【點睛】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式組，理解一元二次方程的解，正確得到關于a的不等式組是解答的關鍵．36．（2023·浙江杭州·一模）已知關于x的分式方程mx-1+31-x=1的解是非負數，則m的取值范圍是【答案】m≥2且m≠3x=2/2【分析】本題考查了分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解出分式方程，根據解是非負數求出m的取值范圍，再根據x=1是分式方程的增根，求出此時m的值，得到答案再把m=4代入求出x=2，然后檢驗即可，理解分式方程的增根的判斷方法是解題的關鍵．【詳解】解：原方程去分母得：m-3=x-1，解得：x=m-2，∵原方程的解是非負數，∴m-2≥0且m-2≠1，解得：m≥2且m≠3；當m=4時，x=4-2=2，檢驗：當x=2時，x-2≠0，故此時原方程的解為x=2，故答案為：m≥2且m≠3；x=2．37．（2023九年級·全國·專題練習）當m取何值時，關于x的方程23【答案】m≤-1【分析】根據解的定義直接計算，非負即大于等于0．【詳解】2323-13解得x=-3由題意得-3m+1≤0解得m≤-1．【點睛】此題考查含參數的一元一次方程，以及一元一次不等式，解題關鍵是先求出解，然后對解進行運算．38．（2023·陜西西安·三模）已知關于x、y的二元一次方程組2x+3y=3m+7x-y=4m-1(1)求m的取值范圍；(2)化簡：m-2-【答案】(1)-(2)原式=【分析】（1）先解方程組，用含m的式子表示出x、y，再根據方程組的解是一對正數列出關于m的不等式組，解之可得；（2）根據m的取值范圍判斷出m-2，m+1與m-1的范圍，再根據絕對值的性質化簡即可．【詳解】（1）解關于x、y的二元一次方程組2x+3y=3m+7x-y=4m-1，得x=3m+∵方程組的解是一對正數，∴3m+解得-4（2）-4當-4m-2<0，m+1>0，m-1<0，∴=2-m-=2-m-m-1-1+m=-m；當1≤m<9m-2<0，m+1>0，m-1≥0，∴=2-m-=2-m-m-1-m+1=2-3m．【點睛】本題考查了二元一次方程組及解法、一元一次不等式組及解法．解題的關鍵是根據題意列出關于m的不等式組及絕對值的性質．39．（22-23九年級上·北京東城·期末）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；(2)若此方程的兩個實數根都是正數，求m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)m>1【分析】（1）根據一元二次函數的判別式，進行求解即可；（2）首先根據十字相乘法解一元二次方程，得出x1=m，【詳解】（1）證明：在關于x的一元二次方程x2∵Δ=∴方程總有兩個不相等的實數根；（2）解：x因式分解，可得：x-mx-m+1于是得：x-m=0或x-m+1=0，∴x1=m，∵方程的兩個實數根都是正數，∴可得：m>0m-1>0解得：m>1，∴m的取值范圍為：m>1．【點睛】本題考查了一元二次方程的判別式、因式分解法解一元二次方程、解不等式組，熟練掌握一元二次方程的解法及根的判別式是解本題的關鍵．題型09根據根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍40．（2024·山東泰安·中考真題）關于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有實數根，則實數kA．k<98 B．k≤98 C．【答案】B【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵．根據一元二次方程有實數根的條件是Δ≥0【詳解】解：∵關于x的一元二次方程2x∴Δ=-32故選B．41．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的一元二次方程m-2x2+4x+2=0有兩個實數根，則mA．m≤4 B．m≥4 C．m≥-4且m≠2 D．m≤4且m≠2【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac的意義得到m-2≠0【詳解】解：∵關于x的一元二次方程m-2x∴m-2≠0且Δ≥0即42解得：m≤4，∴m的取值范圍是m≤4且m≠2．故選：D．42．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線y=x2-x+c（c是常數）與x軸沒有交點，則c【答案】c>【分析】本題主要考查了拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點問題，掌握拋物線y=ax2由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關于c的一元一次不等式求解即可．【詳解】解：∵拋物線y=x2-x+c∴x2∴Δ=12故答案為：c>143．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；(2)如果方程的兩個實數根為x1,x2，且【答案】(1)證明見解析；(2)m1=1或【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．（1）根據根的判別式證明Δ>0（2）由題意可得，x1+x【詳解】（1）證明：Δ=∵無論m取何值，m2∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根．（2）解：∵x1,x∴x1+x∴x1解得：m1=1或題型10不解方程，求出與方程兩根有關的代數式的值44．（2024·四川樂山·中考真題）若關于x的一元二次方程x2+2x+p=0兩根為x1、x2，且1xA．-23 B．23 C．-6【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根與系數的關系：若方程的兩實數根為x1,根據一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根與系數的關系得到x1+x2【詳解】解：∵x∴1而1x∴-2∴p=-2故選：A．45．（2023·湖北黃岡·中考真題）已知一元二次方程x2-3x+k=0的兩個實數根為x1,x2【答案】-5【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系，得出x1【詳解】解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的兩個實數根為∴x∵x1∴k+6=1，解得：k=-5，故答案為：-5．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．46．（2023·湖北·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；(2)設該方程的兩個實數根為a，b，若2a+ba+2b=20，求【答案】(1)證明見解析(2)m的值為1或-2【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式可進行求解；（2）根據一元二次方程根與系數的關系可進行求解．【詳解】（1）證明：∵Δ=∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根．（2）解：∵x2-2m+1∴a+b=2m+1,ab=m∵2a+ba+2b∴2a2+4ab+2∴2(2m+1)即m2解得m=1或m=-2．∴m的值為1或-2．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵．題型11根的判別式與韋達定理綜合47．（2024·四川眉山·二模）已知關于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)設方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足x1【答案】(1)m的取值范圍是m≤13(2)m的取值范圍-1【分析】本題主要考查了根與系數的關系、根的判別式以及解一元一次不等式等知識點，（1）根據根的判別式得出b2（2）求出x1+x2=3熟練掌握一元二次的根與系數的關系是解決此題的關鍵．【詳解】（1）方程x2-3x=1-3m整理得∵關于x的一元二次方程x2∴b2解得：m≤13即m的取值范圍是m≤13（2）∵x1+x又∵x1∴x1∴32∴m≥-1∵m≤13∴-1故m的取值范圍-148．（2024·湖北隨州·一模）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有實數根；(2)設該方程的兩個實數根分別為x1，x2，若x1>0，【答案】(1)見解析(2)a<1【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，根的判別式：（1）只需要證明Δ=（2）根據根與系數的關系得到x1?x2=a-1，再由x【詳解】（1）證明：由題意得，Δ=∴該方程總有實數根；（2）解：∵關于x的一元二次方程x2+ax+a-1=0的兩個實數根為x1∴x1∵x1>0，∴x1解得a<1，∴a的取值范圍為a<1．49．（2024·山東濰坊·二模）小亮和小剛對關于x的一元二次方程ax小亮：“對于任意實數a，b，該方程總有兩個不相等的實數根．”小剛：“該方程的兩個實數根的符號不相同．”請判斷小亮和小剛的說法是否正確并說明理由．【答案】小亮和小剛的說法是正確的，理由見解析【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，先計算Δ=b2【詳解】解：小亮和小剛的說法是正確的由題意可得Δ=∵a≠0，所以4又∵b2∴Δ=∴小亮的說法是正確的．設方程的兩根為x1，x2∵a≠0，∴1a∴x1∴小剛的說法是正確的．題型12與含參方程有關的新定義問題50．（2023·廣東江門·一模）定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程8-x=x、7+x=3x+13都是關于x的不等式組x<2x-mx-2≤m的相伴方程，則【答案】2≤m【分析】先求出兩個方程的解，再解不等式組，根據題意可得m<3且m+2≥4，即可解答．【詳解】解：解方程8-x=x，得：x=4，解方程7+x=3x+13由x-2≤m，得：x≤m+2，由x＜2x-m，得：∵x=3,∴m<3且m+2≥4，∴2≤m＜故答案為：2≤m＜【點睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次不等式組，理解題意，熟練解一元一次方程和一元一次不等式是解題的關鍵．51．（2024·江蘇連云港·二模）定義新運算“a*b”：對于任意實數a，b，都有a*b=ab+1，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算．例如：3*4=3×4+1=13．若關于x的方程x*kx+1【答案】k≤14【分析】根據新定義運算法則列方程，然后根據一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac【詳解】解：∵x*kx+1∴xkx+1整理可得kx又∵關于x的方程x*kx+1∴k≠01解得：k≤14且故答案為：k≤14且52．（2024·四川瀘州·二模）對于a、b定義a*b=1a-b2，已知分式方程x*-1=x3-3x【答案】a>3/3<a【分析】本題主要考查了解分式方程以及解一元一次不等式，先根據新定義解分式方程，求出x的值，再根據題意將x的值代入到不等式中，解不等式即可求出a的取值范圍．【詳解】解：由題意可得1x-1解得：x=-3，經檢驗，x=-3是分式方程的解，將x=-3代入2-ax-3>0中可得-3解得：a>3，故答案為：a>3．類型二不等式（組）含參問題【命題預測】1).不等式、不等式組的參數問題主要涉及不等式(組)有解問題、無解問題、解的范圍問題，解決此類問題，要掌握不等式組的解法口訣以及在數軸上熟練表示出解集的范圍，已知不等式(組)的解售情況，求字母系數時，一般先視字母系數為常數，再逆用不等式(組)解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.題型01已知解集求參數的值或取值范圍53．（2024·浙江·中考真題）關于x的一元一次不等式組x-m>03x-4>2的解為x>2，則m的取值范圍為【答案】m≤2【分析】此題考查解一元一次不等式組，掌握運算法則是解題關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式x-m>0，得：x>m，解不等式3x-4>2，得：x>2，∵不等式組的解集為x>2，∴m≤2，故答案為：m≤2．54．（2024·寧夏銀川·二模）不等式組x>ax+12-1<x的解集為x>-1，則a【答案】a≤-1【分析】本題考查根據不等式組的解集的情況求參數的范圍，先解不等式組，根據不等式組的解集，得到關于a的不等式，求解即可．【詳解】解不等式組x>ax+12-1<x∵不等式組的解集為x>-1，∴a≤-1．故答案為：a≤-1．55．（2024·湖北恩施·一模）關于x的一元一次不等式組2x-a≥0b-x<0的兩個不等式的解集在數軸上表示如圖，則a-b的值為【答案】3【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，正確得出關于a，b的等式是解題關鍵．先解不等式組的解集，再結合數軸得出解集得出關于a，b的等式，進而得出答案．【詳解】解：2x-a≥0①解不等式①得：x≥a解不等式②得：x>b，結合數軸可得：a2=1，∴a=2∴a-b=3，故答案為：3．56．（2023·湖北黃石·模擬預測）若數a使關于x的不等式組x+23-x2>12x-a≤0【答案】a≥-2/-2≤a【分析】先解不等式組，再根據已知解集確定出a的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式組得：x<-2x≤a∵不等式組的解集為x<-2，∴a≥-2．故答案為：a≥-2．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．題型02已知整數解的情況求參數的值或取值范圍57．（2024·四川達州·模擬預測）若關于x的不等式組3x-1≥8x+a≤3的整數解共有三個，則a的取值范圍是（

A．-3<a≤-2 B．2≤a<3 C．-3<a<-2 D．5≤a≤6【答案】A【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數解等知識點，根據題意得到5≤3-a<6是解題的關鍵．先根據不等式的性質求出個不等式的解集，再根據求不等式組解集的規律求出不等式組的解集，根據不等式組有三個整數解列出關于a的不等式組求解即可．【詳解】解：3x-1≥8解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x≤3-a∴不等式組的解集是3≤x≤3-a∵關于x的不等式組3x-1≥8x+a≤3的整數解共有三個（3，4，5∴5≤3-a<6，解得：-3<a≤-2．故選：A．58．（2022·江蘇南通·一模）若關于x的不等式組3x-3?6x-a<1的最大整數解是2，則實數a的取值范圍是（

A．1≤a<2 B．1<a≤2 C．2≤a<3 D．2<a≤3【答案】B【分析】分別解每個不等式，再根據條件確定a的范圍．【詳解】解：3x-3≤6①x-a<1②由①得：x≤3，由②得：x<a+1，∵該不等式組的最大整數解是2，∴該不等式組解集為：x<a+1，其中2<a+1≤3，∴1<a≤2，故選：B．【點睛】本題考查了不等式組的最大整數解問題，解題關鍵是能正確解出每個不等式并能正確分析字母參數滿足的條件．59．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關于x的不等式組4-2x≥012x-a>0恰有3個整數解，則a【答案】-【分析】本題考查解一元一次不等式（組)，一元一次不等式組的整數解，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據不等式組4-2x≥012x-a>0恰有3【詳解】解：由4-2x≥0，得：x≤2，由12x-a>0，得：∵不等式組4-2x≥012x-a>0∴這3個整數解是0，1，2，∴-1≤2a<0，解得-1故答案為：-160．（2020·四川遂寧·中考真題）若關于x的不等式組x-24<x-132x-m≤2-x【答案】1≤m＜4【分析】解不等式組得出其解集為﹣2＜x≤m+23，根據不等式組有且只有三個整數解得出1≤m+23＜【詳解】解不等式x-24<x-13，得：解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤m+23則不等式組的解集為﹣2＜x≤m+23∵不等式組有且只有三個整數解，∴1≤m+23＜2解得：1≤m＜4，故答案為：1≤m＜4．【點睛】本題考查了不等式組的整數解，關鍵是根據不等式組的整數解求出取值范圍，用到的知識點是一元一次不等式的解法．題型03已知不等式有/無解求參數的取值范圍61．（2023·山東泰安·二模）若關于x的不等式組x+a≥02x+1≥3x+1有解，則a【答案】a≥-1【分析】本題考查了根據不等式組的解集求字母的取值范圍．根據不等式組有解得到關于a的不等式是解答本題的關鍵．先解兩個不等式，根據不等式組有解，得到-a≤1，解不等式即可求得答案．【詳解】解：x+a≥0①由①得：x≥-a，由②得：x≤1，∵原不等式組有解，∴-a≤1，解得：a≥-1，故答案為：a≥-1．62．（2024·江蘇宿遷·一模）若不等式組x-a>02x-3≤1有解，則a的取值范圍是【答案】a<2【分析】本題考查了求不等式的解集．根據同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解），可得答案．【詳解】解：解不等式組得：x>ax≤2∵不等式組x-a>02x-3≤1∴a<2，故答案為：a<2．63．（2024·江蘇南通·一模）若關于x的不等式組x-a<013x-12【答案】a≤2【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：大大小小找不到結合不等式組的解集可得答案，本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集是解題的關鍵．【詳解】解：x-a<013x-∵不等式組無解，∴a≤2，故答案為：a≤2．64．（2023·黑龍江綏化·模擬預測）若不等式組x+13≤x2-1x≤4m【答案】m<2/2>m【分析】求出第一個不等式的解集，根據口訣：大大小小找不到，結合不等式組的解集可得答案．【詳解】解：由x+13≤x又∵x≤4m，且不等式組無解，∴4m<8，解得m<2，故答案為：m<2．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．題型04不等式與方程綜合求參數的取值范圍65．（2022·云南昆明·三模）若整數a使關于x的方程x+2a=1的解為負數，且使關于的不等式組-12x-a>0x-1≥A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【分析】先求出方程的解和不等式的解，得出a的范圍，再求出整數解，最后求出答案即可．【詳解】解：解方程x+2a=1得：x=1-2a，∵方程的解為負數，∴1-2a＜0，解得：a＞0.5，-∵解不等式①得：x＜a，解不等式②得：x≥4，又∵不等式組無解，∴a≤4，∴a的取值范圍是0.5＜a≤4，∴整數和為1+2+3+4=10，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組，不等式組的整數解，解一元一次方程等知識點，能求出a的范圍是解此題的關鍵．66．（2023普陀區三模）若關于x的不等式組5x≥3x+2x-x+32≤a16有且只有2個整數解，且關于yA．33 B．28 C．27 D．22【答案】D【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解一元一次方程．首先解不等式組，根據不等式組有且只有2個整數解得出關于a的不等式組，求出a的取值范圍，再解方程，根據方程的解是負整數求出所有的a可能的值，進而得到符合條件的所有整數a，求和即可得到答案．【詳解】解：解不等式5x≥3x+2得：x≥解不等式x-x+32≤∴3≤x≤a∵關于x的不等式組5x≥3x+2x-x+3∴4≤a∴8≤a<16，解方程5+ay=2y-7得：y=12∵關于y的方程5+ay=2y-7的解是負整數，∴2-a=-1或-2或-3或-4或-6或-12，∴a=3或4或5或6或8或14，∴符合條件的所有整數a為8和14，∵8+14=22，∴符合條件的所有整數a的和是22，故選：D．67．（2023·廣東廣州·二模）定義：不大于實數x的最大整數稱為x的整數部分，記作x，例如3.6=3，-3=-2，按此規定，若1-3xA．13<x≤1 B．13≤x<1 C．【答案】A【分析】根據所給的定義可知-1≤1-3x【詳解】解：由題意得，-1≤1-3x解得13故選A．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，解一元一次不等式組，正確理解題意得到不等式組是解題的關鍵．68．（2024·山東日照·二模