第五章金融工程定價原理《金融工程》主要內容第一節金融產品定價原則第二節

利息的度量第三節

金融工程的定價原理第四節

定價的目的和用途學習要求了解衍生金融產品定價的基本假設、目的與用途；理解連續復利的概念，掌握利率的等價換算；理解金融工程的無套利定價原理和風險中心定價原理的核心思想和應用技巧。5第一節金融產品定價原則一、絕對定價法與相對定價法絕對定價法就是根據金融工具未來現金流的特征，運用恰當的貼現率將這些現金流貼現成現值，該現值就是絕對定價法要求的價格。相對定價法則利用基礎產品價格與衍生產品價格之間的內在關系，直接根據基礎產品價格求出衍生產品價格。資產的當前價值等于其未來現金流貼現值之和。假設是面值為100元的債券在第k年獲得的利息，則n年期的面值為100元的債券的價格為一、絕對定價法與相對定價法二、衍生金融產品定價的基本假設市場不存在摩擦，即沒有交易成本、沒有保證金、沒有賣空限制市場參與者不承擔對手風險。即合同沒有違約問題市場是完全競爭的市場參與者厭惡風險，且希望財富越多越好市場不存在套利機會。無套利假設是金融衍生工具定價理論生存和發展的最重要的假設所有市場參與者能夠以無風險利率進行借貸9第二節利息的度量一、利息的度量利息：利息是指在一個借貸關系中，由借款人為了取得一定數量的資金在一定期限內的使用權，而支付給貸款人的報酬。其實質是一定期限內資金延遲使用的成本。現值：指未來某個時刻的資金折算到當前時刻的價值。終值：指當前時刻的資金在未來某個時刻的價值。一、利息的度量單利(SimpleInterest)：僅以本金計息的方式，利息為本金、利率與時間的乘積。復利(CompoundInterest)：在每期滿時，將應得利息加入本金再計息的方式，由計息周期不同而產生差異，如年復利、半年復利、季度復利。貼現因子(DiscountFactor，DF)：指未來某個時刻的資金在當前時刻的價值折算系數累計因子(AccumulationFactor，AF)：指當前時刻的資金在未來某個時刻的價值增長系數假設在銀行存入$1,年利率為R，投資n年。如果利息按每一年計一次復利，則上述投資的終值為：如果每年計m次復利，則一年后賬戶金額為：現年支付頻率逐步增加，當m趨于無窮大時，1年后賬戶余額為：這就是當利率為連續復利（Continuouscompounding）時，一年后能從銀行獲得的金額。那t年后呢？二、連續復利例5.1：單利、復利、連續復利差距有多大唐朝的一元歷經1300年,按年利率5％計算，至今的本息和：單利、復利、連續復利這表明要獲得長期穩定收益很困難例5.1：單利、復利、連續復利差距有多大（一）連續復利的本質通過微分的方法來得出復利公式。如果在t時刻查詢一下賬戶，過會，即t+dt時刻再查詢一次，會發現金額增加了:…等式的右邊就是泰勒級數展開。但是所增加的利息也是與所擁有金額M、利率r、時間段dt成比例的因此：故：在上述求解過程中，若每個時刻的利率都不同，記為r(t)，我們就有：（一）連續復利的本質（二）連續復利的優點通常認為連續復利率與每天計復利等價，連續復合利率的優點：連續復合利率反映了利率的本質特征在衍生工具定價中，采用連續復合利率可以簡化表達

三、利率的等價換算例：假設即期利率為8%，連續復利，一個1000面值的債券以面值發行，利息每季度支付一次，試計算1000元面值的債券每次支付的利息。三、利率的等價換算20第三節金融工程的定價原理一、無套利定價原理套利：在某項資產的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下，獲得無風險利潤。如果市場是有效的話，市場價格必然由于套利行為作出相應的調整，重新回到均衡的狀態。這就是無套利的定價原則。根據這個原則，在有效的金融市場上，任何一項金融資產的定價，應當使得利用該項金融資產進行套利的機會不復存在。

（二）無套利定價方法的主要特征

無套利定價原則首先要求套利活動在無風險的狀態下進行。無套利定價的關鍵技術是所謂“復制”技術，即用一組證券來復制另外一組證券。要點是使復制組合的現金流特征與被復制組合的現金流特征完全一致，復制組合的多頭（空頭）與被復制組合的空頭（多頭）互相之間應該完全實現頭寸對沖。

無風險的套利活動從即時現金流看是零投資組合賣空，是套利組合的一個重要特征（三）無套利定價的實施過程（四）無套利定價應用1——遠期利率計算

即期利率（spotrate）：指在當前時刻計算的期限為T的利率水平，我們通常所說的零息債券的到期收益率就是即期利率的例子，記為r(t,T)

遠期利率（forwardrate）：指在當前時刻確定的，未來某時刻T開始的，距T期限為T’-T的利率水平。一般用F(t，T，T’)表示，t代表當前時刻；利率期限結構：指在其他條件相同的情況下，利率與到期期限之間的關系。利率曲線：利率期限結構的圖形表達常見類型：到期收益率曲線，即期利率曲線，遠期利率曲線，貼現因子曲線實踐應用：中國債券信息網（四）無套利定價應用1——遠期利率計算到期收益率曲線：債券價格計算散點圖，平滑函數擬合曲線即期利率曲線遠期利率曲線債券數據，bootstrap方法+曲線擬合利率建模，用市場數據校正參數：債券數據，利率互換數據等；（四）無套利定價應用1——遠期利率計算27（四）無套利定價應用1——遠期利率計算衍生品定價的折現因子：折現未來的現金流到未來的時點確定遠期利率協議（FRA）的協議利率歐洲美元期貨的理論報價利率互換的協議利率確定（四）無套利定價應用1——遠期利率計算應用：FRA協議利率的確定--單利計算方式下is,DsiF，DFiL,DL例5.4FRA交易商報價利率確定

遠期利率協議的協議利率計算

6.遠期利率協議的合約價值計算

解析：

解析（續）：T：遠期合約到期時間St：標的資產在t時刻的價格K:遠期合約中的交割價格ft：t時刻遠期合約的價值F(t,T):資產在t時刻確定的，到期日為T的遠期價格r：連續復利下的無風險利率。符號定義：（四）無套利定價應用2——遠期價格計算例5.6：考慮一個基于不支付紅利的股票的遠期合約多頭，三個月后到期，設當前股價為$40，三個月期即期無風險利率為5%（連續復利），試求使得該遠期合約價值為0的協議價格？（四）無套利定價應用2——遠期價格計算例題解析：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為Ke-rT的現金；組合B：一單位標的資產。期末價值：A：-K+K+ST=STB：ST資產的遠期價格（ForwardPrice）：指當前確定的使得相應到期時間的遠期合約價值為零的協議價格。遠期價格作用：1）遠期合約理論上的協議價格2）任何時刻期貨的理論報價3）遠期合約價值的計算依據（四）無套利定價應用2——遠期價格計算套利策略的設計如何構造套利策略？第一種情況：K=43，協議價格被高估第二種情況：K=39，協議價格被低估K=43，買現賣期——持有成本策略具體套利策略(1單位標的資產為例，期末獲益)：初始時刻（0）到期日（T）策略實施凈現金流具體套利策略(1單位標的資產為例,期初獲益)：K=39，賣現買期——反向持有成本策略初始時刻（0）到期日（T）策略實施1.取出無風險資產投資獲益K2.執行遠期合約買入資產，支付K3.平倉資產空頭凈現金流遠期價格的作用遠期價格，一方面是遠期合約理論上的協議價格，一方面也是期貨的理論報價遠期價格也是遠期合約價值的計算依據二、風險中性定價原理在對衍生證券定價時，我們可以假定所有投資者都是風險中性的，此時所有證券的預期收益率都可以等于無風險利率r，所有現金流量都可以通過無風險利率進行貼現求得現值。這就是風險中性定價原理。

風險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。

（一）風險中性定價原理使用風險中性方法為遠期和期貨定價是非常容易的，根據風險中性定價法則：任何產品的未來收益預期都是無風險收益，因此當前價值應該等于未來現金流期望的無風險折現。遠期合約到期的價值為：故當前遠期合約的價值為：（二）風險中性定價原理的應用若標的資產在有效期內沒有產生現金流，則：由于遠期合約初始時刻沒有價值，即V0=0，故：（二）風險中性定價原理的應用三、無套利定價與風險中性定價的關系風險中性定價原理是在市場無套利下，利用數學理論獲得的一種簡便的定價技巧，風險中性定價法的基本前提也是市場不存在套利機會和資產可復制，因此風險中性定價和無套利定價是內在一致的。風險中性定價作為一種定價的便捷方法，其在定價方面可以化繁為簡，大大簡化過程，相對無套利定價具有明顯的優勢。風險中性定價無法給出價格不合理時如何設計套利策略三、無套利定價與風險中性定價的關系風險中性定價作為一種數學技巧，是嚴格依賴市場假設的。一旦加入市場摩擦如借貸利率的差異，交易成本的存在，賣空的限制，風險中性定價原理就無法直接套用而此時無套利定價原理仍然可以繼續應用，因此無套利定價適用的情景更加廣泛。49第四節定價的目的和用途定價的目的與用途估值依據：債券發行、衍生產品報價；風險度量的基礎：敏感度分析、情景分析，VAR計算，信用風險度量；隱含參數的計算：隱含波動率，公司的市場價值；利率期限結構：利率互換與利率期限結構；套利活動依據：期貨的跨市套利，跨期套利Ending第六章遠期與期貨定價《金融工程》53主要內容第一節已知現金收益資產的遠期和期貨定價第二節

已知收益率資產的遠期和期貨定價第三節

遠期和期貨定價的其他問題學習要求理解不同情形下的遠期和期貨無套利定價的思路和套利策略設計思路；掌握不同情形下的定價公式，能夠應用股指期貨、國債期貨、外匯期貨、商品期貨的定價公式計算不同期貨的理論價格，設計價格不合理時的套利策略；了解期貨價格和遠期價格、現貨價格的關系。56第一節已知現金收益資產的遠期和期貨定價一、已知現金收益資產的遠期價格支付現金收益的資產特征是在遠期（期貨）有效期期間，標的資產會產生完全可預期的確定性現金流股票發放的現金紅利，債券支付的固定票息，商品存儲支付的倉儲成本...例6.1考慮購買一份附息票債券的遠期合約，債券的當前價格為900元，假定遠期合約期限為一年，債券在5年后到期，假設6個月后，債券會支付40元的利息，其中第二次付息日恰恰是遠期合約交割日的前一天。6個月與一年期的無風險連續復利分別為9%和10%，求該遠期合約的交割價格。一、已知現金收益資產的遠期價格組合A：一份期貨合約多頭加上一筆數額為Ke-0.1的現金；組合B：一單位標的資產+40e-0.045的6個月期負債+40e-0.1的1年期負債。期末價值：A：ST-K+K=STB：ST推導方法例6.1結論對于一般情況，設標的資產當前價格為St，遠期合約期間需支付的收益的現值為It，無風險利率為r，距合約的到期期限為T-t，則當前(t時刻)遠期價格為：二、定價不合理的套利策略設計若遠期簽約時執行價格不等于遠期價格，或者期貨報價不等于遠期價格，就會產生套利機會，利用上述組合的一買一賣就可以構建套利策略。若K>F(t,T)：套利者可以賣出遠期合約，買入資產，即實施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以買入遠期合約，賣空資產，實施反向持有成本策略例6.1續如何構造套利策略？第一種情況：K=930第二種情況：K=905總結：：套利者可以賣出遠期合約，買入資產：套利者可以買入遠期合約，賣出資產由于912.39<930，故債券遠期的協議價格被高估，可以賣出債券遠期，買入債券現貨構建持有成本策略，具體策略表所示。63K=930的持有成本套利策略時間0時刻6個月12個月市場操作1.借入900元，+900，其中:38.24元以9%的年利率借入6個月861.76元以10%的年利率借入1年2.購買一份債券現貨:-900元3.賣出債券遠期:0元1.6個月期38.24元貸款的本息和:-40元2.債券在6個月后收到利息:40元1.償還861.76元貸款的本利和:-861.76e0.1×1=-952.39元2.債券在12個月后收到利息:+40元3.執行遠期合約，出售債券，+930元凈現金流0元0元17.61元由于912.39>905，故故債券遠期的協議價格被低估，可以買入債券遠期，賣空債券現貨構建反向持有成本策略64K=905的反向持有成本套利策略時間0時刻6個月12個月市場操作1.賣空債券現貨:+900元2.以38.24元做6個月期的無風險投資:-38.24元3.以861.76元做1年期的無風險投資:-861.76元4.買入一份債券遠期1.38.24元投資6個月的本息:40元2.支付6個月后的債券利息:-40元1.861.76元投資1年的本息:952.39元2.40元用來支付一年后的債券利息:-40元3.905元用來交割到期的遠期合約:-905元4.所得的債券用來平倉現貨空頭凈現金流0元0元17.61元適用產品發放現金紅利的股票或者股指期貨發放票息的國債期貨包含存儲成本或者便利收益的商品期貨（存儲成本可以看做負的現金紅利）三、國債期貨的定價在利率確定的情況下，期貨的報價等于相應時間長度的遠期價格。但國債期貨的標的資產是虛擬國債，怎么辦？債券遠期：空方應收到的現金=債券遠期價格

（1）國債期貨：空方應收到的現金=期貨報價X交割債券的轉換因子+交割債券的應計利息(AIT)（2）期貨理論報價=(債券的遠期價格-AIT）/轉換因子（一）可交割債的無套利價格債券的遠期價格=（債券凈價報價+AIt-It）er(T-t)It（一）可交割債的無套利價格國債期貨的報價是與CTD相關聯的：期貨理論報價=(CTD的遠期價格-AIT）/轉換因子即：國債期貨的報價如何計算？

(6.4)式中，若債券為CTD券，則為期貨的理論報價，若為任一可交割債，則為該可交割債對應國債期貨的無套利價格賣方會選擇成本最低的債券作為交割債，因此我們自然選擇使得F_t最低的債券作為最可能用于交割的債券，這就是基于無套利價格選擇最便宜可交割債的方法。因此，我們得到到期前選擇最便宜可交割債的第三種方法：具有最低無套利價格的可交割債是最便宜可交割債。（二）基于無套利價格選擇最便宜可交割債例6.4

假設目前6個月到期的我國5年期國債期貨僅有3種可交割債X、Y、Z，如表6.3所示，表6.3中也包括在當前時間t點的債券價格及各債券的轉換因子和無套利價格，假設一年期連續無風險利率為4%，所有三種債券每一年支付利息,最后一期的息票剛支付。

計算債券X的無套利價格，并確定誰是該國債期貨的最便宜可交割債解析

（三）國債期貨的套利策略設計當國債期貨的理論報價偏離計算的取值時,就可以利用最便宜交割債和國債期貨之間的價差進行套利。例6.5.國債期貨的套利—買現賣期假設當前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我國5年期國債期貨（TF2306）報價為100.83元（剩余期限為41天，一年按照365天計算），而TF2306的CTD為一個10年期的附息國債，息票率為3.46%，剩余期限為4.19年，該債券凈價報價為102元，當前應計利息為2.8元，在TF2306到期日的應計利息為3.21元，期貨到期期限內CTD沒有利息支付，CTD的轉換因子為1.0174,假設無風險利率為2.13%(連續復利).在不考慮交易成本和允許賣空的情況下，上述價格是否存在套利機會，如果存在如何套利，給出具體的套利策略和最終的套利收益情況。

例6.5國債期貨的套利—買現賣期持有成本套利策略--套利過程此處主要考慮到標的國債與CTD的差別，由于轉換因子的存在，會使得單位國債期貨的每日結算金額與單位CTD的價值變化不均等。初始時刻期貨到期日1.借入104.8元，+104.82.買入1單位CTD(面值100元),-104.82.賣出1.0174單位國債期貨1.平倉了結0.0174單位國債期貨，獲益0.0174×(F0-FT)2.以原CTD券交割1單位國債期貨,獲益：F0-FT+1.0174×FT+AIT3.償還借款104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051凈現金流=0凈現金流=1.0174F0+AIT-105.051=1.0174×100.83+3.21-105.051=0.7434假設當前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我國5年期國債期貨（TF2306）報價為99元（剩余期限為41天，一年按照365天計算），而TF2306的CTD為證券代碼為一個10年期的附息國債，息票率為3.46%，剩余期限為4.19年，該債券凈價報價為102元，當前應計利息為2.8元，在TF2306到期日的應計利息為3.21元，期貨到期期限內CTD沒有利息支付，CTD的轉換因子為1.0174,假設無風險利率為2.13%(連續復利).在不考慮交易成本和允許賣空的情況下，上述價格是否存在套利機會，如何存在如何套利，給出具體的套利策略和最終的套利收益情況。例6.6國債期貨的套利—買期賣現

國債期貨的套利問題反向持有成本套利策略--套利過程初始時刻期貨到期日1.賣空1單位CTD（面值100元）,+104.82.買入1.0174單位國債期貨3.將所得收入104.8元投資無風險資產,-104.81.平倉了結0.0174單位國債期貨，獲益0.0174×(FT-F0)2.交割1單位國債期貨,獲得CTD券,平倉CTD空頭，獲益：FT-F0-(1.0174×FT+AIT)投資收入104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051凈現金流=0凈現金流=105.051-（1.0174F0+AIT）=105.051-1.0174×99-3.21=1.1184反向持有成本策略存在的問題1.賣空限制的影響。由于該策略中需要賣空國債現貨，賣空限制可能使得上述策略無法實施。2.CTD券的變動。由于賣方選擇權，CTD券未來有可能發生變動，因此未來的交割對手未必使用實施者手中的債券進行交割，此時策略實施者會面臨兩種債券的平倉風險。3.賣方選擇權使得國債期貨價格理論上就應該低于CTD券對應的無套利價格，有可能并不存在套利機會。現實中對國債期貨實施反向持有成本策略存在更多的困難和不確定性四、商品期貨的定價針對商品的儲存費用：可以看成持有現貨期間會產生的負的現金紅利，故：針對商品的便利收益（若看作現金收益）：將利率改成單利：因此:期貨價格-現貨價格=資金成本+倉儲成本-便利收益四、商品期貨的定價例題6.7（商品期貨）考慮黃金的一年期貨合約，假設當前現貨價格為450美元，無風險連續復利為7%.每盎司黃金的儲存成本為2美元，期末支付儲存成本。試計算1年期黃金期貨的理論價格。到期日黃金有儲存成本2美元，故1年期黃金期貨的理論價格為：解析：84第二節已知收益率資產的遠期和期貨定價一、已知收益率資產的遠期價格1.紅利再投資的概念：紅利再投資，是指將資產所得收益立即投資到該資產中的投資行為。通過紅利在投資，我們雖然不知道資產未來獲得的紅利收益的具體價值，但可以轉換為確定數量的資產，由此取消紅利價值的不確定因素。例題6.8假設一支股票在6個月內將發放一次股票紅利，發放比例為1:0.1，即紅利率為q=10%，則考慮紅利再投資，期初持有多少股股票，在6個月后可以擁有1股股票？解析：若假設期初持有a股股票，則通過紅利再投資，6個月后投資者可以獲得：故（二）支付已知收益率資產的遠期價格例6.10：考慮一個6個月期遠期合約，標的資產預期提供年率為4%的連續紅利收益率。無風險利率為10%。當前股價為$25。試求當前遠期合約的遠期價格。例題6.10解析

（6.9）二、定價不合理的套利策略設計類似有現金收益的資產套利策略設計：若K>F(t,T)：套利者可以賣出遠期合約，買入資產，即實施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以買入遠期合約，賣空資產，實施反向持有成本策略接例6.10，若股票遠期簽約時協議價格為28元。則28>F(t,T)=25.76，可以賣出股票遠期，借入資金買入股票，設計持有成本策略獲益。90持有成本套利0時刻6個月后1.以利率10%借入25e-0.04×1/2元6個月:24.5元2.購買0.98(=e-0.04×1/2)份股票現貨:-24.5元3.賣出一單位股票的6個月期遠期合約:0元1.通過紅利再投資獲得1單位股票,用1單位股票現貨交割到期的遠期合約:28元2.償還6個月期24.5元貸款的本利和:-25.76元合計:0元合計:2.24元接例6.10，若股票遠期簽約時協議價格為23元。則23<F(t,T)=25.76，可以買入股票遠期，賣空股票，設計反向持有成本策略獲益。91反向持有成本套利0時刻6個月后1.賣空0.98份股票現貨:24.5元2.按年利率10%進行期限為6個月的投資:-24.5元3.購買一單位股票的6個月期遠期合約:0元1.24.5元投資6個月的本息和:25.76元2.交割遠期合約獲得一單位股票支付:-23元3.用遠期合約交割所得的一單位股票平倉股票空頭頭寸(此時需要償還1單位股票)合計:0元合計:2.76元適用的產品考慮紅利收益的股指期貨外匯期貨——遠期匯率的確定計價貨幣看作本幣，標的貨幣看作標的資產，標的貨幣的利率為紅利率，計價貨幣的利率為無風險利率考慮便利收益率和倉儲費率的商品期貨便利收益率看作紅利率，倉儲費率看作負的紅利率外匯遠期和期貨價格的確定公式(連續復利）：按年計復利的情況下：

其中：S:即期匯率（直接標價法：1外幣=X本幣）F：T時刻到期的遠期匯率（直接標價法）

r:本幣利率q:外幣利率三、外匯期貨和股指期貨定價94假設一美國客戶要求銀行報出歐元兌美元的遠期匯價，一年后交割。客戶希望從該銀行恰好購買1,100,000歐元。假設歐元兌美元的即期匯率為1.5,歐元一年期的利率為10%（按年計息復利），美元一年期的利率為6%（按年計息復利），銀行最終每歐元要賺取0.01美元的價差費用，試求銀行對客戶應給出什么樣的報價。例6.11遠期外匯合約定價

95解析股指期貨的定價如果股票指數包含的指數股數量較多，而且各種指數股的分紅事件在時間與數量上分布比較均勻，那么我們可以合理地假設紅利是完全均勻分布的。用q表示指數紅利的連續復合收益率，則例6.1297考慮一個滬深300指數的3個月期期貨合約。假設用來計算指數的股票的紅利收益率為每年2%(連續復利)，指數現值為3000,連續復利的無風險利率為3%,請計算滬深300期貨的理論報價。98第三節遠期和期貨定價的其他問題一、遠期合約的價值計算遠期合約的價值：即買賣遠期合約需要支付費用（不考慮手續費）遠期合約在簽約時刻，價值應該為0；但隨著時間的推移，由于標的資產價格的變動，其合約價值相應發生變化。

一、遠期合約的價值計算對于任意情形的標的資產，其遠期合約的價值可以根據最新的遠期價格報價計算，公式為：將不同情形下遠期價格的計算公式帶入，可以得到遠期合約價值與現貨價格的關系：一、遠期合約的價值計算例6.15（債券遠期合約的價值計算）一個債券價格為900元。假設1年期債券遠期的協議價格為910元,債券在6個月和12個月都會有60元付息。第二次