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2025屆安徽省廬江縣部分示范高中高三第六次月考試卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.2.過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點(diǎn),若為線段的中點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.函數(shù)(且)的圖象可能為()A. B. C. D.5.已知向量,則()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()6.在中,角的對(duì)邊分別為,若,則的形狀為()A.直角三角形 B.等腰非等邊三角形C.等腰或直角三角形 D.鈍角三角形7.是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的一點(diǎn),則最小值是()A. B. C. D.8.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者,有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明,如“費(fèi)馬大定理”,但大多猜想還未被證明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),如果它是奇數(shù),則將它乘以再加1;如果它是偶數(shù),則將它除以;如此循環(huán),最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為,則輸出i的值為()A. B. C. D.9.已知是過拋物線焦點(diǎn)的弦,是原點(diǎn),則()A.-2 B.-4 C.3 D.-310.若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.011.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.12.對(duì)于函數(shù),定義滿足的實(shí)數(shù)為的不動(dòng)點(diǎn),設(shè),其中且,若有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知多項(xiàng)式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=________,a5=________.14.已知,則展開式中的系數(shù)為__15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__.16.某種牛肉干每袋的質(zhì)量服從正態(tài)分布,質(zhì)檢部門的檢測(cè)數(shù)據(jù)顯示:該正態(tài)分布為,.某旅游團(tuán)游客共購(gòu)買這種牛肉干100袋,估計(jì)其中質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是_____袋.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點(diǎn);(2)在上恒成立,求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),其中.(1)函數(shù)在處的切線與直線垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),且.①求實(shí)數(shù)的取值范圍;②求證:.19.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.20.(12分)如圖,四棱錐中,側(cè)面為等腰直角三角形,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成的角的正弦值.21.(12分)已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn),且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程;(2)設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),的平行線交軌跡于,兩點(diǎn),交軌跡在處的切線于點(diǎn),問:是否存在實(shí)常數(shù)使,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.22.(10分)已知數(shù)列滿足:對(duì)一切成立.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
設(shè)直線:,,,由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.2.C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點(diǎn),∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點(diǎn)睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對(duì)于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).3.A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)椋?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小;若真數(shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大小;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.4.D【解析】因?yàn)椋屎瘮?shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取,則,故選D.考點(diǎn):1.函數(shù)的基本性質(zhì);2.函數(shù)的圖象.5.D【解析】
由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故、不平行,故排除A;顯然,?3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),顯然,和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例,故和不平行,故排除C;∴?()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
利用正弦定理將邊化角,再由,化簡(jiǎn)可得,最后分類討論可得;【詳解】解:因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí),為直角三角形;當(dāng)時(shí)即,為等腰三角形;的形狀是等腰三角形或直角三角形故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷,考查正弦定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),則,整理得,解得,即點(diǎn),所以,圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),取最小值,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算,同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8.B【解析】
根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步,即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入,不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)不成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;不成立,是偶數(shù)成立,則,;成立,跳出循環(huán),輸出i的值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.10.C【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù)如圖:當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值為故答案選C【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時(shí),直線過可行域且在軸上截距最大時(shí),值最大,在軸截距最小時(shí),z值最小;當(dāng)時(shí),直線過可行域且在軸上截距最大時(shí),值最小,在軸上截距最小時(shí),值最大.11.D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)時(shí),可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項(xiàng).【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項(xiàng)A,C,當(dāng)正數(shù)越來越小,趨近于0時(shí),,所以函數(shù),故排除選項(xiàng)B,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識(shí)別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.12.C【解析】
根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得得或,解得或.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.164【解析】
只需令x=0,易得a5,再由(x+1)3(x+2)2=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3,可得a4=+2+.【詳解】令x=0,得a5=(0+1)3(0+2)2=4,而(x+1)3(x+2)2=(x+1)3[(x+1)2+2(x+1)+1]=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3;則a4=+2+=5+8+3=16.故答案為:16,4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)的求解,可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解,屬于中檔題.14.1.【解析】
由題意求定積分得到的值,再根據(jù)乘方的意義,排列組合數(shù)的計(jì)算公式,求出展開式中的系數(shù).【詳解】∵已知,則,
它表示4個(gè)因式的乘積.
故其中有2個(gè)因式取,一個(gè)因式取,剩下的一個(gè)因式取1,可得的項(xiàng).
故展開式中的系數(shù).
故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分,乘方的意義,排列組合數(shù)的計(jì)算公式,屬于中檔題.15.【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后,代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到切線斜率,然后根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式,即可寫出切線方程.【詳解】因?yàn)椋裕瑥亩芯€的斜率,所以切線方程為,即.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查過曲線上一點(diǎn)的切線方程的求法,屬基礎(chǔ)題.16.1【解析】
根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性,求得質(zhì)量低于的袋數(shù)的估計(jì)值.【詳解】由于,所以,所以袋牛肉干中,質(zhì)量低于的袋數(shù)大約是袋.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查正態(tài)分布對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出,再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點(diǎn);(2)由題意可將轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設(shè),則,,,故函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)時(shí),,,這時(shí),又函數(shù)是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn).(2),由,所以恒成立,若,則,設(shè),.故當(dāng)時(shí),,又,所以當(dāng)時(shí),,滿足題意;當(dāng)時(shí),有,與條件矛盾,舍去;當(dāng)時(shí),令,則,又,故在區(qū)間上有無窮多個(gè)零點(diǎn),設(shè)最小的零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增.,所以.于是,當(dāng)時(shí),,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用,難度較大,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.18.(1);(2)①;②詳見解析.【解析】
(1)由函數(shù)在處的切線與直線垂直,即可得,對(duì)其求導(dǎo)并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等價(jià)于在上有兩個(gè)根,且,即在上有兩個(gè)不相等的根,由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組,解得答案,最后分析此時(shí)單調(diào)性推及極值說明即可;②由①可知,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根,由韋達(dá)定理可表達(dá)根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而用含的式子表示,令,對(duì)求導(dǎo)分析單調(diào)性,即可知道存在常數(shù)使在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,進(jìn)而求最值證明不等式成立.【詳解】解:(1)依題意,,,故,所以,據(jù)題意可知,,解得.所以實(shí)數(shù)的值為.(2)①因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn),且,所以在上有兩個(gè)根,且,即在上有兩個(gè)不相等的根.所以解得.當(dāng)時(shí),若或,,,函數(shù)在和上單調(diào)遞增;若,,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn),且.所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.②由①可知,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根,所以其中.故,令,其中.故,令,,在上單調(diào)遞增.由于,,所以存在常數(shù),使得,即,,且當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,又,,所以,即,故得證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題,還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立,屬于難題.19.(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標(biāo)因式分解,結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因?yàn)椋裕裕?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查不等式的證明,屬于基礎(chǔ)題.20.(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)平面,利用線面垂直的定義可得,再由,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.(2)取的中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量,利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫杂蔀榈妊苯侨切危杂郑势矫?取的中點(diǎn),連接,因?yàn)椋?/p>
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