30/30滁州市定遠縣2023年九年級《數學》上學期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項。1.若關于x的函數y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函數，則a的取值范圍是（）A.a≠0 B.a≠2 C.a＜2 D.a＞2【答案】B【詳解】解：因為函數y=（2-a）x2-x是二次函數，所以2-a≠0，即a≠2，故選B．2.已知的圖象如圖所示，對稱軸為直線，若，是一元二次方程的兩個根，且，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用函數圖象對稱軸位置及拋物線與軸交點的位置，分別判斷四個結論正確性．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個根，、是拋物線與軸交點的橫坐標，拋物線的對稱軸為，，即，故選項錯誤；由圖象可知，，，解得：，故選項正確；拋物線與軸有兩個交點，，故選項錯誤；由對稱軸可知，可知，故選項錯誤．故選：．【點睛】主要考查二次函數與一元二次方程之間的關系，會利用對稱軸的值求拋物線與軸交點的橫坐標間的數量關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．3.如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數y＝（a＞1）的圖像于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【分析】設，由S△BCD=即可求解.【詳解】解：設，因為BD⊥y軸所以S△BCD==5，解得：故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數的應用，掌握反比例函數的相關知識是解題的關鍵．4.如圖，中，點D，E分別在，邊上，．若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據平行線分線段成比例，得到；【詳解】解：因為，所以，故選：A．5.如圖，在中，，，點從點出發以1個單位長度/秒的速度向點運動，同時點從點出發以2個單位長度/秒的速度向點運動，其中一點到達另一點即停．當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為（）A.秒 B.秒 C.秒或秒 D.以上均不對【答案】C【分析】首先設秒鐘與以、、為頂點的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當和當討論．【詳解】解：設運動時間為秒．，，，當，，即，解得；當，，即，解得，綜上所述，當以，，為頂點的三角形與相似時，運動時間為或，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，注意數形結合思想與分類討論思想．6.如圖，在等邊中，點D，E分別是上的點，，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【分析】先利用三角形的外角性質證明，再證明，再利用相似三角形的性質即可求得答案．【詳解】解：，，，，又，，，等邊中，，設，，，，；故選：D．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定與性質、三角形的外角性質等知識，熟練掌握相關性質與判定是解答此題的關鍵．7.如圖，在平面直角坐標系中，與是以原點為位似中心的位似圖形，已知點的橫坐標為，點的橫坐標為，點的坐標為，則點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據位似圖形的概念得到，得到，進而求出，根據位似變換的性質計算，得到答案．【詳解】解：點的橫坐標為，點的橫坐標為，所以，與是以原點為位似中心的位似圖形，所以，，所以，與的相似比為：，點的坐標為，點的坐標是，故選：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．8.若∠A為銳角，且sinA＝，則cosA的值是()A.1 B. C. D.【答案】D【分析】先由正弦求出∠A，再求出∠A的余弦．【詳解】因為，sinA＝，所以，∠A=60°所以，cosA=cos60°=0.5，故選D9.如圖為東西流向且河岸平行的一段河道，點，分別為兩岸上一點，且點在點正北方向，由點向正東方向走米到達點，此時測得點在點的北偏西55°方向上，則河寬的長為（）米 B.米 C.米 D.米【答案】D【分析】根據題意求出∠ABC的度數，再利用三角函數求解即可．【詳解】解：如圖，因為點B在點C的北偏西55°方向上，所以∠BCD=55°，因為該河道東西流向且與河岸平行，點B在點A正北方向，所以AB⊥AC，所以AB∥CD，所以∠ABC=55°，因為點A向正東方向走a米到達點C，所以AC=a，所以故選D．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，涉及到三角函數值的問題，解決本題的關鍵是讀懂題意，能在圖形中找出相應的角或線段，牢記三角函數公式等，考查了學生應用數學的意識與能力．10.如圖，點在第二象限，與軸負半軸的夾角是，且，則點的坐標為（） B. C. D.【答案】B【分析】過點P作PA⊥x軸于A，利用求出OA，再根據勾股定理求出PA即可得到點P的坐標.【詳解】過點P作PA⊥x軸于A，因為，所以，所以=4，因為點在第二象限，所以點P的坐標是（-3,4）故選：B.【點睛】此題考查三角函數，勾股定理，直角坐標系中點的坐標特點，解題中注意點所在象限的坐標的符號特點.二、填空題本大題共4小題，共20分。11.如圖，在平面直角坐標系中，等腰三角形ABC的腰AB經過原點，底邊BC與x軸平行，反比例函數y＝的圖象經過A、B兩點，若點A的坐標為（1，4），則點C的坐標為_____．【答案】（3，﹣4）．【分析】根據反比例函數的對稱性求得B的坐標，然后根據等腰三角形的性質求得D的坐標，進而求得C的坐標．【詳解】解：作AD⊥BC于D，因為BC等腰三角形ABC的底邊，所以CD＝BD，因為反比例函數y＝的圖象經過A、B兩點，若點A的坐標為（1，4），所以B（﹣1，﹣4），所以D（1，﹣4），所以BD＝2，所以CD＝BD＝2，所以C（3，﹣4），故答案為（3，﹣4）．【點睛】此題主要考查反比例函數與幾何綜合，解題的關鍵是熟知等腰三角形的性質及反比例函數的圖象與性質．12.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米．設正常水位時橋下的水深為2米，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米，則水深超過_____米時就會影響過往船只在橋下的順利航行．【答案】2.76【分析】以拱頂為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立平面直角坐標系．根據題中數據求出拋物線解析式．橋下水面的寬度不得小于18米，即求當x=9時y的值，然后根據正常水位進行解答．【詳解】設拋物線解析式為y=ax2，把點B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，解得：a=﹣，所以y=﹣x2，把x=9代入，得：y=﹣=﹣3.24，此時水深=4+2﹣3.24=2.76米．故答案是：2.76.【點睛】考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．13.如圖，正方形中，為上一點，交的延長線于點，若，，則的長為__．【答案】7【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，結合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性質可求出DF的長，進而可得出CF的長，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性質可求出CE的長．【詳解】解：因為四邊形ABCD為正方形，所以∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，所以DP=AD-AP=2，∠BCD=∠ECF=90°因為BP⊥PE，所以∠BPE=90°，所以∠APB+∠DPF=90°．因為∠APB+∠ABP=90°，所以∠ABP=∠DPF．又因為∠A=∠D，所以△APB∽△DFP，所以，即，所以所以因為∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，所以△PFD∽△EFC，，即所以CE=7．故答案為：7．【點睛】本題考查了相似三角形判定與性質以及正方形的性質，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關鍵．14.如圖，某船由西向東航行，在點測得小島在北偏東方向上，船航行了海里后到達點，這時測得小島在北偏東方向上，船繼續航行到點時，測得小島恰好在船的正北方，則此時船到小島的距離為________海里．【答案】【分析】設海里，可得海里，海里，然后根據海里列方程求解即可．【詳解】解：設海里，依題意得，，，海里，海里，海里，海里，即，，故答案：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握含特殊角的三角形的邊角關系是解題的關鍵．三、解答題本大題共9小題，共90分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.計算：（1）；（2）.【答案】(1)0;(2)【詳解】試題分析：（1）將特殊角的三角函數值代入求解．（2）利用特殊角的三角函數值、絕對值及二次根式的混合運算的順序求解即可．試題解析：（1）原式（2）原式16.設二次函數，的圖像的頂點坐標分別為，．若，，且開口方向相同，則稱是的“反倍頂二次函數”．（1）請寫出二次函數的“反倍頂二次函數”；（2）已知關于的二次函數和二次函數．若函數恰是的“反倍頂二次函數”，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據“反倍頂二次函數”的定義，求出頂點坐標即可解決問題；（2）根據“反倍頂二次函數”定義，列出方程即可解決問題．【小問1詳解】解：，二次函數的頂點坐標為，二次函數的一個“反倍頂二次函數”的頂點坐標為，這個“反倍頂二次函數”的解析式為；【小問2詳解】，頂點坐標為，，頂點坐標為，函數恰好是的“反倍頂二次函數”，，解得．17.如圖，反比例函數的圖像與一次函數的圖像相交于，兩點．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）點P在線段AB上，且，直接寫出點P的坐標；（3）設直線AB交y軸于點C，點是x軸正半軸上的一個動點，過點N作軸交反比例函數的圖像于點M，連接CN，OM．若S四邊形COMN＞3，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）反比例函數的解析式為，一次函數解析式為（2）點P的坐標為（，）（3）t＞【分析】（1）將點B，點A坐標代入反比例函數的解析式，可求a和k的值，利用待定系數法可求一次函數解析式；（2）連接OA，OB，OP，求得OC的長，根據，，求得進而求得點P的坐標；（3）先求出點C坐標，由面積關系可求解．【詳解】（1）因為反比例函數的圖像與一次函數的圖像相交于，兩點，所以，所以，所以點，所以反比例函數的解析式為，由題意可得：，解得：，所以一次函數解析式為；（2）連接OA，OB，OP，令代入，解得，所以一次函數與軸的交點C坐標為，所以，因為點P在線段AB上，所以設點P為，因為點A，點B，所以，因為，所以，因為，所以，解得，所以，所以點P的坐標為；（3）因為直線AB交軸于點C，所以點C，所以，因為，所以，所以．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用待定系數法求解析式，反比例函數的性質等知識，求出兩個解析式是解題的關鍵．18.某公司銷售一種商品，成本為元件，公司規定售價不能低于元件，經過市場調查發現，該商品的日銷售量（件）與銷售單價（元）是一次函數關系，其銷售單價、日銷售量的幾組對應數值如表：銷售單價（元）日銷售量（件）（1）求出與之間的函數關系式；（2）該商品的銷售單價定為多少元，公司日銷售此商品獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）若該商品的日銷售量不少于件，公司日銷售此商品獲得的最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）該商品的銷售單價定為元，公司日銷售此商品獲得的利潤最大，最大利潤是元（3）該商品的日銷售量不少于件，公司日銷售此商品獲得的最大利潤是元【分析】（1）根據題中所給的表格中的數據，利用待定系數法可得其關系式；（2）根據利潤等于每件的利潤乘以銷售量列出函數解析式，根據函數的性質和自變量的取值范圍求函數最值；（3）根據售價不能低于元件和該商品的日銷售量不少于件求出的取值范圍，再根據（2）中函數解析式，由函數的性質最值．【小問1詳解】設與解析式為，將和代入，可得，解得，與之間的函數關系式為；【小問2詳解】設公司銷售該商品獲得的日利潤為元，，，且，，，當時，有最大值，最大值為，答：該商品的銷售單價定為元，公司日銷售此商品獲得的利潤最大，最大利潤是元；【小問3詳解】當時，解得，，由（2）知，，，當時，隨的增大而增大，當時，最大，最大值為，答：該商品的日銷售量不少于件，公司日銷售此商品獲得的最大利潤是元．【點睛】本題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有一次函數解析式的求解，二次函數的應用，在解題的過程中，注意正確找出等量關系是解題的關鍵，屬于基礎題目．19.如圖，已知，若三點共線，線段與交于點．（1）求證：；（2）若，，的面積為，求的面積．【答案】（1）見解析（2）32【解析】【分析】（1）由，可得，可得，所以，由兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似可得結論；（2）由（1）知，，所以，易證，進而得，所以，由此可得出結論．【小問1詳解】證明：，，，即，，；【小問2詳解】解：由（1）知，，，，，，，，，，．20.如圖大樓的高度為37m，小可為了測量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部處出發，沿水平地面前行32m到達處，再沿著斜坡走20m到達處，測得旗桿頂端的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點，，，，，在同一平面內（結果精確到0.1m）．（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數據：，，，）【答案】（1）斜坡的鉛直高度約為12m和水平寬度約為16m（2）旗桿的高度約為2.7m【分析】（1）在中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答；（2）過點作，垂足為，根據題意可得：，則然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，最后利用線段的和差關系進行計算即可解答.【小問1詳解】在中，，，所以，所以斜坡的鉛直高度約為12m和水平寬度約為16m；【小問2詳解】過點作，垂足為，由題意得：，所以，在中，，所以，所以所以旗桿的高度約為2.7m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．21.如圖，在四邊形中，，點在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2），【分析】（1）由題意易得AD∥CE，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得EF=CE=AD，然后由可進行求解