彈性力學總復習彈性力學總復習彈性力學總復習2.應力應力：由外力引起的在P點的某一面上內力分布集度應力分量應力的法向分量——正應力應力的切向分量——剪應力單位:與面力一樣MPa(兆帕)(2)一點的應力狀態通過一點P的各個面上應力狀況的集合——稱為一點的應力狀態x面的應力：y面的應力：z面的應力：2.應力應力：由外力引起的在P點的某一面上內力分布集度應力分量應力的法向分量——正應力應力的切向分量——剪應力單位:與面力一樣MPa(兆帕)(2)一點的應力狀態通過一點P的各個面上應力狀況的集合——稱為一點的應力狀態x面的應力：y面的應力：z面的應力：剪應力互等定理應力符號的意義：第1個下標x

表示τ所在面的法線方向；第2個下標y

表示τ的方向.應力正負號的規定：正應力——拉為正，壓為負。剪應力——坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標負面上，與坐標正向相反時為正。xyzO與材力中剪應力τ正負號規定的區別：xy規定使得單元體順時的剪應力τ為正，反之為負。在用應力莫爾圓時必須此規定求解問題3.形變形變——物體的形狀改變xyzO〔1〕線段長度的改變〔2〕兩線段間夾角的改變。PBCA——用線〔正〕應變ε度量——用剪應變γ度量〔剪應變——兩垂直線段夾角〔直角〕的改變量〕三個方向的線應變：三個平面內的剪應變：(1)一點形變的度量應變的正負：線應變：伸長時為正，縮短時為負；剪應變：以直角變小時為正，變大時為負；彈性力學問題：外力、物體的形狀和大小〔邊界〕、材料特性〔E、μ〕、約束條件等，求解應力、應變、位移分量。需建立三個方面的關系：〔1〕靜力學關系：應力與體力、面力間的關系；〔2〕幾何學關系：形變與位移間的關系；〔3〕物理學關系：形變與應力間的關系。3.平面問題的求解問題：：外力〔體力、面力〕、邊界條件，求：——僅為xy的函數需建立三個方面的關系：〔1〕靜力學關系：〔2〕幾何學關系：〔3〕物理學關系：形變與應力間的關系。應力與體力、面力間的關系；形變與位移間的關系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程〔1〕應力邊界條件；〔2〕位移邊界條件；二、平面問題的根本方程〔1〕平衡微分方程〔2-2〕〔假定：小變形、連續性、均勻性〕〔2〕幾何方程〔2-9〕〔假定：小變形、連續性、均勻性〕〔3〕物理方程(2-15)〔平面應力〕(2-16)〔平面應變〕〔假定：小變形、連續性、均勻性、線彈性、各向同性〕三、平面問題的根本求解方法及根本方程思路：〔1〕按位移求解以位移u、v為根本未知量，在所有根本方程中消去其余6個量，得到以位移表示的根本方程，從中求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。根本方程：〔2-20〕位移表示的平衡方程〔2-21〕〔2-17〕位移表示的應力邊界條件位移邊界條件〔2〕按應力求解思路：以應力為基本未知量，將基本方程用只有的3個方程，從中求出，再由物理方程、幾何方程求出其余未知量。根本方程：〔2-2〕平衡方程〔2-23〕相容方程根本控制方程〔平面應力情形〕〔2-17〕〔2-18〕位移邊界條件應力邊界條件邊值條件〔3〕兩類平面問題物理方程的互相轉換：平面應力問題平面應變問題平面應變問題平面應力問題〔4〕邊界條件〔2-17〕〔2-18〕——位移邊界條件——應力邊界條件3.應力函數求解方法〔1〕逆解法〔1〕根據問題的條件〔幾何形狀、受力特點、邊界條件等〕，假設各種滿足相容方程〔2-27〕的φ(x,y)的形式；〔2〕——主要適用于簡單邊界條件的問題。然后利用應力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數）；〔3〕再利用應力邊界條件式〔2-18〕，來考察這些應力函數φ(x,y)對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數φ(x,y)可以求解什么問題。（2）半逆解法〔1〕根據問題的條件〔幾何形狀、受力特點、邊界條件等〕，假設部分應力分量的某種函數形式；〔2〕根據與應力函數φ(x,y)的關系及，求出φ(x,y)的形式；〔3〕最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數學根底：數理方程中別離變量法。四、關于平面問題的變形協調方程〔相容方程〕〔2-22〕〔2-23〕〔2-24〕(平面應力情形)(平面應變情形)〔2-25〕(2-27)形變表示的相容方程應力表示的相容方程應力函數表示的相容方程(根本形式)(常體力情形)適用情形：小變形、任意彈塑性材料。(常體力情形)〔5〕按應力求解的應力函數法根本方程：(2-27)(2-26)〔1〕對多連體問題，還須滿足位移單值條件。〔2-17〕〔2-18〕位移邊界條件應力邊界條件應力函數表示的相容方程應力函數表示的應力分量〔對常體力情形〕說明：〔2〕應力函數確定方法：逆解法、半逆解法。第四章平面問題的極坐標解答要點：〔1〕極坐標中平面問題的根本方程：——平衡微分方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。〔2〕極坐標中平面問題的求解方法及應用應用：圓盤、圓環、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應力與變形分析。彈性力學平面問題極坐標求解的根本方程：平衡微分方程：（4－1）幾何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面應力情形)邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：彈性力學平面問題的極坐標求解歸結為:小結：〔1〕由問題的條件求出滿足式〔4－6〕的應力函數〔4－6〕〔2〕由式〔4－5〕求出相應的應力分量：〔4－5〕〔3〕將上述應力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。〔位移單值條件〕〔4-14〕〔1〕假設：(二向等壓情況)〔2〕假設：〔壓應力〕〔拉應力〕〔3〕假設：〔壓應力〕〔壓應力〕〔4〕假設：——具有圓形孔道的無限大彈性體。邊緣處的應力：3.斜方向應變公式的應用〔1〕已知一點的應變，可計算任意方向的應變。的最大值、最小值。主應變、主應變方向等。〔2〕已知一點任意三方向的應變，可求得該點的應變分量。xy45°假設用45°應變花測構件外表應變：假設用120°應變花測構件外表應變，即：xy求得該點的應變分量:作為作業！例7圖示矩形截面水壩，其右側受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應力邊界條件。左側面：代入應力邊界條件公式右側面：代入應力邊界條件公式，有上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對O點的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設！xy上端面：〔方法2〕取圖示微元體，可見，與前面結果一樣。注意：必須按正向假設！由微元體的平衡求得，rrraa取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：作業補充題：列寫以下平面問題的應力邊界條件。§2-1平面應力問題與平面應變問題1.平面應力問題(1)幾何特征xyyztba一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊鉤，旋轉圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力〔體力、面力〕和約束，僅平行于板面作用，沿厚度方向不變化。xyyztba(3)應力特征如圖選取坐標系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，由因板很薄，且外力沿z軸方向不變。可認為整個薄板的各點都有：由剪應力互等定理，有結論：平面應力問題只有三個應力分量：xy應變分量、位移分量也僅為x、y的函數，與z無關。2.平面應變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認為無限長(2)外力特征外力〔體力、面力〕平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)變形特征如圖建立坐標系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數。任一橫截面均可視為對稱面水壩因為任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移問題——平面應變問題注：(1)平面應變問題中但是，(2)平面應變問題中應力分量：——僅為xy的函數。如下圖三種情形，是否都屬平面問題？是平面應力問題還是平面應變問題？平面應力問題平面應變問題非平面問題彈性力學平面問題的根本理論小結一、兩類平面問題及其特征名稱平面應力問題平面應變問題未知量已知量未知量已知量位移應變應力外力幾何形狀體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿z向不變化。z方向的尺寸遠小于板面內的尺寸〔等厚度薄平板〕z方向的尺寸遠大于xoy平面內的尺寸〔等截面長柱體〕六、其它〔1〕常體力情況下簡化將體力轉化為等效的面力：〔2〕任意斜面的應力、主應力、主方向、最大最小剪應力計算。〔3〕任意方向的正應變計算。τmax、τmin的方向與σ1〔σ2〕成45°。2.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：假設把物體的一小局部邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。PPPP/2P/22.應力邊界條件的列寫與圣維南原理的應用〔2-18〕——

平面問題的應力邊界條件圣維南原理：假設把物體的一小局部邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。本卷須知：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。五、邊界條件與圣維南原理位移邊界條件應力邊界條件圣維南原理的要點：〔1〕小局部邊界〔次要邊界〕；〔2〕靜力等效；〔3〕結果影響范圍：近處有影響，遠處影響不大。圣維南原理的應用：〔1〕面力分布復雜的邊界〔次要邊界〕如：集中力，集中力偶等；〔2〕位移邊界〔