2025屆恩施市重點中學高三下學期暑假聯考數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．52．若為純虛數，則z＝（）A． B．6i C． D．203．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．4．已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．5．記集合和集合表示的平面區域分別是和,若在區域內任取一點,則該點落在區域的概率為()A． B． C． D．6．已知函數，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）7．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．8．如下的程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為176，320，則輸出的a為（）A．16 B．18 C．20 D．159．已知函數，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知條件，條件直線與直線平行，則是的()A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．集合的真子集的個數為()A．7 B．8 C．31 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.14．的展開式中的系數為__________（用具體數據作答）.15．圖（1）是第七屆國際數學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2）），其中，則的值是______.16．若點在直線上，則的值等于______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為1．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．18．（12分）已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：．19．（12分）已知數列滿足，且，，成等比數列．（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）記數列的前n項和為，，求數列的前n項和．20．（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）若，，，求證：.21．（12分）已知，.（1）求函數的單調遞增區間；（2）的三個內角、、所對邊分別為、、，若且，求面積的取值范圍.22．（10分）已知函數（1）當時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標軸的交點分別為，若三角形的面積大于，求參數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.2．C【解析】

根據復數的乘法運算以及純虛數的概念，可得結果.【詳解】∵為純虛數，∴且得，此時故選：C.【點睛】本題考查復數的概念與運算，屬基礎題.3．C【解析】

利用的前項和求出數列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.4．A【解析】

根據指數函數的單調性，可得，再利用對數函數的單調性，將與對比，即可求出結論.【詳解】由題知，，則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數性質比較大小，注意與特殊數的對比，屬于基礎題..5．C【解析】

據題意可知，是與面積有關的幾何概率，要求落在區域內的概率，只要求、所表示區域的面積，然后代入概率公式，計算即可得答案．【詳解】根據題意可得集合所表示的區域即為如圖所表示：的圓及內部的平面區域，面積為，集合，，表示的平面區域即為圖中的，，根據幾何概率的計算公式可得，故選：C．【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關的幾何概率模型．解決本題的關鍵是要準確求出兩區域的面積．6．D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數討論函數單調性解決問題.7．C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．8．A【解析】

根據題意可知最后計算的結果為的最大公約數.【詳解】輸入的a，b分別為,,根據流程圖可知最后計算的結果為的最大公約數，按流程圖計算,,,,,,,易得176和320的最大公約數為16，故選:A.【點睛】本題考查的是利用更相減損術求兩個數的最大公約數,難度較易.9．C【解析】

結合分段函數的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數的值,考查了分段函數的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.10．C【解析】

先根據直線與直線平行確定的值，進而即可確定結果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.11．C【解析】

由，化簡得到的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.12．A【解析】

計算，再計算真子集個數得到答案.【詳解】，故真子集個數為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．11【解析】

將圖形中左側的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數量進行分類，在其中會有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計數原理，求得總的方法數.【詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類：5個：，3個，2個：，1個，4個：，（2）左側兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個：，1個，2個：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【點睛】本題考查了分類計數原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.14．【解析】

利用二項展開式的通項公式可求的系數.【詳解】的展開式的通項公式為，令，故，故的系數為.故答案為：.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數，注意利用通項公式來計算，本題屬于容易題.15．【解析】

先求出向量和夾角的余弦值，再由公式即得.【詳解】如圖，過點作的平行線交于點，那么向量和夾角為，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量數量積，解題關鍵是找到向量和的夾角.16．【解析】

根據題意可得，再由，即可得到結論.【詳解】由題意，得，又，解得，當時，則，此時；當時，則，此時，綜上，.故答案為：.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數的關系，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值為1，可得，，即可求橢圓的方程；（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點知，即可得到，的關系式，利用點到直線的距離公式即可得到，．當時，設直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達式，利用基本不等式的性質，結合當時，四邊形是矩形，即可得出的最大值．【詳解】（1）設，則，，，，由題意得，，橢圓的方程為；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

設，，當時，設直線的傾斜角為，則，，，，∴當時，，，．當時，四邊形是矩形，．

所以四邊形面積的最大值為2．【點睛】本題主要考查橢圓的方程與性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系、向量知識、二次函數的單調性、基本不等式的性質等基礎知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．18．（1）（2）證明見解析【解析】

（1），①當時，，②兩式相減即得數列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當時，．當時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．【點睛】本題主要考查數列通項的求法，考查數列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19．（1）見解析；（2）【解析】

（1）因為，所以，所以，所以數列是等差數列，設數列的公差為，由可得，因為成等比數列，所以，所以，所以，因為，所以，解得（舍去）或，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，所以．20．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當時，由，解得，此時；當時，不成立；當時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因為，，所以，，，.所以，.故所證不等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的求解，同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，然后解不等式，可求得函數的單調遞增區間；（2）由求得，利用余弦定理結合基本不等式求出的取值范圍，再結合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數的單調遞增區間為；（2）由題意，則，，，，解得.由余弦定理得，又，，當且僅當時取等號，所以，的面積.【點睛】本題考查正弦型函數單調區間的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的計算，涉及余弦定理和基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.22