2025屆山西省應(yīng)縣第一中學(xué)高三第二學(xué)期調(diào)研考試（數(shù)學(xué)試題）試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．2．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若，則的虛部是（）A． B． C． D．5．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．6．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．7．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當(dāng)運(yùn)動時，下列結(jié)論中不正確的是A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形9．框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，10．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列（公差不為0），其中，，成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比為_____.14．已知函數(shù)在上僅有2個零點，設(shè)，則在區(qū)間上的取值范圍為_______．15．函數(shù)的定義域是．16．函數(shù)的值域為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若函數(shù)為奇函數(shù)，且時有極小值.（1）求實數(shù)的值與實數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，是棱中點.（1）已知點在棱上，且平面平面，試確定點的位置并說明理由；（2）設(shè)點是線段上的動點，當(dāng)點在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.19．（12分）已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標(biāo)方程.22．（10分）已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為，，為其右焦點，，且該橢圓的離心率為；（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點，交直線于點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與直線交于點．若，求取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．3、C【解析】

化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應(yīng)點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計算能力.4、D【解析】

通過復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡求解復(fù)數(shù)為：的形式，即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因為，，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.6、A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、D【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項利用線面垂直的判定定理；C項三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項，如圖：當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項,當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.9、A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵M(jìn)是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．【點睛】判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質(zhì)：或取得最小值③坐標(biāo)法：P點坐標(biāo)是三個頂點坐標(biāo)的平均數(shù)．11、A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因為，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力．12、D【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系，最終得出選項．【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框為跳出循環(huán)的語句，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，，故選D．【點睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系，用首項和公差表示出，解出首項和公差的關(guān)系，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得:，則整理得，，所以故答案為：4【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算，涉及等比中項，考查基本計算能力.14、【解析】

先根據(jù)零點個數(shù)求解出的值，然后得到的解析式，采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因為在上有兩個零點，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合，其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問題，難度較難.對形如的函數(shù)的值域求解，關(guān)鍵是采用換元法令，然后根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域，同時要注意新元的范圍.15、【解析】解：因為，故定義域為16、【解析】

利用配方法化簡式子，可得，然后根據(jù)觀察法，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為所以函數(shù)的值域為故答案為：【點睛】本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題，屬基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立，由此建立方程，即可求出實數(shù)的值；對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，，通過導(dǎo)數(shù)求出，若，則恒成立不符合題意，當(dāng)，可證明，此時時有極小值.（2）可知，進(jìn)而得到，令，通過導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù)，由可得，從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，得在定義域上恒成立，所以，化簡可得，所以.則，令，則.故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上遞減，在上遞增，若，則恒成立，單調(diào)遞增，無極值點；所以，解得，取，則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷，故由函數(shù)零點存在性定理知在區(qū)間上，存在為函數(shù)的零點，為極小值，所以，的取值范圍是.（2）由滿足，代入，消去可得.構(gòu)造函數(shù)，所以，當(dāng)時，，即恒成立，故在上為單調(diào)減函數(shù)，其中.則可轉(zhuǎn)化為，故，由，設(shè)，可得當(dāng)時，則在上遞增，故.綜上，的取值范圍是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了奇函數(shù)的定義，考查了轉(zhuǎn)化的思想.對于恒成立的問題，常轉(zhuǎn)化為求的最小值，使；對于恒成立的問題，常轉(zhuǎn)化為求的最大值，使.18、（1）為中點，理由見解析；（2）當(dāng)點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【解析】

(1)為中點,可利用中位線與平行四邊形性質(zhì)證明，，從而證明平面平面；（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【詳解】（1）為中點，證明如下：分別為中點，又平面平面平面又，且四邊形為平行四邊形，同理，平面，又平面平面（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)直線與平面所成角為，則取平面的法向量為則令，則所以當(dāng)時，等號成立即當(dāng)點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.【點睛】本題主要考查了平面與平面的平行，直線與平面所成角的求解，考查了學(xué)生的直觀想象與運(yùn)算求解能力.19、(1)(2)見證明【解析】

（1）利用零點分段法討論去掉絕對值求解；（2）利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】（1）解：當(dāng)時，不等式可化為.當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，.所以不等式的解集是.（2）證明：由，，得，，，又，所以，即.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點分段討論法.20、（1）（2）.【解析】

（1）根據(jù)，由向量，的坐標(biāo)直接計算即得；（2）先求出，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系解得.【詳解】（1）由題，向量，，則.（