2025屆浙江省寧波效實中學高三下學期1月份模擬考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，是球的球面上四個不同的點，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知函數，若，則的最小值為（）參考數據：A． B． C． D．3．已知正項等比數列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．4．某調查機構對全國互聯網行業進行調查統計，得到整個互聯網行業從業者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分布條形圖，則下列結論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯網行業從業人員中90后占一半以上B．互聯網行業中從事技術崗位的人數超過總人數的C．互聯網行業中從事運營崗位的人數90后比80前多D．互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多5．已知函數，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱6．已知函數，若，則的值等于（）A． B． C． D．7．已知向量，，當時，（）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知函數，，其中為自然對數的底數，若存在實數，使成立，則實數的值為（）A． B． C． D．10．已知為正項等比數列，是它的前項和，若，且與的等差中項為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．3211．記其中表示不大于x的最大整數，若方程在在有7個不同的實數根，則實數k的取值范圍()A． B． C． D．12．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內切圓的半徑為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式中的系數為__14．函數的定義域是__________．15．設函數，當時，記最大值為，則的最小值為______.16．已知向量，，若滿足，且方向相同，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；（2）若射線與曲線C交于點A（不同于極點O），與直線l交于點B，求的最大值.18．（12分）已知曲線的參數方程為為參數，曲線的參數方程為為參數).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.19．（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.20．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線.（1）求B；（2）若，，且，求BD的長度.21．（12分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網絡知識問卷調查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分服從正態分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數據用該組區間的中點值作為代表）.（1）請利用正態分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人，請依據以上數據估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.22．（10分）某工廠生產一種產品的標準長度為，只要誤差的絕對值不超過就認為合格，工廠質檢部抽檢了某批次產品1000件，檢測其長度，繪制條形統計圖如圖：（1）估計該批次產品長度誤差絕對值的數學期望；（2）如果視該批次產品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產的產品中隨機抽取2件，假設其中至少有1件是標準長度產品的概率不小于0.8時，該設備符合生產要求.現有設備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產一件產品為標準長度的概率的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，取BC中點G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F，分別過E，F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．2．A【解析】

首先的單調性，由此判斷出，由求得的關系式.利用導數求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構造函數，.構造函數，，所以在區間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區間上遞增，在區間上遞減.而，所以在區間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查分段函數的圖像與性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.3．C【解析】

由已知求出等比數列的公比，進而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當，時；當，時；當，時，，所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.4．D【解析】

根據兩個圖形的數據進行觀察比較，即可判斷各選項的真假．【詳解】在A中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖得到互聯網行業從業人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分布條形圖得到：，互聯網行業從業技術崗位的人數超過總人數的，所以是正確的；在C中，由整個互聯網行業從業者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯網行業崗位分別條形圖得到：，互聯網行業從事運營崗位的人數90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯網行業中從事技術崗位的人數90后所占比例為，所以不能判斷互聯網行業中從事技術崗位的人數90后比80后多．故選：D.【點睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統計圖表中餅狀圖和條形圖的性質等基礎知識的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5．D【解析】

先將函數化為，再由三角函數的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數對稱軸可得：解得：，當，，故C正確；對于D，正弦函數對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數的性質，熟記三角函數基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.6．B【解析】

由函數的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數，也為奇函數∴也為奇函數∴故選：B【點睛】函數奇偶性的運用即得結果，小記，定義域關于原點對稱時有：①奇函數±奇函數=奇函數；②奇函數×奇函數=偶函數；③奇函數÷奇函數=偶函數；④偶函數±偶函數=偶函數；⑤偶函數×偶函數=偶函數；⑥奇函數×偶函數=奇函數；⑦奇函數÷偶函數=奇函數7．A【解析】

根據向量的坐標運算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數關系，屬于中檔題.8．A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長．9．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數，（﹣1，+∞）上是增函數，故當x=﹣1時，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當且僅當ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當且僅當等號同時成立時，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．10．B【解析】

設正項等比數列的公比為q，運用等比數列的通項公式和等差數列的性質，求出公比，再由等比數列的求和公式，計算即可得到所求．【詳解】設正項等比數列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負值舍去），則有S5===1．故選C．【點睛】本題考查等比數列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數列的性質，考查運算能力，屬于中檔題．11．D【解析】

做出函數的圖象，問題轉化為函數的圖象在有7個交點，而函數在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數形結合即可求解.【詳解】作出函數的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數根，則在上有4個不同的實數根，當直線經過時，；當直線經過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數求參數，利用函數零點和方程之間的關系轉化為兩個函數的交點是解題的關鍵，運用數形結合是解決函數零點問題的基本思想，屬于中檔題.12．B【解析】

設左焦點的坐標，由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設內切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1．【解析】

由題意求定積分得到的值，再根據乘方的意義，排列組合數的計算公式，求出展開式中的系數．【詳解】∵已知，則，

它表示4個因式的乘積．

故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項．

故展開式中的系數．

故答案為：1．【點睛】本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數的計算公式，屬于中檔題．14．【解析】由，得，所以，所以原函數定義域為，故答案為.15．【解析】

易知，設，，利用絕對值不等式的性質即可得解．【詳解】，設，，令，當時，，所以單調遞減令，當時，，所以單調遞增所以當時，，，則則，即故答案為：.【點睛】本題考查函數最值的求法，考查絕對值不等式的性質，考查轉化思想及邏輯推理能力，屬于難題．16．【解析】

由向量平行坐標表示計算．注意驗證兩向量方向是否相同．【詳解】∵，∴，解得或，時，滿足題意，時，，方向相反，不合題意，舍去．∴．故答案為：1．【點睛】本題考查向量平行的坐標運算，解題時要注意驗證方向相同這個條件，否則會出錯．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）：，直線：；（2）．【解析】

（1）由消參法把參數方程化為普通方程，再由公式進行直角坐標方程與極坐標方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標方程，求出極徑，把比值化為的三角函數，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，∴曲線的極坐標方程是；由，化為直角坐標方程為．（2）設，則，，，當時，取得最大值為．【點睛】本題考查參數方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，掌握公式可輕松自如進行極坐標方程與直角坐標方程的互化．18．（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線參數方程中的參數消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數方程代入的普通方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數的關系及此時的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線的參數方程為為參數），消去參數，可得；由曲線的參數方程為為參數），消去參數，可得，即．（2）把為參數）代入，得．，．．解得：，即，滿足△．．【點睛】本題考查參數方程化普通方程，特別是直線參數方程中參數的幾何意義的應用，是中檔題．19．（1）見解析（2）直線過定點.【解析】

（1）設出兩點的坐標，利用導數求得切線的方程，設出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐標代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標，由此求得點坐標，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設切點，，，∴切線的斜率為，切線：，設，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線過定點問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）根據共線得到，利用正弦定理化簡得到答案.（2）根據余弦定理得到，，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）∵與共線，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.則或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【點睛】本題考查了向量共線，正弦定理，余弦定理，意在考查學生的綜合應用能力.21．（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

（1）根據正態分布的性質可求的值.（2）設某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數額.【詳解】（1）根據題中所給的統計表，結合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20，30，40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費