廣東省江門市重點中學2025屆高三4月大聯考數學試題文試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在上的大致圖象是（）A． B．C． D．2．已知復數，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．3．設i為數單位，為z的共軛復數，若，則（）A． B． C． D．4．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內一點，且，則（）A． B． C． D．5．已知是的共軛復數,則（）A． B． C． D．6．已知是邊長為的正三角形，若，則A． B．C． D．7．設函數是奇函數的導函數，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．69．已知數列的首項，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數列，則一定有 B．若是等比數列，則一定有C．若不是等差數列，則一定有 D．若不是等比數列，則一定有10．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．已知等差數列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．1412．已知命題，那么為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國古代數學著作《九章算術》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”設人數、物價分別為、，滿足，則_____，_____．14．安排名男生和名女生參與完成項工作，每人參與一項，每項工作至少由名男生和名女生完成，則不同的安排方式共有________種（用數字作答）.15．圓關于直線的對稱圓的方程為_____.16．若函數（）的圖象與直線相切，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）18．（12分）如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知是遞增的等比數列，，且、、成等差數列.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，，求數列的前項和.20．（12分）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線l的參數方程為（為參數），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4sin.（1）求曲線C的普通方程；（2）求曲線l和曲線C的公共點的極坐標.22．（10分）已知函數，曲線在點處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數存在唯一的極大值點，且.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

討論的取值范圍，然后對函數進行求導，利用導數的幾何意義即可判斷.【詳解】當時，，則，所以函數在上單調遞增，令，則，根據三角函數的性質，當時，，故切線的斜率變小，當時，，故切線的斜率變大，可排除A、B；當時，，則，所以函數在上單調遞增，令，，當時，，故切線的斜率變大，當時，，故切線的斜率變小，可排除C，故選：D【點睛】本題考查了識別函數的圖像，考查了導數與函數單調性的關系以及導數的幾何意義，屬于中檔題.2．A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復數即可.【詳解】，故的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.3．A【解析】

由復數的除法求出，然后計算．【詳解】，∴．故選：A.【點睛】本題考查復數的乘除法運算，考查共軛復數的概念，掌握復數的運算法則是解題關鍵．4．D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數量積的運算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.5．A【解析】

先利用復數的除法運算法則求出的值，再利用共軛復數的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點睛】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，考查了共軛復數的概念，是基礎題．6．A【解析】

由可得，因為是邊長為的正三角形，所以，故選A．7．D【解析】構造函數，令，則，由可得，則是區間上的單調遞減函數，且，當x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數,當x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛：函數的單調性是函數的重要性質之一，它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中．某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用．因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的．根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧．許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效．8．C【解析】

根據列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.9．C【解析】

根據等差數列和等比數列的定義進行判斷即可.【詳解】A：當時，，顯然符合是等差數列，但是此時不成立，故本說法不正確；B：當時，，顯然符合是等比數列，但是此時不成立，故本說法不正確；C：當時，因此有常數，因此是等差數列，因此當不是等差數列時，一定有，故本說法正確；D：當時，若時，顯然數列是等比數列，故本說法不正確.故選：C【點睛】本題考查了等差數列和等比數列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.10．B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體．11．A【解析】

設等差數列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設等差數列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量求解,屬于基礎題.12．B【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題，，那么是.故選：．【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用已知條件，通過求解方程組即可得到結果．【詳解】設人數、物價分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點睛】本題考查函數與方程的應用，方程組的求解，考查計算能力，屬于基礎題．14．1296【解析】

先從4個男生選2個一組，將4人分成三組，然后從4個女生選2個一組，將4人分成三組，然后全排列即可.【詳解】由于每項工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個男生選2個一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，同理女生的排法共有，故不同的安排共有種.故答案為：1296【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，考查了學生應用數學解決實際問題的能力.15．【解析】

求出圓心關于直線的對稱點，即可得解.【詳解】的圓心為，關于對稱點設為，則有:，解得，所以對稱后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：【點睛】此題考查求圓關于直線的對稱圓方程，關鍵在于準確求出圓心關于直線的對稱點坐標.16．2【解析】

設切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設，因為，所以，即，又，.所以，即，.故答案為:.【點睛】本題考查導數的幾何意義,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．見解析【解析】

選擇①時：,，計算，根據正弦定理得到，計算面積得到答案；選擇②時，，，故，為鈍角，故無解；選擇③時，，根據正弦定理解得，，根據正弦定理得到，計算面積得到答案.【詳解】選擇①時：,，故.根據正弦定理：，故，故.選擇②時，，，故，為鈍角，故無解.選擇③時，，根據正弦定理：，故，解得，.根據正弦定理：，故，故.【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18．（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點為，根據幾何關系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，.如下圖所示：因為，分別是線段和的中點，所以是梯形的中位線，所以.又，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以，.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為，且平面，故可以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：不妨設，則，所以，，，，.所以，，.設平面的法向量為，則所以可取.設直線與平面所成的角為，則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求解線面角，屬綜合中檔題.19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）設等比數列的公比為，根據題中條件求出的值，結合等比數列的通項公式可得出數列的通項公式；（Ⅱ）求得，然后利用裂項相消法可求得.【詳解】（Ⅰ）設數列的公比為，由題意及，知.、、成等差數列成等差數列，，，即，解得或（舍去），.數列的通項公式為；（Ⅱ），.【點睛】本題考查等比數列通項的求解，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于基礎題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進而證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，∴為的中位線，∴，又為的中點，∴為梯形的中位線，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.另解：（法二）∵在長方體中，，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，，，，，，.（1）設平面的一個法向量為，則，令，則，.∴，又，∵，，又平面，平面.（2）設平面的一個法向量為，則，令，則，.∴.同理可算得平面的一個法向量為∴，又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角，故二面角的余弦值為.【點睛】本小題考查線面的位置關系，空間向量與線面角，二面角等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，數形結合思想，化歸與轉化思想.21．（1）（2）(2，)．【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的轉化公式求解.（2）先把兩個方程均化為普通方程，求解公共點的直角坐標，然后化為極坐標即可.【詳解】（1）∵曲線C的極坐標方程為，∴，則,即.（2），∴，聯立可得，（舍）或，公共點(，3)，化為極坐標(2，)．【點睛】本題主要考查極坐標和直角坐標的轉化及交點的求解，熟記極坐標和直角坐標的轉化公式是求解的關鍵，交點問題一般是統一一種坐標形式求解后再進行轉化，側重考查數學運算的核心素養.22．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，可得（1），（1），結合已知切線方程即可求得，的值；（2）利用導數