2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)指對(duì)同構(gòu)問(wèn)題講義先取指數(shù)再取對(duì)數(shù)：x→ex→lnex；先取對(duì)數(shù)再取指數(shù)：x→lnx→elnx(x>0).指對(duì)互化，再結(jié)合經(jīng)典導(dǎo)數(shù)構(gòu)造類型，就是所謂的指對(duì)同構(gòu)，其本質(zhì)就是導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的一種類型.隨意換元，但是有些不一定能取等比如t=x-2lnx，這個(gè)就取不了等，書寫過(guò)程一定要按照構(gòu)造函數(shù)的形式，穩(wěn)拿滿分.常見(jiàn)的類型：一邊含參一邊不含，常見(jiàn)的處理方法，兩邊同時(shí)加減x,ex,等等，再結(jié)合單調(diào)性和定義域基本都可以解決了.2233f(x)=ex-x-1,(0,+∞)↑→①若f(x)+x單調(diào)，則f(x)≥f-1(x)恒成立等價(jià)于f(x)≥x恒成立；②f(x)=f-1(x)的解可以等價(jià)于f(x)=x的解與的解的并集；③反函數(shù)和關(guān)于y=x對(duì)稱的函數(shù)的交點(diǎn)f(x)與f-1(x)關(guān)于y=x對(duì)稱，若g(x)=g-1(x)，則f(x)=g(x)的解x1和f-1(x)=g(x)的解x2關(guān)于y=x個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0個(gè)交點(diǎn)44討論y=ax與y=log圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)（標(biāo)答需要零點(diǎn)找點(diǎn)處理）.→兩個(gè)交點(diǎn)→一個(gè)交點(diǎn)→零個(gè)交點(diǎn)可得：.下面證明→→2時(shí)，此時(shí)就是ax=x，.綜上：個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn).矛盾區(qū)間.552）矛盾區(qū)間（同端點(diǎn)效應(yīng)）此時(shí)當(dāng)a<0,時(shí)無(wú)法判斷gx與ax大小關(guān)系，所以無(wú)法用矛盾點(diǎn)證明矛盾.下面給出兩個(gè)例題矛盾點(diǎn)和矛盾區(qū)間的書寫過(guò)程，小題不需要，大題一定要注意過(guò)程的滿分性.x0+lnx0-(x0+lnx0)-1=0.2fx≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍66x0=1時(shí)取等考試時(shí)需自行證明）①：指數(shù)對(duì)數(shù)分離兩邊，ex系數(shù)上頭②：先朗博后加減乘除③：注意定義域，驗(yàn)證取等條件【參考答案】即證→利用指數(shù)找基友可證．例2（2021-T8大聯(lián)考）已知函數(shù)若f恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.【參考答案】【解法1】朗博同構(gòu)+同形構(gòu)造aexx+lna:.，:a>e.【解法2】朗博同構(gòu)+切線放縮77【解法3】反函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造令x，y=aex2，:aex2與互為反函數(shù)，利用反函數(shù)性質(zhì)秒殺可得：令g,:，:a>e．例3（2020-新高考山東卷）已知函數(shù)f(x)=aex—1—lnx+lna=xex:g(x)單調(diào)遞增，⑴當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；⑵若f(x)≥1，求a的取值范圍．【參考答案】【解法3】隱零點(diǎn)代換（略【解法4】反函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造只需→a≥1即可.【解法5】異形構(gòu)造：變形為只需→a≥1出結(jié)果，技巧性太強(qiáng)，書寫過(guò)程需要證明，最后可能會(huì)丟失一部分分?jǐn)?shù)，在此僅僅是為大家提供一種思路和方法.88例4（百時(shí)教育高中數(shù)學(xué)組原創(chuàng)題）對(duì)任意實(shí)數(shù)x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，則a的取值范【參考答案】【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)→ae2x≥x→→【解法3】朗博構(gòu)造+同形構(gòu)造【解法4】朗博同構(gòu)2ae2x≥ln2x-ln2a→eln2a+2x-ln2a-2x-1≥ln2x-2x-2ln2a-1→0≥ln2x-2x-2ln2a-1【解法5】同形構(gòu)造【解法6】異形構(gòu)造e2x+ln2a-2x-ln2a-1+2x-ln2x-1+2ln2a+2≥不建議使用異構(gòu)的方法，對(duì)于保號(hào)性以及涉及的切線都需要證明，配湊的過(guò)程技巧性太強(qiáng)，為了構(gòu)而構(gòu)，背離了，我們研究導(dǎo)數(shù)同構(gòu)的初衷，這點(diǎn)必須認(rèn)清.例5（27中學(xué)期中考試）設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對(duì)任意的x∈(0,+∞)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則λ的最小值為．【參考答案】【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)只需eλx≥x即可，得到，:λ≥.【解法2】同形構(gòu)造λeλx≥lnx→λxeλx≥xlnx，令g(x)=xex，:g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，例6（2021·名校調(diào)研）已知函數(shù)f(x)=e-x-ax，若x≥0時(shí)，f(-x)+l范圍．【參考答案】99例7（試題來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)）關(guān)于x的不等式ex≥eln(ex+a)+a恒成立，則a的最大值為．【參考答案】【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)只需即可，得到a≤ex-ex，:a≤0.x-ex，:a≤0.例8已知f(x)=xe2x-3e的零點(diǎn)為x1，g(x)=xlnx+x-6的零點(diǎn)x2，則x1x2=．【參考答案】【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)x1e2x1-3e=0→→反函數(shù)圖像性質(zhì)可知關(guān)于y=x對(duì)稱，得到→x1x2=3.例9（2020全國(guó)模擬）若實(shí)數(shù)a,b滿足則【參考答案】【解法1】同構(gòu)變形結(jié)合均值由均值由但且僅當(dāng)時(shí)，中所有等號(hào)都成立即選A．【解法2】同構(gòu)變形結(jié)合凹凸反轉(zhuǎn)lnx≤x-1→ln4b≤4b-1→ln2b+ln2≤4b-1→4b-ln2b-2≥ln2-1，此時(shí).→若不等式成立，必須相等.1.（2018年沈陽(yáng)市一模）已知函數(shù)f(x)=alnx-2x，若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()2.（同澤12月考試題）當(dāng)x≥0時(shí)恒成立，則a的取值范圍是．3.（同澤12月考試題）當(dāng)x>0時(shí)，xex-x-1-a≥lnx恒成立，則a的取值范圍是．4.（2019省實(shí)驗(yàn)月考）x>0，x-lnx+xex≥bx+1恒成立，則b的取值范圍是．5.（2020武漢市二模）不等式x-3ex-alnx≥x+1對(duì)任意x∈(1,+∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍6.（2020清華大學(xué)學(xué)業(yè)能力測(cè)試）已知不等式在x∈(1,+∞)恒成立，則a的最小值7.（2020鄭州市一模）已知函數(shù)若恒成立，求b的取值范8.（2020九師聯(lián)盟三月?？迹┮阎瘮?shù)f(x)=e-x-ax(a∈R)，若lne(x+1)≥2-f(-x)在x∈[0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍為．9.（2020王后雄線上考試）任意x>0,恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍是．xx10.（2021遼寧協(xié)作體高三模擬）⑴已知函數(shù)f(x)=ax+1+lnx．對(duì)于任意x>0，不等式f(x)≤xex恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍⑵已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=ex不等式對(duì)于x>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．11.（2021三校三模理科12）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈(0,+∞)，不等式2e2x-alna-alnx≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為．12.（2020沈陽(yáng)第三次模擬）已知函數(shù)在x=2處取得極值．⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵若不等式x2f(x)≥kx+lnx+1在x∈(0,+∞)時(shí)恒成立，求k的取值范圍．13.（2021衡水中學(xué)衛(wèi)冕考試?yán)?1）已知函數(shù)f(x)=lnx-ex+(ea-1)x+a(a∈R)．⑴當(dāng)a=0時(shí)，證明不等式f(x)+2<0；⑵若不等式f(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．14.（2021高考沖刺模擬）已知函數(shù)⑴討論f(x)的單調(diào)性；⑵若g(x)≥f(x)恒成立，求a的值或者取值范圍．15.（2021·廣州調(diào)研）已知函數(shù)f(x)=axex-ax-1(a⑴當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)在(-1,f(-1))處的切線方程；⑵若時(shí)，f(x)≥lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.⑴當(dāng)a≥0，討論g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；⑵證明：f(x)≤g(x).⑴討論f(x)的單調(diào)性；⑵若f(x)≥aexlnx對(duì)任意x∈(0,1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3.【參考答案】a≤0．ex+lnx-x-lnx-1≥0≥a，簡(jiǎn)單朗博同構(gòu)處理即可.4.【參考答案】b≤2．ex+lnx-x-lnx-1≥2x≥bx→b≤2，簡(jiǎn)單朗博同構(gòu)處理即可.5.【參考答案】(-∞,-3]．ex-3lnx-(x-3lnx)-1≥0≥(a+3)lnx→a≤-3.6.【參考答案】-e．lnxa-xa≥-x-e-x，構(gòu)造g(x)=lnx-x,(0,1)單調(diào)遞增，g(xa)≥g(e-x)，aa-x→→a≥-e.7.【參考答案→ex+lnx-x≥0→b≤2.9.【參考答案】(-∞,2].e2x+lnx-2x-lnx-1+(2-a)x≥0→2-a≥0→11.【參考答案】加減同構(gòu)變形為2xe2x≥axlnax，令g(x)=xex在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增，12.【參考答案】⑵朗博同構(gòu)可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)k≤.13.【參考答案】⑴指對(duì)跨階問(wèn)題，切線放縮，也可以考慮隱零點(diǎn)處理；⑵朗博同構(gòu)+加減同構(gòu)+單調(diào)性處理，ea+lnx+a+lnx≤ex+x，令g(x)=ex+x，函數(shù)單調(diào)遞增，只需a+lnx≤x，a≤x-lnx，即a