30/30滁州市定遠(yuǎn)縣2023年九年級《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項。1.若關(guān)于x的函數(shù)y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.a≠0 B.a≠2 C.a＜2 D.a＞2【答案】B【詳解】解：因為函數(shù)y=（2-a）x2-x是二次函數(shù)，所以2-a≠0，即a≠2，故選B．2.已知的圖象如圖所示，對稱軸為直線，若，是一元二次方程的兩個根，且，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用函數(shù)圖象對稱軸位置及拋物線與軸交點(diǎn)的位置，分別判斷四個結(jié)論正確性．【詳解】解：，是一元二次方程的兩個根，、是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，拋物線的對稱軸為，，即，故選項錯誤；由圖象可知，，，解得：，故選項正確；拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，，故選項錯誤；由對稱軸可知，可知，故選項錯誤．故選：．【點(diǎn)睛】主要考查二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，會利用對稱軸的值求拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．3.如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y＝（a＞1）的圖像于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，若S△BCD＝5，則a的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【分析】設(shè)，由S△BCD=即可求解.【詳解】解：設(shè)，因為BD⊥y軸所以S△BCD==5，解得：故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4.如圖，中，點(diǎn)D，E分別在，邊上，．若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，得到；【詳解】解：因為，所以，故選：A．5.如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以1個單位長度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動，其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停．當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動時間為（）A.秒 B.秒 C.秒或秒 D.以上均不對【答案】C【分析】首先設(shè)秒鐘與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當(dāng)和當(dāng)討論．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動時間為秒．，，，當(dāng)，，即，解得；當(dāng)，，即，解得，綜上所述，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時，運(yùn)動時間為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．6.如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別是上的點(diǎn)，，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【分析】先利用三角形的外角性質(zhì)證明，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：，，，，又，，，等邊中，，設(shè)，，，，；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到，得到，進(jìn)而求出，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，所以，，所以，與的相似比為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．8.若∠A為銳角，且sinA＝，則cosA的值是()A.1 B. C. D.【答案】D【分析】先由正弦求出∠A，再求出∠A的余弦．【詳解】因為，sinA＝，所以，∠A=60°所以，cosA=cos60°=0.5，故選D9.如圖為東西流向且河岸平行的一段河道，點(diǎn)，分別為兩岸上一點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)正北方向，由點(diǎn)向正東方向走米到達(dá)點(diǎn)，此時測得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西55°方向上，則河寬的長為（）米 B.米 C.米 D.米【答案】D【分析】根據(jù)題意求出∠ABC的度數(shù)，再利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖，因為點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏西55°方向上，所以∠BCD=55°，因為該河道東西流向且與河岸平行，點(diǎn)B在點(diǎn)A正北方向，所以AB⊥AC，所以AB∥CD，所以∠ABC=55°，因為點(diǎn)A向正東方向走a米到達(dá)點(diǎn)C，所以AC=a，所以故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)值的問題，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，能在圖形中找出相應(yīng)的角或線段，牢記三角函數(shù)公式等，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力．10.如圖，點(diǎn)在第二象限，與軸負(fù)半軸的夾角是，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（） B. C. D.【答案】B【分析】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，利用求出OA，再根據(jù)勾股定理求出PA即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A，因為，所以，所以=4，因為點(diǎn)在第二象限，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3,4）故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)，勾股定理，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解題中注意點(diǎn)所在象限的坐標(biāo)的符號特點(diǎn).二、填空題本大題共4小題，共20分。11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的腰AB經(jīng)過原點(diǎn)，底邊BC與x軸平行，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．【答案】（3，﹣4）．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)．【詳解】解：作AD⊥BC于D，因為BC等腰三角形ABC的底邊，所以CD＝BD，因為反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），所以B（﹣1，﹣4），所以D（1，﹣4），所以BD＝2，所以CD＝BD＝2，所以C（3，﹣4），故答案為（3，﹣4）．【點(diǎn)睛】此題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．12.有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為20米，拱頂距離水面4米．設(shè)正常水位時橋下的水深為2米，為保證過往船只順利航行，橋下水面的寬度不得小于18米，則水深超過_____米時就會影響過往船只在橋下的順利航行．【答案】2.76【分析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出拋物線解析式．橋下水面的寬度不得小于18米，即求當(dāng)x=9時y的值，然后根據(jù)正常水位進(jìn)行解答．【詳解】設(shè)拋物線解析式為y=ax2，把點(diǎn)B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，解得：a=﹣，所以y=﹣x2，把x=9代入，得：y=﹣=﹣3.24，此時水深=4+2﹣3.24=2.76米．故答案是：2.76.【點(diǎn)睛】考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．13.如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，若，，則的長為__．【答案】7【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，結(jié)合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DF的長，進(jìn)而可得出CF的長，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長．【詳解】解：因為四邊形ABCD為正方形，所以∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，所以DP=AD-AP=2，∠BCD=∠ECF=90°因為BP⊥PE，所以∠BPE=90°，所以∠APB+∠DPF=90°．因為∠APB+∠ABP=90°，所以∠ABP=∠DPF．又因為∠A=∠D，所以△APB∽△DFP，所以，即，所以所以因為∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，所以△PFD∽△EFC，，即所以CE=7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關(guān)鍵．14.如圖，某船由西向東航行，在點(diǎn)測得小島在北偏東方向上，船航行了海里后到達(dá)點(diǎn)，這時測得小島在北偏東方向上，船繼續(xù)航行到點(diǎn)時，測得小島恰好在船的正北方，則此時船到小島的距離為________海里．【答案】【分析】設(shè)海里，可得海里，海里，然后根據(jù)海里列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)海里，依題意得，，，海里，海里，海里，海里，即，，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握含特殊角的三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題本大題共9小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.計算：（1）；（2）.【答案】(1)0;(2)【詳解】試題分析：（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．（2）利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值及二次根式的混合運(yùn)算的順序求解即可．試題解析：（1）原式（2）原式16.設(shè)二次函數(shù)，的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．若，，且開口方向相同，則稱是的“反倍頂二次函數(shù)”．（1）請寫出二次函數(shù)的“反倍頂二次函數(shù)”；（2）已知關(guān)于的二次函數(shù)和二次函數(shù)．若函數(shù)恰是的“反倍頂二次函數(shù)”，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)“反倍頂二次函數(shù)”的定義，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題；（2）根據(jù)“反倍頂二次函數(shù)”定義，列出方程即可解決問題．【小問1詳解】解：，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，二次函數(shù)的一個“反倍頂二次函數(shù)”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，這個“反倍頂二次函數(shù)”的解析式為；【小問2詳解】，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)恰好是的“反倍頂二次函數(shù)”，，解得．17.如圖，反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像相交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在線段AB上，且，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作軸交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，連接CN，OM．若S四邊形COMN＞3，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)解析式為（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）（3）t＞【分析】（1）將點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，可求a和k的值，利用待定系數(shù)法可求一次函數(shù)解析式；（2）連接OA，OB，OP，求得OC的長，根據(jù)，，求得進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，由面積關(guān)系可求解．【詳解】（1）因為反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像相交于，兩點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)，所以反比例函數(shù)的解析式為，由題意可得：，解得：，所以一次函數(shù)解析式為；（2）連接OA，OB，OP，令代入，解得，所以一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為，所以，因為點(diǎn)P在線段AB上，所以設(shè)點(diǎn)P為，因為點(diǎn)A，點(diǎn)B，所以，因為，所以，因為，所以，解得，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）因為直線AB交軸于點(diǎn)C，所以點(diǎn)C，所以，因為，所以，所以．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，求出兩個解析式是解題的關(guān)鍵．18.某公司銷售一種商品，成本為元件，公司規(guī)定售價不能低于元件，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量（件）與銷售單價（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價、日銷售量的幾組對應(yīng)數(shù)值如表：銷售單價（元）日銷售量（件）（1）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該商品的銷售單價定為多少元，公司日銷售此商品獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）若該商品的日銷售量不少于件，公司日銷售此商品獲得的最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）該商品的銷售單價定為元，公司日銷售此商品獲得的利潤最大，最大利潤是元（3）該商品的日銷售量不少于件，公司日銷售此商品獲得的最大利潤是元【分析】（1）根據(jù)題中所給的表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可得其關(guān)系式；（2）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求函數(shù)最值；（3）根據(jù)售價不能低于元件和該商品的日銷售量不少于件求出的取值范圍，再根據(jù)（2）中函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)最值．【小問1詳解】設(shè)與解析式為，將和代入，可得，解得，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問2詳解】設(shè)公司銷售該商品獲得的日利潤為元，，，且，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為，答：該商品的銷售單價定為元，公司日銷售此商品獲得的利潤最大，最大利潤是元；【小問3詳解】當(dāng)時，解得，，由（2）知，，，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，最大，最大值為，答：該商品的日銷售量不少于件，公司日銷售此商品獲得的最大利潤是元．【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題的過程中，注意正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題目．19.如圖，已知，若三點(diǎn)共線，線段與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，的面積為，求的面積．【答案】（1）見解析（2）32【解析】【分析】（1）由，可得，可得，所以，由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似可得結(jié)論；（2）由（1）知，，所以，易證，進(jìn)而得，所以，由此可得出結(jié)論．【小問1詳解】證明：，，，即，，；【小問2詳解】解：由（1）知，，，，，，，，，，．20.如圖大樓的高度為37m，小可為了測量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部處出發(fā)，沿水平地面前行32m到達(dá)處，再沿著斜坡走20m到達(dá)處，測得旗桿頂端的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點(diǎn)，，，，，在同一平面內(nèi)（結(jié)果精確到0.1m）．（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）斜坡的鉛直高度約為12m和水平寬度約為16m（2）旗桿的高度約為2.7m【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答；（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，則然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.【小問1詳解】在中，，，所以，所以斜坡的鉛直高度約為12m和水平寬度約為16m；【小問2詳解】過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，所以，在中，，所以，所以所以旗桿的高度約為2.7m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2），【分析】（1）由題意易得AD∥CE，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得EF=CE=AD，然后由可進(jìn)行求解