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30/30滁州市定遠(yuǎn)縣2023年九年級《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題,共40分.在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項。1.若關(guān)于x的函數(shù)y=(2﹣a)x2﹣x是二次函數(shù),則a的取值范圍是()A.a≠0 B.a≠2 C.a<2 D.a>2【答案】B【詳解】解:因為函數(shù)y=(2-a)x2-x是二次函數(shù),所以2-a≠0,即a≠2,故選B.2.已知的圖象如圖所示,對稱軸為直線,若,是一元二次方程的兩個根,且,,則下列說法正確的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】利用函數(shù)圖象對稱軸位置及拋物線與軸交點(diǎn)的位置,分別判斷四個結(jié)論正確性.【詳解】解:,是一元二次方程的兩個根,、是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),拋物線的對稱軸為,,即,故選項錯誤;由圖象可知,,,解得:,故選項正確;拋物線與軸有兩個交點(diǎn),,故選項錯誤;由對稱軸可知,可知,故選項錯誤.故選:.【點(diǎn)睛】主要考查二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系,會利用對稱軸的值求拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系,以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換,根的判別式的熟練運(yùn)用.3.如圖,直線AB交x軸于點(diǎn)C,交反比例函數(shù)y=(a>1)的圖像于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作BD⊥y軸,垂足為點(diǎn)D,若S△BCD=5,則a的值為()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【分析】設(shè),由S△BCD=即可求解.【詳解】解:設(shè),因為BD⊥y軸所以S△BCD==5,解得:故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用,掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.4.如圖,中,點(diǎn)D,E分別在,邊上,.若,則等于()A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例,得到;【詳解】解:因為,所以,故選:A.5.如圖,在中,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以1個單位長度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動,同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動,其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停.當(dāng)以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似時,運(yùn)動時間為()A.秒 B.秒 C.秒或秒 D.以上均不對【答案】C【分析】首先設(shè)秒鐘與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似,則,,,然后分兩種情況當(dāng)和當(dāng)討論.【詳解】解:設(shè)運(yùn)動時間為秒.,,,當(dāng),,即,解得;當(dāng),,即,解得,綜上所述,當(dāng)以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似時,運(yùn)動時間為或,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想.6.如圖,在等邊中,點(diǎn)D,E分別是上的點(diǎn),,則()A.3 B. C. D.【答案】D【分析】先利用三角形的外角性質(zhì)證明,再證明,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】解:,,,,又,,,等邊中,,設(shè),,,,;故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵.7.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形,已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到,得到,進(jìn)而求出,根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算,得到答案.【詳解】解:點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,與是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形,所以,,所以,與的相似比為:,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)是,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì),兩個圖形不僅是相似圖形,而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點(diǎn)叫做位似中心.8.若∠A為銳角,且sinA=,則cosA的值是()A.1 B. C. D.【答案】D【分析】先由正弦求出∠A,再求出∠A的余弦.【詳解】因為,sinA=,所以,∠A=60°所以,cosA=cos60°=0.5,故選D9.如圖為東西流向且河岸平行的一段河道,點(diǎn),分別為兩岸上一點(diǎn),且點(diǎn)在點(diǎn)正北方向,由點(diǎn)向正東方向走米到達(dá)點(diǎn),此時測得點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西55°方向上,則河寬的長為()米 B.米 C.米 D.米【答案】D【分析】根據(jù)題意求出∠ABC的度數(shù),再利用三角函數(shù)求解即可.【詳解】解:如圖,因為點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏西55°方向上,所以∠BCD=55°,因為該河道東西流向且與河岸平行,點(diǎn)B在點(diǎn)A正北方向,所以AB⊥AC,所以AB∥CD,所以∠ABC=55°,因為點(diǎn)A向正東方向走a米到達(dá)點(diǎn)C,所以AC=a,所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用,涉及到三角函數(shù)值的問題,解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意,能在圖形中找出相應(yīng)的角或線段,牢記三角函數(shù)公式等,考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力.10.如圖,點(diǎn)在第二象限,與軸負(fù)半軸的夾角是,且,則點(diǎn)的坐標(biāo)為() B. C. D.【答案】B【分析】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,利用求出OA,再根據(jù)勾股定理求出PA即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】過點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,因為,所以,所以=4,因為點(diǎn)在第二象限,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-3,4)故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù),勾股定理,直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),解題中注意點(diǎn)所在象限的坐標(biāo)的符號特點(diǎn).二、填空題本大題共4小題,共20分。11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰三角形ABC的腰AB經(jīng)過原點(diǎn),底邊BC與x軸平行,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____.【答案】(3,﹣4).【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性求得B的坐標(biāo),然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得D的坐標(biāo),進(jìn)而求得C的坐標(biāo).【詳解】解:作AD⊥BC于D,因為BC等腰三角形ABC的底邊,所以CD=BD,因為反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),所以B(﹣1,﹣4),所以D(1,﹣4),所以BD=2,所以CD=BD=2,所以C(3,﹣4),故答案為(3,﹣4).【點(diǎn)睛】此題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合,解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).12.有一座拋物線形拱橋,正常水位時橋下水面寬度為20米,拱頂距離水面4米.設(shè)正常水位時橋下的水深為2米,為保證過往船只順利航行,橋下水面的寬度不得小于18米,則水深超過_____米時就會影響過往船只在橋下的順利航行.【答案】2.76【分析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),水平向右為x軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出拋物線解析式.橋下水面的寬度不得小于18米,即求當(dāng)x=9時y的值,然后根據(jù)正常水位進(jìn)行解答.【詳解】設(shè)拋物線解析式為y=ax2,把點(diǎn)B(10,﹣4)代入解析式得:﹣4=a×102,解得:a=﹣,所以y=﹣x2,把x=9代入,得:y=﹣=﹣3.24,此時水深=4+2﹣3.24=2.76米.故答案是:2.76.【點(diǎn)睛】考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.此題為數(shù)學(xué)建模題,借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.13.如圖,正方形中,為上一點(diǎn),交的延長線于點(diǎn),若,,則的長為__.【答案】7【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF,結(jié)合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP,利用相似三角形的性質(zhì)可求出DF的長,進(jìn)而可得出CF的長,由∠PFD=∠EFC,∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC,再利用相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長.【詳解】解:因為四邊形ABCD為正方形,所以∠A=∠D=∠BCD=90°,AB=AD=CD=6,所以DP=AD-AP=2,∠BCD=∠ECF=90°因為BP⊥PE,所以∠BPE=90°,所以∠APB+∠DPF=90°.因為∠APB+∠ABP=90°,所以∠ABP=∠DPF.又因為∠A=∠D,所以△APB∽△DFP,所以,即,所以所以因為∠PFD=∠EFC,∠D=∠ECF,所以△PFD∽△EFC,,即所以CE=7.故答案為:7.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì),利用相似三角形的判定定理,找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關(guān)鍵.14.如圖,某船由西向東航行,在點(diǎn)測得小島在北偏東方向上,船航行了海里后到達(dá)點(diǎn),這時測得小島在北偏東方向上,船繼續(xù)航行到點(diǎn)時,測得小島恰好在船的正北方,則此時船到小島的距離為________海里.【答案】【分析】設(shè)海里,可得海里,海里,然后根據(jù)海里列方程求解即可.【詳解】解:設(shè)海里,依題意得,,,海里,海里,海里,海里,即,,故答案:.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握含特殊角的三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題本大題共9小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.計算:(1);(2).【答案】(1)0;(2)【詳解】試題分析:(1)將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.(2)利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值及二次根式的混合運(yùn)算的順序求解即可.試題解析:(1)原式(2)原式16.設(shè)二次函數(shù),的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,.若,,且開口方向相同,則稱是的“反倍頂二次函數(shù)”.(1)請寫出二次函數(shù)的“反倍頂二次函數(shù)”;(2)已知關(guān)于的二次函數(shù)和二次函數(shù).若函數(shù)恰是的“反倍頂二次函數(shù)”,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)“反倍頂二次函數(shù)”的定義,求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題;(2)根據(jù)“反倍頂二次函數(shù)”定義,列出方程即可解決問題.【小問1詳解】解:,二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,二次函數(shù)的一個“反倍頂二次函數(shù)”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,這個“反倍頂二次函數(shù)”的解析式為;【小問2詳解】,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,函數(shù)恰好是的“反倍頂二次函數(shù)”,,解得.17.如圖,反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像相交于,兩點(diǎn).(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;(2)點(diǎn)P在線段AB上,且,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)是x軸正半軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)N作軸交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)M,連接CN,OM.若S四邊形COMN>3,直接寫出t的取值范圍.【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為,一次函數(shù)解析式為(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)(3)t>【分析】(1)將點(diǎn)B,點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式,可求a和k的值,利用待定系數(shù)法可求一次函數(shù)解析式;(2)連接OA,OB,OP,求得OC的長,根據(jù),,求得進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)先求出點(diǎn)C坐標(biāo),由面積關(guān)系可求解.【詳解】(1)因為反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像相交于,兩點(diǎn),所以,所以,所以點(diǎn),所以反比例函數(shù)的解析式為,由題意可得:,解得:,所以一次函數(shù)解析式為;(2)連接OA,OB,OP,令代入,解得,所以一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為,所以,因為點(diǎn)P在線段AB上,所以設(shè)點(diǎn)P為,因為點(diǎn)A,點(diǎn)B,所以,因為,所以,因為,所以,解得,所以,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為;(3)因為直線AB交軸于點(diǎn)C,所以點(diǎn)C,所以,因為,所以,所以.【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,利用待定系數(shù)法求解析式,反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識,求出兩個解析式是解題的關(guān)鍵.18.某公司銷售一種商品,成本為元件,公司規(guī)定售價不能低于元件,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品的日銷售量(件)與銷售單價(元)是一次函數(shù)關(guān)系,其銷售單價、日銷售量的幾組對應(yīng)數(shù)值如表:銷售單價(元)日銷售量(件)(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)該商品的銷售單價定為多少元,公司日銷售此商品獲得的利潤最大?最大利潤是多少元?(3)若該商品的日銷售量不少于件,公司日銷售此商品獲得的最大利潤是多少元?【答案】(1)(2)該商品的銷售單價定為元,公司日銷售此商品獲得的利潤最大,最大利潤是元(3)該商品的日銷售量不少于件,公司日銷售此商品獲得的最大利潤是元【分析】(1)根據(jù)題中所給的表格中的數(shù)據(jù),利用待定系數(shù)法可得其關(guān)系式;(2)根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量列出函數(shù)解析式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求函數(shù)最值;(3)根據(jù)售價不能低于元件和該商品的日銷售量不少于件求出的取值范圍,再根據(jù)(2)中函數(shù)解析式,由函數(shù)的性質(zhì)最值.【小問1詳解】設(shè)與解析式為,將和代入,可得,解得,與之間的函數(shù)關(guān)系式為;【小問2詳解】設(shè)公司銷售該商品獲得的日利潤為元,,,且,,,當(dāng)時,有最大值,最大值為,答:該商品的銷售單價定為元,公司日銷售此商品獲得的利潤最大,最大利潤是元;【小問3詳解】當(dāng)時,解得,,由(2)知,,,當(dāng)時,隨的增大而增大,當(dāng)時,最大,最大值為,答:該商品的日銷售量不少于件,公司日銷售此商品獲得的最大利潤是元.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題,涉及到的知識點(diǎn)有一次函數(shù)解析式的求解,二次函數(shù)的應(yīng)用,在解題的過程中,注意正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題目.19.如圖,已知,若三點(diǎn)共線,線段與交于點(diǎn).(1)求證:;(2)若,,的面積為,求的面積.【答案】(1)見解析(2)32【解析】【分析】(1)由,可得,可得,所以,由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似可得結(jié)論;(2)由(1)知,,所以,易證,進(jìn)而得,所以,由此可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明:,,,即,,;【小問2詳解】解:由(1)知,,,,,,,,,,.20.如圖大樓的高度為37m,小可為了測量大樓頂部旗桿的高度,他從大樓底部處出發(fā),沿水平地面前行32m到達(dá)處,再沿著斜坡走20m到達(dá)處,測得旗桿頂端的仰角為.已知斜坡與水平面的夾角,圖中點(diǎn),,,,,在同一平面內(nèi)(結(jié)果精確到0.1m).(1)求斜坡的鉛直高度和水平寬度.(2)求旗桿的高度.(參考數(shù)據(jù):,,,)【答案】(1)斜坡的鉛直高度約為12m和水平寬度約為16m(2)旗桿的高度約為2.7m【分析】(1)在中,利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答;(2)過點(diǎn)作,垂足為,根據(jù)題意可得:,則然后在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長,最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.【小問1詳解】在中,,,所以,所以斜坡的鉛直高度約為12m和水平寬度約為16m;【小問2詳解】過點(diǎn)作,垂足為,由題意得:,所以,在中,,所以,所以所以旗桿的高度約為2.7m.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.21.如圖,在四邊形中,,點(diǎn)在上,,垂足為.(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)若平分,求和的長.【答案】(1)見詳解;(2),【分析】(1)由題意易得AD∥CE,然后問題可求證;(2)由(1)及題意易得EF=CE=AD,然后由可進(jìn)行求解
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