北師版幾年級數(shù)學(xué)目錄

第1講一元二次方程的概念及解法...............................................2

第2講根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系.............................................9

j7"itt一行yu一次*Tx方*y-J程」+應(yīng)］、i田.j?j?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1?7?/

第4講比例線段與黃金分割....................................................24

第5講相似圖形..............................................................31

第6講平行分割..............................................................38

第7講相似的判定與性質(zhì)......................................................46

第9講反比例函數(shù)的概念與性質(zhì)54

第10講反比例函數(shù)與一次函數(shù)................................................61

第11講反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合............................................67

第12講二次函數(shù)的初步認(rèn)識..................................................74

第13講二次函數(shù)的圖像（一）...................................................83

第1講一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2,且二次項系數(shù)不為0,這樣的方程叫

一元二次方程.

一般形式：以2+法+c=0(aw0),其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項；

注意：判斷某方程是否為一元二次方程時，應(yīng)首先將方程化為一般形式.

部典型例題彈狂?日

例題L1：已知(/n—1)恒—3x+l=0是關(guān)于x的一元二次方程，貝心”=.

練習(xí)1.1：關(guān)于x的方程(m-2)f一4%+3=0是一元二次方程，則加滿足的條件是.

練習(xí)1.2：(?-1)xfl2+1+x+a2-l=0,求當(dāng)。=時，方程是一元二次方程，當(dāng)。

=時，方程是一元一次方程.

例題L2：下列方程中，是一元二次方程的是.

0%2—2x—1=0;@ax~+bx+c=0;③-r+3x~5=0；@(x—l)(x—3)—x2；(5)(x—I)-+y2—2；

x~

⑥-f=0.

練習(xí)12下列方程中，是一元二次方程的是.

①以2=0(。w0的常數(shù))；②3(x—9)——(x+l)?=1；③---1-5=0；?X2-2+5X3—6=0；

x

22

⑤=33-2)2；@-X+2=-(X+1).

例題1.3：一元二次方程犬―6x-4=0的二次項為,一次項系數(shù)為,常數(shù)

項為.

知■識■要■點

一元二次方程的解及解法

1.使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的取值，叫做方程的解.

2.一元二次方程的解法

(1)直接開平方法：對形如(％+。)2=從8?0)的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程

的方法.

x+a—±^/b

??xt=—a+ylb,^2=~a~ylb

(2)配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(左牛0)的一般步驟是：①化為一般形

式；②移項，將常數(shù)項移到方程的右邊；③化二次項系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；④

配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；化原方程為(％+加)2=”的形式；⑤如果

就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果則原方程無解.

(3)公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通過配方推導(dǎo)出來的.一

-b±小-\ac

元二次方程的求根公式是工(Z?2-4tzc>0).

步驟：①把方程轉(zhuǎn)化為一般形式；②確定a,b,c的值；③求出4ac的值，當(dāng)〃一4加2。時

代入求根公式.

(4)因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理論根據(jù)：

若"=0,則a=0或6=0.(常用的因式分解方法有：提取公因式、公式法及十字相乘法)

步驟是：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式等于0,

得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.

5.一元二次方程的注意事項：

(1)在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào)a/0.因當(dāng)a=0時，不含有二次項，即不是

一元二次方程.

(2)應(yīng)用求根公式解一元二次方程時應(yīng)注意：①先化方程為一般形式再確定a,b,c的值；②

若廿-4ac<0,則方程無解.

(3)利用因式分解法解方程時，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式.

如：—2(%+4)2=3(%+4)中，不能隨便約去x+4.

部典型例題拄

例題2.1：關(guān)于x的一元二次方程(a—1)/+%+"-1=。的一個根是0,則a的值為—

練習(xí)2.1：關(guān)于%的一元二次方程(a—D￡+1+,卜1=o的一個根為0,則實數(shù)。的值為

例題22已知加是方程f—x—1=。的一個根，則代數(shù)式m2一加的值等于

練習(xí)2.2：若加是關(guān)于尤的方程at?+法+5=0的一個解，則即？+加/-7=

例題23用直接開方法解下列方程

(l)(x+1)2=9(2)4%2-20=0

⑶⑵-3>=必

(4)45+3)2=25(x—2>.

例題2.4：用配方法解下列方程

(l)x2-6x-4-0(2)2.x~—3x—3—0

/4、1

(3)x(xH—)=—(4)x2+4x-7=6x+5

36

例題25用公式法解下列方程

(1)%?+2x—5=0(2)/—5=2(x+1)

(3)2f—2岳-5=0(4)(2%—1)2=%(3%+2)+17

例題2.6：用因式分解法解下列方程

(l)x2一x=0(2)X2-10X+25=0

(3)2%2+3x+1=0(4)(X+3)2-2(X+3)-3=0

e隨堂測試(方顯學(xué)霸本色)

VV

一、選擇題

1.下列方程中，關(guān)于X的一元二次方程是()

A.3(X+3)2=2(X+1)B.-4+--2=0

xy

C.ax2+bx+c-GD.x2+2x=x2-1

2.關(guān)于x的一元二次方程(a?_i)必+x—2=0是一元二次方程，則a滿足()

A.awlB.aw—lC.aw±lD.為任意實數(shù)

3.一元二次方程V—2(3廠2)+G+D=0的一般形式是()

A.~5x+5—0B.+5x—5=0C.x~+5x+5=0D.+5—0

4.用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（

A.%2—2%—99=0化為（%-1）2=100B.爐+8%_9=0化為(x+4>=25

C.2〃—7/—4=0化為（/—工）2=以D.3尤2一4%-2=0化為(/—4)2=二

41639

7

5.用配方法解方程尤2——1=0時，應(yīng)將其變形為（）

3

810

A.(%--)2=B.(%+-)2=

3~93

10

C.(「A二=0D.(%--)2=

33-6

二、填空題

1.把一元二次方程（％-3）2=4化為一般形式為：,二次項為，一次項系

數(shù)為，常數(shù)項為.

2.一元二次方程V+px-2=0的一個根為2,則p的值___________.

3.關(guān)于元的方程（m-2）尤2-4尤+3=0是一元二次方程，則掰滿足的條件是.

4.用配方法解方程f+5x+3=0,將其左邊配成完全平方后，應(yīng)將其變形為.

三、用指定方法解下列方程

（1）4（x+2>—81=0（直接開方法）(2)2?-6x=27(配方法)

(3)2/-4x—3=0(公式法)⑷x(2x+3)-2%—3=0(因式分解)

課后作業(yè)（都說溫故而知新）

一、選擇題

1.把方程1（%+2）=5（l一2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（)

A.1,-3,10B.1,7,-10C.1,-5,12D.1,3,2

2.用配方法解方程無2+10%+9=0,配方正確的是（）

A.-5)2=16B.(X+5)2=34C.(x—5)2=16D.(X+5)2=25

3.將方程》2-2尸3=0化為（Xi"）？=〃的形式，指出加，n分別是（)

A.1和3B.-1和3C.1和4D.-1和4

4.若2%2+3與2x-4互為相反數(shù)，則X的值為（）

11

A.2B.2C.±2D.±2

5.關(guān)于1的一元二次方程（加+1）/+工+/一2陽-3=0的一個根為％=0,則m的值為（）

A.加=3或加二-1B.機(jī)=-3或加=1C.m=-lD.m=3

6.解一元二次方程V—%—12=0,結(jié)果正確的是（)

石

A.玉=-4,x2=3B.=4,x2=-3

D.%=4,%2=3

7.方程x(x+3)=(%+3)解是()

A.X]=1,x?—3B.x]—0,%2=—3C.玉=1,x2=3D.玉=1,x2=—3

8.用換元法解方程（x2+x）2+（%2+x）=6時，如果設(shè)（Y+xy=y,那么原方程可變形為（）

A.y2+y-6=0B.y2-y-6=0C.,2_,+6=0D.y2+y+6=0

二、填空題

1.下列方程中，是一元二次方程的是

（I）》?—2x—1=0；（2）ax2+1=0（a為常數(shù)）；（3）—+3%—5=0；（4）—x2=0;（5）（x—I）2+y2—2；

x'

⑹（尤一1）（尤一3）=%2.

2.若m是方程X?—2尤=2的一個根，則2加—4〃z+2010的值是.

3.方程/—16=0的解為.

三、按要求解方程

⑴(3x+2)2=(5-2x)2(直接開方法)(2)2/—7x+3=0(配方法);

⑶為2一2%=2%+1(配方法)(4)x2+20x--=0(公式法).

4

(5)4x2-泉&+5=0(公式法)(6)2/—3%—2=0(因式分解法)

四、用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

(1)X2-10X+25=7(2)3尤(x-1)=2-2%

(3)4X2-4A/2X+1=0(4)(3x+l)2=9x+3

(5)x{x+3)-(2%+6)=0(6)(x—3)2—2(x+1)=x—7

第2講根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

要

1.一元二次方程+6%+。=0(。/0)配方得到方程0+2]='—

I2a)4a2

-b+yjb2-4ac-b-ylb2-4ac

⑴當(dāng)戶—4ac>0時,

1la22a

即：方程有兩個不相等的實數(shù)根。

b

⑵Z?2—4ac當(dāng)=0時，%=%=—丁，即：方程有兩個相等的實數(shù)根。

2a

⑶當(dāng)4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

2.通常，我們把匕2一4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△”表示，即:

△=〃-4ac-

一■般地，一■兀二次方程ax?++c=0(aw0)

當(dāng)△>()時有兩個不相等的實數(shù)根；

當(dāng)△=()時有兩個相等的實數(shù)根；

當(dāng)△<()時沒有實數(shù)根。

3.不解方程，判別一元二次方程的根的情況的一般步驟為:

一化(將一元二次方程化為一般形式)；

二算(確定a、b、c的值，算出△的值)；

三判斷(根據(jù)上述結(jié)論判別方程根的情況)。

%典型例題LULKLLffl

例題I」：不解方程判定下列一元二次方程根的情況.

(D2/+3%—4=0(2)/+3=2。(3)5(/+1)—7x=0

例題L2：關(guān)于x的一元二次方程(左-3)1—3x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，求左的取值范圍.

例題1.3：已知關(guān)于x的一元二次方程/-(5m+l)x+4m2+m-0.

(1)求證：無論用取何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根；

(2)有兩個正的實數(shù)根.求的加取值范圍

(3)有一正一負(fù)實數(shù)根.求的/"取值范圍

(4)有兩個負(fù)的實數(shù)根.求的相取值范圍

例題1.4：已知。、b、。為一個三角形的三條邊，且方程從好—1)—2依+4必+1)=0有兩個相等的

實根.求證：這個三角形是直角三角形.

知■識要■點8

形如以2+法+c=0(aw0)的方程，如果Z??—4ac20,兩根為再，々，兩根與各項系數(shù)a.b.c

之間的關(guān)系_______

,r1-b+yjb~-4-ac

設(shè)石=-----Z-------------則

2a

.-b+y/b2-4ac-b-yjb2-4ac-2bb

..Xi+x=--------------------1--------------------=-----——

92alalaa

22

-b+J/4acb-J/?24〃。_b-(Jb-4〃c)_4ac_c

2a2a4/4^2a

濯典型例題mmmjt

例題2.1：已知方程——x—1=0的兩個實數(shù)根為須、％,求:

小、11

(1)%；+X；;(2)—?----

⑶|西-即；

(4)(%1-1)(%2-1).

例題22若關(guān)于x的方程/+入+i=o的一個根是2+省，則方程的另一根是多少？人值是多少？

例題2.3：已知一元二次方程必―2%+m=0

(1)若方程有兩個實數(shù)根，求加的范圍；

(2)若方程的兩個實數(shù)根為須、/，且％+3%=3,求加的值.

例題2.4：已知關(guān)于龍的一元二次方程2_?+7〃(2]2+4%+3)—2=0,是否存在加？

(1)使方程的兩根互為相反數(shù)？說明理由.

(2)使方程的兩根互為倒數(shù)?說明理由.

(3)使方程的兩個根中一個為零，另一個不為零?說明理由.

隨堂測試（方顯學(xué)霸本色）

一、選擇題

1.一元二次方程%2+2%+4=0的根的情況是（

A.有一個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

2.方程式―3%+1=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根

3.下列一元一次方程中，有實數(shù)根的是（）

2222

A.x-x+l=0B.X-2X+3=0C.x+x-l=0D.X+4=0

4.關(guān)于龍的一元二次方程（a+l）d-4x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.a>—5B.a>—5且aw—1C.a<—5D.aN—5且aw—1

23

5.兩根分別為一、-二的一元二次方程是（）

32

A.6/_5x—6=0B.6爐+5%—6=0C.6x2-5x-l=0D.6x2+5x-l=0

二、填空題

1.若關(guān)于X的一元二次方程/小+3%—4=0有實數(shù)根，則冽的值為.

2.一元二次方程（7W-1）爐+2加葉機(jī)+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則加的最大整數(shù)為

3.已知再、馬是方程2/+3%-4=0的兩個根，那么:

11

*+君=一+—=;

X]X2，

|玉~X2\-----(國-1)(^2—1)=-------

三、解答題

1.關(guān)于x的一元二次方程（加-1）%2—2小+加+1=0.求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;

2.已知關(guān)于%的方程儂2+2(m—1"+加一1=0有兩個實數(shù)根，且機(jī)為非負(fù)整數(shù).

3.是什么實數(shù)值時，方程2(/n+3)%2+4?7比+2m-2=0：

(1)有兩個不相等的實數(shù)根；(2)沒有實數(shù)根.

k

4.關(guān)于%的方程底+(4+2)x+-=0有兩個不相等的實數(shù)根.

4

(1)求左的取值范圍.

(2)是否存在實數(shù)左，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出左的值；若不存在，說

明理由

課后作業(yè)（都說溫故而知新）

一.選擇題

1.下列方程中有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（)

A.3x~—2,x+2=0B.3/-2瓜+2=0

C.2——6%—5=0D.瓜2—岳+2=0

2.方程——%+2=0根的情況是（）

A.只有一個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

3.一元二次方程（1-4）/-2x-l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.k>2B.k>2JLk1C.k<2D.k<2>k1

4.若方程af+6x+c=0（。w0）中，a>Q,b<0,c<0,那么方程的兩根是（）

A.有兩個同號的實數(shù)根B.有異號兩實數(shù)根，且負(fù)根的絕對值大

C.有異號兩實數(shù)根，且正根的絕對值大D.無實數(shù)根

5.以一元二次方程2/-3》+（=0兩根的相反數(shù)為根的一元二次方程是（）

11

A.：2y92-3y+-=0B.2y29+3y--=0

1c-1c

c.:2y-3y-3=0D.2y_3y+g=0

6.設(shè)玉、馬是方程2/—3%-4=0的兩個實數(shù)根，那么（%+1）（々+1）的值是（）

A.-B.-6C.--D.-2-

222

7.設(shè)a、P為方程/+》_1=（）的兩根，則|a—川的值等于（）

A.1B.-1C.75D.1（1-75）

8.已知方程——6%+7=0的兩根為玉、馬，貝1」石2+々2的值為（）

A.22B.50C.36D.-50

9.已知關(guān)于工的一元二次方程x2+(2m-l)x+/I?=o有兩個實數(shù)根七、

(2)求實數(shù)機(jī)的取值范圍;

(2)當(dāng)X：一々2=0時，求加的值.

第2講一元二次方程應(yīng)用

知■識■要■點

解一元二次方程的步驟：

①審（審題）；

②找（找出題中的量，分清有哪些已知量.未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本數(shù)量關(guān)

系.相等關(guān)系）；

③設(shè)（設(shè)元，包括設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)）；

④列（列方程），即根據(jù)找出的等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式

⑤解（解方程）；

⑥檢驗（注意根的準(zhǔn)確性及是否符合實際意義）

⑦答（作答下結(jié)論）。

部典型例題皿注山曲

模塊一數(shù)字問題

例題L1:兩個數(shù)的和為16,積為48,求這兩個數(shù).

模塊二增長率問題

例題2.1:某廠工業(yè)廢氣年排放量為400萬立方米，為改善錦州市的大氣環(huán)境質(zhì)量，決定分二期投入治

理，使廢氣的年排放量減少到256萬立方米，如果每期治理中廢氣減少的百分率相同.

（1）求每期減少的百分率是多少？

（2）預(yù)計第一期治理中每減少1萬立方米廢氣需投入3萬元，第二期治理中每減少1萬立方米廢氣

需投入4.5萬元，問兩期治理完成后需投入多少萬元?

例題22某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個，設(shè)該廠八.九月分平均每月

的增長率為了,那么x滿足的方程是()

A.50(1+x>=196B.50+50(1+x)2=196

C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+%)+50(1+2%)=196

模塊三利潤、盈虧問題

例題3.1:進(jìn)貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其銷

售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進(jìn)貨多少個？

例題32某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷信，一

個月能售出500千克；銷售單價每漲0.5元，月銷售量就減少5千克.針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，請

解答以下問題：

(1)當(dāng)銷售單價為每千克不超過100元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定為

多少？

(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)定

為多少？

模塊四圖形問題

例題4.1:如圖所示，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為40m,寬為26m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的

小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草.若使每一塊草坪的面積為144/2,

若設(shè)小路的寬度為初z,求X.

例題4.2:如圖，在長為10cm,寬為8c機(jī)的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖

形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80%,求所截去小正方形的邊長.

模塊五有關(guān)行程.工程等可化為一元二次方程的應(yīng)用

例題5」:甲.乙二人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后，二人繼續(xù)

前進(jìn)，乙的速度不變，甲每小時比原來多走1千米，結(jié)果甲到達(dá)B地后乙還需30分鐘才能到達(dá)A地，

求乙每小時走多少千米.

例題52某車間計劃在一定時間內(nèi)生產(chǎn)360件產(chǎn)品，實際每天比原計劃多生產(chǎn)6件，提前3天完成,

則實際生產(chǎn)天數(shù)為多少？

隨堂測試（方顯學(xué)霸本色）

1.若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56,則它們的和是

2.某旅店底樓的客房比2樓少一間，各個房間住的人數(shù)同這層樓的房間數(shù)相同，現(xiàn)有36人，底樓都

住滿，而2樓只剩下一間空房，則2樓的房間是.

3.某工程隊在我市實施棚戶區(qū)改造過程中承包了一項拆遷工程。原計劃每天拆遷1250m2,因為準(zhǔn)

備工作不足，第一天少拆遷了20%。從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2.

求：（1）該工程隊第一天拆遷的面積；

（2）若該工程隊第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分?jǐn)?shù)相同，求這個百分?jǐn)?shù).

4.某百貨商場服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了

迎接六一國際兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴(kuò)大銷售量，增加贏利，減少庫存.經(jīng)市場調(diào)

查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件.要想每天在銷售這種童裝上贏利

1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？

5.如圖，利用一面墻(墻的長度不超過45加)，用80加長的籬笆圍一個矩形場地.

(1)怎樣圍才能使矩形場地的面積為750/2?

(2)能否使所圍矩形場地的面積為810m2,為什么?墻

DC

AB

6.某省為解決農(nóng)村飲用水問題，省財政部門共投資20億元對各市的農(nóng)村飲用水的“改水工程”予以

一定比例的補(bǔ)助.2008年，A市在省財政補(bǔ)助的基礎(chǔ)上再投入600萬元用于“改水工程”，計劃以后

每年以相同的增長率投資，2010年該市計劃投資“改水工程”1176萬元.

(1)求A市投資“改水工程”的年平均增長率；

(2)從2008年到2010年，A市三年共投資“改水工程”多少萬元？

課后作業(yè)(都說溫故而知新)

1.某種藥品原價為100元，經(jīng)過連續(xù)兩次的降價后，價格變?yōu)?4元，如果每次降價的百分率是一樣

的，那么每次降價后的百分率是

2.如圖(1),在寬為20加，長為32加的矩形耕地上修建同樣寬的三條道路(橫向與縱向垂直)，把耕地

分成若干小矩形塊，作為小麥試驗田國，假設(shè)試驗田面積為570/2,求道路寬為多少？設(shè)寬為x加，

從圖(2)的思考方式出發(fā)列出的方程是.

⑴（2）

3.某市供電公司規(guī)定，本公司職工，每戶一個月用電量若不超過A千瓦?時，則一個月的電費(fèi)只要

A

交10元，若超過A千瓦?時，則除了交10元外，超過部分每千瓦/時還要交一、元，一戶職工三

100

月份用電80千瓦?時，交電費(fèi)25兀；四月份用電45千瓦,時，交電費(fèi)10兀，試求A的值.

4.某市“建設(shè)社會主義新農(nóng)村”工作組到某縣大棚蔬菜生產(chǎn)基地指導(dǎo)菜農(nóng)修建大棚種植蔬菜。通過

調(diào)查得知：平均修建每公頃大棚要用支架.農(nóng)膜等材料費(fèi)2.7萬元；購置噴灌設(shè)備，這項費(fèi)用（萬元）

與大棚面積（公頃）的平方成正比，比例系數(shù)為0.9；另外每公頃種植蔬菜需種子.化肥.農(nóng)藥等開支

0.3萬元.每公頃蔬菜年均可賣7.5萬元.若某菜農(nóng)期望通過種植大棚蔬菜當(dāng)年獲得5萬元收益（扣除

修建和種植成本后），工作組應(yīng)建議他修建多少公頃大棚.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示即可）

5.某科研公司研制成功一種新產(chǎn)品，決定向銀行貸款200萬元資金用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽定的合同

上約定兩年到期一次性還本付息，利息為本金的8%.該產(chǎn)品投放市場后，由于產(chǎn)銷對路，公司在兩

年到期時，除還清貨款的本金和利息外，還盈余72萬元.若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增

長的百分率相同，則每年資金增長的百分率是多少？

6.某商店在“端午節(jié)”到來之際，以2400元購進(jìn)一批盒裝粽子，節(jié)日期間每盒按進(jìn)價增加20%作為

售價，售出了50盒；節(jié)日過后每盒以低于進(jìn)價5元作為售價，售完余下的粽子，整個買賣過程共盈

利350元，求每盒粽子的進(jìn)價.

第4講比例線段與黃金分割

(D在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫成比例線段,

簡稱：比例線段.

四條線段a,b,c,d中，如果。與6的比等于c與d的比，即,那么這四條線段

a,b,c,d叫做成比例線段；

若a,d,b,c是成比例線段，則幺=.

d

(2)內(nèi)項、外項與比例中項

四條線段a,b,c,d成比例，則@=9或a:b=c:d,其中a,2叫做比例外項；b,c叫做

bd

比例內(nèi)項.d叫做〃，b,。的第四比例項.

如果比例內(nèi)項是兩條相等的線段，即q=2或a：b=/?：c,那么人叫做。，c的比例中項.

bc

注典型例題缶

例題1.1:下列四組線段，成比例的是（）

A.5cm,6cm,7cm,8cmB.3cm,6cm,2cm,5cm

C.2cm,4cm,6cm,8cmD.12cm,8cm,15cm,10cm

例題12已知a,d,b,c是成比例線段，其中。=3cm,/?=4cm,c=6cm,則d的值為（）

199

A.8cmB.—cmC.4cmD.—cm

22

（3）幾個常用的性質(zhì)：

2+ULH什〃rn,1,7

基本性質(zhì)：若一=一c，貝=b—=一d,一a二一b或_^一d二一c

bdaccdba

合比性質(zhì)：若則

bdbd

分比性質(zhì)：若@=9，則i=j

bdbd

等比性質(zhì)：若q=9=￡=&,則…+e+g=巴（當(dāng)b+d+g+〃wO時）

bdfhb+d+f+hb

■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■1

沙典型例題■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■1

例題13已知機(jī)〃=則下列各式錯誤的是()

mb“maanma

At.—=—B.—=—C.D.——二一

anbnmbnb

例題1.4：若4x=5y,貝|%：y=_

例題1.5：已知%=2,-=則相：幾：夕=()

〃4p5

2

A.3:4:—B.6:8:5C.3:4:10D.15:20:8

5

例題1.6：已知ad=Z?cwO,那么下列各式中一定成立的是()

22

.aca「ac__—a_

'b2~d2~b,bd~b

a+2bc+2dQ+lc+d

C.二D.二

bdbd

例題1.7：(1)若7m=5〃，貝_________；」_=________.

nn—m

⑶已知之=臺;求等*的值?

練習(xí)1.(1)若主&=工，則x:y=_________.

2x+y2

(2)若^±^=?=￡±^,且2a—b+3c=21,試求a:b:c的值.

346

例1.8：已知：—^―=也=c=一,求機(jī)的值.

b+ca+ca+b

練習(xí)2.已知"2="￡=￡±0=左，則直線y=6+Z一定經(jīng)過（）

cab

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第二、三象限D(zhuǎn).第一、四象限

知■識要■點8

(1)黃金分割

點C是線段AB上一點，如果A空r=空，則點C叫做線段AB的黃金分割點，且A把C=

ABACBC

該值稱為黃金分割比.如圖：

AR

①點C將線段AB分成較長和較短的兩段，若處=遮，則線段AB被點C黃金分割，此

全長較長

時.為比例中項;

②和同學(xué)一起討論可以得到：一條線段有.個黃金分割點;

③你知道黃金分割比是怎么求出來的嗎？

④解決黃金分割問題的“秘訣”：

))

入_入_____

I

ACB

)

部典型例題描不壬?祖

例題2.1：如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC=2m,那么A3=.

例題22線段A5=2,點。是A3的黃金分割點，點。(不同于。點)在線段A3上，且AD?=A3,

則上C'D的值為

AC

ACDB

練習(xí)3.如圖是一種貝殼的俯視圖，點C為線段AB的黃金分割(AC>5C),已知A6=10cm,則AC

長為______________.(結(jié)果精確到0.1cm)

(2)黃金矩形和黃金三角形

黃金矩形：寬與長的比值為黃金比的矩形.

黃金三角形：頂角為36°或108°的等腰三角形.前者底與腰的比，后者腰與底的比均為黃金比.

■■■

例題2.3：我們把“寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形”，如圖的矩形ABCD是黃金矩形,

且3c=后+1,BC>AB,則AB=.

練二練

練習(xí)4.如圖所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點P,連接PD,在BA的

延長線上取點F,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點M在AD上.

⑴求AM,DM的長;

(2)點M是AD的黃金分割點嗎？為什么？

R

隨堂測試（方顯學(xué)霸本色）

1.下列四條線段成比例的是（）

A.1cm,2cm,4cm,6cmB.3cm,4cm,7cm,8cm

C.2cm,4cm,8cm,16cmD.1cm,3cm,5cm,7cm

2.已知a,b,c,d四條線段是比例線段，且a=2an,b-5cm,c=4cm,則d等于（）

A.10cmB.8cmC.6cmD.3cm

3.若山=工，那么上的值是（）

x4x

42「3「3

A.-B.-C.—D?一

3432

4.若a:b:c=2:3:4,且a+Z?-c=5,貝！Ja-Z?的值是（）

A.5B.-5C.20D.-20

5.P是線段AB的黃金分割點，且AP=6-1,則AB長為（）

A.2B.7?+1C.2或+lD.以上都不對

6.如果---=---=---=—--=k,則左的值為.

b+c+da+c+da+b+da+b+c

7.若交2=2=出，且2a-b+3c=21,則a:/?:c=.

346

8.已知Q:/?:。二3:5:10,且a+c-b=16,則3〃+2人一。的值為.

9.我們將寬與長的比是黃金比的矩形稱為黃金矩形.已知矩形ABCD是黃金矩形且長AB=10,則寬

8（2為（）

A.2y/~5-2B.5y/~5-5C.15-5y/-5D.0.618

10.為了弘揚(yáng)雷鋒精神，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園內(nèi)建造一座高2米的雷鋒人體雕像，向全體師生征集設(shè)計

方小琦同學(xué)查閱了有關(guān)資料，了解到黃金分割數(shù)常用于人體雕像的設(shè)計中.如圖是小齊同學(xué)根據(jù)黃金

分割數(shù)設(shè)計的雷鋒人體雕像的方案，其中雷鋒人體雕像下部的設(shè)計高度（精確到0.01m,參考數(shù)據(jù):

41?1,414,V3x1,732,V5?2.236）為.

（小資料

雕像上部〔腰

部以上）與下部〔腰

部以下）的高度之

比等于下部與全部