山西省晉中市榆社中學2025屆高三“聯測促改”活動第二輪測試數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義是上的奇函數，滿足，當時，，則函數在區間上的零點個數是（）A．3 B．5 C．7 D．92．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．3．已知函數在區間有三個零點，，，且，若，則的最小正周期為（）A． B． C． D．4．已知變量，滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．5．設，則A． B． C． D．6．已知是平面內互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知平面向量滿足，且，則所夾的銳角為（）A． B． C． D．09．使得的展開式中含有常數項的最小的n為()A． B． C． D．10．已知函數，的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的一條對稱軸是（）A． B． C． D．11．已知實數、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．12．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經過點，則該雙曲線的標準方程為________.14．若，則的最小值為________.15．設，分別是橢圓C：（）的左、右焦點，直線l過交橢圓C于A，B兩點，交y軸于E點，若滿足，且，則橢圓C的離心率為______.16．設為銳角，若，則的值為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列和滿足：.（1）求證:數列為等比數列；（2）求數列的前項和.18．（12分）已知數列{an}的各項均為正，Sn為數列{an}的前n項和，an2+2an＝4Sn+1．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn，求數列{bn}的前n項和．19．（12分）已知圓的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是是參數），若直線與圓相切，求實數的值.20．（12分）已知拋物線：（）的焦點到點的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，點、分別在第一和第二象限內，求的面積.21．（12分）如圖，為坐標原點，點為拋物線的焦點，且拋物線上點處的切線與圓相切于點（1）當直線的方程為時，求拋物線的方程；（2）當正數變化時，記分別為的面積，求的最小值．22．（10分）橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據是定義是上的奇函數，滿足，可得函數的周期為3，再由奇函數的性質結合已知可得，利用周期性可得函數在區間上的零點個數．【詳解】∵是定義是上的奇函數，滿足，，可得，

函數的周期為3，

∵當時，，

令，則，解得或1，

又∵函數是定義域為的奇函數，

∴在區間上，有．

由，取，得，得，

∴．

又∵函數是周期為3的周期函數，

∴方程=0在區間上的解有共9個，

故選D．【點睛】本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查抽象函數周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．2．A【解析】

分析函數的奇偶性，以及該函數在區間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，則函數為奇函數，排除C、D選項；當時，，，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數解析式選擇函數圖象，一般要分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.3．C【解析】

根據題意，知當時，，由對稱軸的性質可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【詳解】解：由于在區間有三個零點，，，當時，，∴由對稱軸可知，滿足，即.同理，滿足，即，∴，，所以最小正周期為：.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數的最小正周期，涉及函數的對稱性的應用，考查計算能力.4．B【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，運用了數形結合的方法，屬于基礎題.5．C【解析】分析：利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，然后求解復數的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.6．C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因為與的夾角為，即，所以，設，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數性質．7．D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進行命題轉換，使問題易于求解.8．B【解析】

根據題意可得，利用向量的數量積即可求解夾角.【詳解】因為即而所以夾角為故選：B【點睛】本題考查了向量數量積求夾角，需掌握向量數量積的定義求法，屬于基礎題.9．B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用．10．D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數的解析式，又因為當時，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，所以函數的最小正周期，則，所以，當時，，所以是函數的一條對稱軸，故選：D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數的周期性和對稱性.11．C【解析】

作出不等式組表示的平面區域，作出目標函數對應的直線，結合圖象知當直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內部，如下圖表示：當目標函數經過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規劃等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識,屬于中檔題.12．C【解析】

利用的前項和求出數列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設雙曲線方程為，代入點，計算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為，則設雙曲線方程為：，代入點，則.故雙曲線方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查了根據漸近線求雙曲線，設雙曲線方程為是解題的關鍵.14．【解析】

由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等號取得的條件。【詳解】由題意，，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時取等號，所以當時，取得最小值．【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數；②和（或積）為定值；③等號取得的條件。15．【解析】

采用數形結合，計算以及，然后根據橢圓的定義可得，并使用余弦定理以及，可得結果.【詳解】如圖由，所以由，所以又，則所以所以化簡可得：則故答案為：【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關鍵在于根據角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.16．【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）【解析】

（1）根據題目所給遞推關系式得到，由此證得數列為等比數列.（2）由（1）求得數列的通項公式，判斷出，由此利用裂項求和法求得數列的前項和.【詳解】（1）所以數列是以3為首項，以3為公比的等比數列.（2）由（1）知，∴為常數列，且，∴，∴∴【點睛】本小題主要考查根據遞推關系式證明等比數列，考查裂項求和法，屬于中檔題.18．（1）an＝2n+1；（2）2．【解析】

（1）根據題意求出首項，再由（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，求得該數列為等差數列即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法進行數列求和.【詳解】（1）∵an2+2an＝4Sn+1，∴a12+2a1＝4S1+1，即，解得：a1＝1或a1＝﹣1（舍），又∵an+12+2an+1＝4Sn+1+1，∴（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，整理得：（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），又∵數列{an}的各項均為正，∴an+1﹣an＝2，∴數列{an}是首項為1、公差為2的等差數列，∴數列{an}的通項公式an＝1+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）可知bn，記數列{bn}的前n項和為Tn，則Tn＝1?5?（2n+1）?，Tn＝1?5??…+（2n﹣1）?（2n+1）?，錯位相減得：Tn＝1+2（?）﹣（2n+1）?＝1+2，∴Tn（）＝2．【點睛】此題考查求等差數列的基本量，根據遞推關系判定等差數列，根據錯位相減進行數列求和，關鍵在于熟記方法準確計算.19．【解析】

將圓的極坐標方程化為直角坐標方程，直線的參數方程化為普通方程，再根據直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求實數的值.【詳解】由，得，，即圓的方程為，又由消，得，直線與圓相切，，．【點睛】本題重點考查方程的互化，考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.20．（1）（2）【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）分別設、的斜率為和，切點，，可得過點的拋物線的切線方程為：，聯立直線方程和拋物線方程，得到關于一元二次方程，根據，求得，，進而求得切點，坐標，根據兩點間距離公式求得，根據點到直線距離公式求得點到切線的距離，進而求得的面積.【詳解】（1），，解得，拋物線的方程為.（2）由題意可知，、的斜率都存在，分別設為和，切點，，過點的拋物線的切線：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切線的方程為，點到切線的距離為，，即的面積為.【點睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問題，解題關鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點問題時,通常用直線和圓錐曲線聯立方程組,通過韋達定理建立起目標的關系式21．（1）x2=4y．（2）.【解析】試題解析：（Ⅰ）設點P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導y′=，因為直線PQ的斜率為1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，所以拋物線C1的方程為x2=4y．（Ⅱ）因為點P處的切線方程為：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，∴OQ的方程為y=-x根據切線與圓切，得d=r，即，化簡得x04=4x02+4p2，由方程組，解得Q（，），所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點F（0，）到切線PQ的距離是d=，所以S1==，S2=，而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，所以==+1≥2+1，當且僅當時取“